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定理：一次写像の定義域の基底と、Ker・Imageの基底との関係　　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;斎藤正彦『線形代数入門』４章§5(p.116)]　
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間　
V' ：K上の有限次元ベクトル空間　
「f ：V→V'」：一次写像　
(定理の確認)
「Ker fの基底」に、「Image fの基底のfによる逆像」を付け足したものは、Vの基底の定義を満たす。

(定理の置かれた文脈の確認)
・基礎事項の確認(1)　　
　Ker fは、Vの部分ベクトル空間（∵）であって、　　　
　「Ker fの次元（fの退化次数）」は、Vの次元をこえない（∵）。　
　したがって、V が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
　Ker fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、dim(Ker f)≦dimV　を満たす。　
　次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、　
　Vの基底は、Vの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個のベクトルからなる構成されており、
　また、Ker fの基底は、Ker fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個以下のdim(Ker f)個のベクトルから構成される、となる。…(1-1)　　
・基礎事項の確認(2)　　
　Image fは、V'の部分ベクトル空間（∵）であって、　　　
　「Image fの次元」すなわちrank f は、V'の次元をこえない（∵）。　
　したがって、V 'が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
　Image fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、rank f≦dimV'　を満たす。　
　次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、　
　V'の基底は、V'の基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個のベクトルからなる構成されており、
　　また、Image fの基底は、Image fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個以下のrank f個のベクトルから構成される、となる。…(1-2)　　　　
・(1-1)より、Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」が存在する。　
　これを{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}とおく。　…(2-1)
・(1-2)より、Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」が存在する。
　これを{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }とおく。　…(2-2)
・Image fの定義により、Image fに属すベクトルはすべて、Vのなかに、fによる逆像をもつ。　
　したがって、(2-2)のrank f個の「Image fに属すベクトル」についても、　　　
　　f (w₁)=v'₁　を満たすw₁∈V　
　　f (w₂)=v'₂　を満たすw₂∈V　
　　　：　　　　　　　　　：　　　
　　f (w_rankf )=v'_rankf 　を満たすw_rankf ∈V　
　が存在する。…(2-3)　
・「Ker fの基底」(→2-1)に、「Image fの基底のfによる逆像」(→2-3)を付け足したもの
　　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}　　　…(2-4)　　　
　が、Vの基底の定義を満たすということが、
　この定理の主張である。　　

（証明）　　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;]　
Step1：設定　　
・Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」を
　　　　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}とおく。…(2-1)
・Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」を
　　　　{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }とおく。…(2-2)
・f⁻¹ (v'₁ ),f⁻¹ (v'₂ ),…, f⁻¹ (v'_rankf )をw₁, w₂,…,w_rankf　とおく。　　
　　f (w₁)=v'₁　を満たすw₁∈V　
　　f (w₂)=v'₂　を満たすw₂∈V　
　　　：　　　　　　　　　：　　　
　　f (w_rankf )=v'_rankf 　を満たすw_rankf ∈V　
　となる。…(2-3)　　　
・上記の設定で、「{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}が、Vの基底の定義を満たす」というのが、定理の主張。　　
・{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}が、Vの基底の定義を満たすことを示すには、
　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}が線形独立であり(→Step2)、
　かつ、
　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}の一次結合として、Vに属す任意のベクトルを表せること(→Step3)
