基底の変換と一次写像と行列 ：　トピック一覧

・定義：基底変換の行列、相似、変換する　 　
・定理：基底変換行列は正則、基底変換行列の逆行列、一次写像の行列表示に関する基底変換の公式、一次変換の行列表示に関する基底変換の公式
　* 関連ページ：数ベクトル空間から数ベクトル空間への一次写像と 行列、一般のベクトル空間の一次写像と行列　　
　* 一般のベクトル空間を実ベクトル空間とした ときの基底の変換・一次写像・行列　 


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定義：基底変換の行列　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.4行列と一次写像(p.30);志賀『線形代数30講』18講(pp.115-6);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』2.4座標定理7(p.53);3.4行列による一次変換の表現(pp.93-94);『岩波数学辞典』項目83L線形写像(p.222);佐武『線形代数学』Ⅲ§7(pp.120-122)。]

【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、n次元。　
{ v1, v2, …, vn }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　　
{ v'1, v'2, …, v'n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　　
　※具体例：体Kを実数体R、体K上の有限次元ベクトル空間を実ベクトル空間としたときの基底変換の行列

【本題】
1.　　
{ v1, v2, …, vn }も、{ v'1, v'2, …, v'n }も、Vの基底であるとする。　
{ v1, v2, …, vn }はVの基底なので、　
Vの他の基底をなすベクトルv'1, v'2, …, v'n∈Vも、
{ v1, v2, …, vn }の一次結合として一意的に表せる。　
すなわち、
　　v'1=p11v1+p21v2+…+pn1vn 　　
　　v'2=p12v1+p22v2+…+pn2vn 　　
　　　：　　　　　：　
　　v'n=p1nv1+p2nv2+…+pnnvn 　　
を満たす「体K上のn次正方行列」
　　　　　
が一意的に存在する。　
　※　　　　
　　　｜　v'1=p11v1+p21v2+…+pn1vn 　　
　　　｜　v'2=p12v1+p22v2+…+pn2vn 　　
　　　｜　：　　　　　：　
　　　｜　v'n=p1nv1+p2nv2+…+pnnvn 　　
　　　を、行列の乗法風に、
　　　　　　　
　と書く、簡便法が、頻繁に用いられる。（数ベクトル空間のケースだと、便利さが引き立つらしい）　
　この簡便法を用いると、上記の命題は、次のように、簡潔に表せる。　　　
　　　　　　　　
　　を満たす「体K上のn次正方行列」Pが一意的に存在する。　
2.　　
上記の「体K上のn次正方行列」Pを、
基底の変換{ v1, v2, …, vn }→{ v'1, v'2, …, v'n }の行列、基底変換の行列と呼ぶ。　

定理：基底変換の行列は正則行列　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.4行列と一次写像(p.30);志賀『線形代数30講』18講(pp.115-6);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』2.4座標(p.53);]


【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。　
{ v1, v2, …, vn }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　　
{ v'1, v'2, …, v'n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　　
　※具体例：体Kを実数体R、有限次元ベクトル空間Vを有限次元実ベクトル空間としたケース

【本題】
1.　K上の有限次元ベクトル空間( n次元)Vの基底を、{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの、
　　基底変換の行列Pは、
　　正則行列である。　
2.　基底変換の行列Pの逆行列P－１は、　　　
　　K上の有限次元ベクトル空間( n次元)Vの基底を、
　　{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列である。　


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定理：一次写像の行列表示に関する基底変換の公式　

　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.4(p.30):証明付;志賀『線形代数30講』18講(pp.117-8):証明付;]