　を示せばよい。　
Step2　
・{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf), w₁, w₂,…,w_rankf}が線形独立であることを示す。　
　そのためには、
　スカラーα₁, α₂, …, α_dim(Kerf), β₁ , β₂, β_rankf ∈Kにたいして、
　　　α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＋ β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankf＝〇　…(3-1)　　
　が満たされるならば、
　α₁＝α₂＝α_dim(Kerf)＝β₁＝β₂＝…＝β_rankf＝０　　　
　であることを示せばよい。　
・(3-1)が満たされるならば、(3-1)の両辺の「fがV'に写した像」をとった、次の等式も満たされる。　　
　　f (α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＋ β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankf )=f (〇)　　…(3-2)　　
・(3-2)の右辺f (〇)=〇　（∵）　　　
・(3-1)の左辺
　　f (α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＋ β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankf )　　　
　　=α₁ f (v₁)＋α₂ f (v₂)＋…＋α_dim(Kerf) f (v_dim(Kerf))＋ β₁ f (w₁)＋ β₂f (w₂)＋…＋β_rankf f (w_rankf )　　（∵）　　　
　　=α₁〇＋α₂〇＋…＋α_dim(Kerf)〇＋β₁ f (w₁)＋ β₂f (w₂)＋…＋β_rankf f (w_rankf )　　　
　　　　　∵(2-1)により、v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)∈Ker fだから、　　
　　　　　　Ker fの定義より、f (v₁)＝f (v₂)＝…＝ f (v_dim(Kerf))＝〇　
　　=〇＋〇＋…＋〇＋β₁ f (w₁)＋ β₂f (w₂)＋…＋β_rankf f (w_rankf )　　∵零ベクトルのスカラー倍　
　　=β₁ f (w₁)＋ β₂f (w₂)＋…＋β_rankf f (w_rankf )　　∵零ベクトルの定義　　
　　=β₁v'₁ ＋β₂v'₂ ＋…＋β_rankf v'_rankf 　
・上記2点から、(3-2)は、次のように書きかえられる。
　　　β₁v'₁ ＋β₂v'₂ ＋…＋β_rankf v'_rankf =〇　　…(3-3)　　
・(2-2)で、{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }は、Image fの基底の定義を満たすものとして定めた。
　したがって、{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }は線形独立である。
　よって、(3-3)が満たされるならば、β₁＝β₂＝…＝β_rankf＝０でなければならない。　
　そして、ここまでの議論を振り返ると、
　「(3-1)が満たされるならば、(3-2)が満たされ、(3-2)が満たされるならば、(3-3)が満たされ、(3-3)が満たされるならば、β₁＝β₂＝…＝β_rankf＝０」
　となっているから、
　要するに、(3-1)が満たされるならば、β₁＝β₂＝…＝β_rankf＝０でなければならない
　ということである。…(3-4)　
・(3-4)の事実を踏まえると、(3-1)は、
　　α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＝〇　　…(3-5)　
　と書いても同じである。
・(2-1)で、{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}は、Ker fの基底の定義を満たすものとして定めた。
　したがって、{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}は線形独立である。
　よって、(3-5)が満たされるならば、α₁＝α₂＝α_dim(Kerf)＝０でなければならない。
　そして、ここまでの議論を振り返ると、
　「(3-1)が満たされるならば、(3-5)が満たされ、(3-5)が満たされるならば、α₁＝α₂＝α_dim(Kerf)＝０」
　となっているから、
　要するに、(3-1)が満たされるならば、α₁＝α₂＝α_dim(Kerf)＝０でなければならないということ
　である。…(3-6)　
・(3-5)と(3-6)をあわせると、
　　(3-1):α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＋ β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankf＝〇　　
　　を満たされるならば、
　　α₁＝α₂＝α_dim(Kerf)＝β₁＝β₂＝…＝β_rankf＝０でなければならない
　ということになる。
　これは、{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf), w₁, w₂,…,w_rankf}が線形独立であることの定義にほかならない。　

Step3　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}の一次結合として、Vに属す任意のベクトルを表せることを示す　
・Vに属す任意のベクトルをxと置く。
・任意のx∈Vにたいして、f (x) ∈ Image f　　∵Image fの定義　…(4-1)　　
・(2-2)において、{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }は、Image fの基底の定義を満たすとした。
　したがって、
　{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }の一次結合として、Image fに属す任意のベクトルを表せる。（∵）…(4-2)　　