【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。　
　・{ v1, v2, …, vn }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　
　・{ v'1, v'2, …, v'n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　　　　
　・P：Vの基底を、{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列
W ：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 m次元。　
　・{ w1, w2, …, wm }：Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合　　
　・{ w'1, w'2, …, w'm }：Wの基底をなす、Wに属すベクトルの集合　　
　・Q：Wの基底を、{w1, w2,…, wm}から{w'1, w'2,…,w'm}へ変えたときの基底変換の行列　
「f : V→W」：VからWへの一次写像　
A： Vの基底{ v1, v2, …, vn }, Wの基底{ w1, w2, …, wm }を定めたとき１次写像fに対応する行列　　
B： Vの基底{ v'1, v'2, …, v'n }, Wの基底{ w'1, w'2, …, w'm }を定めたとき１次写像fに対応する行列　　
　※具体例：体Kを実数体R、有限次元ベクトル空間V,Wを有限次元実ベクトル空間としたケース


【本題】

「Vの基底{ v'1, v'2, …, v'n }, Wの基底{ w'1, w'2, …, w'm }を定めたとき１次写像fに対応する行列」Bは、
　　「Wの基底を{w1, w2,…, wm}から{w'1, w'2,…,w'm}へ変えたときの基底変換の行列」の逆行列Q－１と、
　　「Vの基底{ v1, v2, …, vn }, Wの基底{ w1, w2, …, wm }を定めたとき１次写像fに対応する行列」Aと、
　　「Vの基底を{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列」Pとの
　　行列積に等しい。　　　　　
すなわち、　　　　
　B=Q－１AP　
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定理：一次変換の行列表示に関する基底変換の公式　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.4.5(p.31);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(pp.93-94);]


【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V：K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。　
　　・{ v1, v2, …, vn }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　
　　・{ v'1, v'2, …, v'n }：Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合　
　　・P：Vの基底を、{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列
「f : V→V」：VからVへの一次変換　
A： Vの基底{ v1, v2, …, vn }を定めたとき１次変換fに対応する行列　　
B： Vの基底{ v'1, v'2, …, v'n }を定めたとき１次変換fに対応する行列　　
　※具体例：体Kを実数体R、有限次元ベクトル空間Vを有限次元実ベクトル空間としたケース

【本題】

Bは、
　　「Vの基底を、{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列」の逆行列P－１と、
　　「Vの基底{ v1, v2, …, vn }を定めたとき１次変換fに対応する行列」Aと、
　　「Vの基底を、{ v1, v2, …, vn }から{ v'1, v'2, …, v'n }へ変えたときの基底変換の行列」Pとの
　　行列積に等しい。　　　　　
すなわち、　　　　
　　B=P－１AP　　

定義：相似　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.31);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(p.97);]


【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
A：体K上のn次正方行列　
B：体K上のn次正方行列　　
　※具体例：体Kを実数体R、体K上の行列A,Bを実行列としたケース

【本題】

・「体K上のn次正方行列」Aが「体K上のn次正方行列」Bに相似であるとは、
　　A=P－１BP　　
　を満たす n次正則行列Pが存在することをいう。
・一次変換の行列表示に関する基底変換の公式とあわせて考えると、
　「体K上のn次正方行列」Aが「体K上のn次正方行列」Bに相似であるということは、
　体K上の任意のベクトル空間において、AとBは、２つの基底に関する同一の一次変換の行列表示であることを意味する。[ホフマン･クンツェ『線形代数学I』(p.97)]

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定義：変換する　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.31);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(pp.93-94);]

【舞台設定】

K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
A：　体K上のn次正方行列　　　
P：　体K上の n次正則行列　
　※具体例：体Kを実数体R、体K上の行列A,Bを実行列としたケース

【本題】

「体K上のn次正方行列」Aを「体K上のn次正則行列」Pで変換するとは、
　Aから　P－１AP　　をつくること。　　　　

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列L線形写像(p.222)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、18講正則行列と基底変換(pp.115-8)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、3.4行列による一次変換の表現(p.89)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-31)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.3線形写像の階数と行列の階数(p.102)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§3行列と線形写像(p.44):実線形空間･複素線形空間のみ;。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§7ベクトル空間の公理化(pp.120-122)。

代数学のテキスト
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。