・ (4-1) (4-2)から、
　　任意のx∈Vにたいして、
　　　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　　　f (x) ＝β₁v'₁ ＋β₂v'₂ ＋…＋β_rankf v'_rankf 　
　　と表せる。…(4-3)　
・(2-3)より、(4-3)は、次のように書き換えても同じことである。
　　任意のx∈Vにたいして、
　　　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　　　f (x) ＝β₁ f (w₁) ＋β₂ f (w₂) ＋…＋β_rankf f (w_rankf ) 　…(＊)　
　　と表せる。…(4-4)　
・(4-4)内の式(＊)は、Image f上でなされたものであり、Image fはV'の部分ベクトル空間（∵）であるから、
　V'というベクトル空間にそなわった演算とその規則をつかって、式(＊)を変形してよい。
　まず、(＊)の右辺の逆ベクトルを両辺にくわえて、　　
　　　　　　f (x)＋{−（β₁ f (w₁) ＋β₂ f (w₂) ＋…＋β_rankf f (w_rankf ) ）} ＝〇　
　として、
　(4-4)を、次のように言っても同じことである。
　　任意のx∈Vにたいして、
　　　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　　　f (x)＋{−（β₁ f (w₁) ＋β₂ f (w₂) ＋…＋β_rankf f (w_rankf ) ）} ＝〇　
　　を満たす。…(4-5)　
・−（β₁ f(w₁) ＋β₂ f (w₂) ＋…＋β_rankf f (w_rankf )
　　＝(-1)（β₁ f (w₁) ＋β₂ f (w₂) ＋…＋β_rankf f (w_rankf )　∵逆ベクトルのスカラー積での表現　　　
　　＝(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ f (w₂)＋…＋(-1)β_rankf f (w_rankf )　∵スカラーに関する分配則　　
　であるから、(4-5)は、次のように書いても同じことである。
　　　任意のx∈Vにたいして、
　　　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　　　f (x)＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ f (w₂)＋…＋(-1)β_rankf f (w_rankf ) ＝〇　
　　を満たす。…(4-6)　
・一次写像の性質より、
　f (x)＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ f (w₂)＋…＋(-1)β_rankf f (w_rankf ) 　　
　＝f (x＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ w₂＋…＋(-1)β_rankf w_rankf ) 　
　　　なお、左辺の＋とスカラー積はV'およびImage f上で定義された演算、
　　　　　　右辺f ( )内の＋とスカラー積はV上で定義された演算である。
　したがって、(4-6)は、次のように書き換えてよい。
　　任意のx∈Vにたいして、
　　　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　　　f (x＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ w₂＋…＋(-1)β_rankf w_rankf ) ＝〇　
　　を満たす。…(4-7)　
・Ker fの概念を用いて、(4-7)を言い表すと、
　　任意のx∈Vにたいして、
　　あるスカラーβ₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　x＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ w₂＋…＋(-1)β_rankf w_rankf ∈ Ker f　　…(4-8)　
・(2-1)において、{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}は、Ker fの基底の定義を満たすとした。
　したがって、
　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}の一次結合として、 Kerfに属す任意のベクトルを表せる。（∵）
　つまり、
　　　任意のy∈Kerfにたいして、
　　　あるスカラーα₁, α₂, …, α_dim(Kerf)∈Kが存在し、
　　　y ＝α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)　
　と表せる。…(4-9)　　
・(4-8) (4-9)から、
　任意のx∈Vにたいして、
　あるスカラーα₁, α₂, …, α_dim(Kerf) , β₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　x＋(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ w₂＋…＋(-1)β_rankf w_rankf ＝α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)　
　を満たす。…(4-10)　　
・逆ベクトルのスカラー積での表現より、
　(-1)β₁ f (w₁)＋(-1)β₂ w₂＋…＋(-1)β_rankf w_rankf＝(−β₁ f (w₁))＋(−β₂ f (w₂))＋…＋(−β_rankf f (w_rankf ))
　であるから、(4-10)は次のように書きなおしてよい。
　任意のx∈Vにたいして、
　あるスカラーα₁, α₂, …, α_dim(Kerf) , β₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　x＋(−β₁ f (w₁))＋(−β₂ f (w₂))＋…＋(−β_rankf f (w_rankf )) ＝α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)　
　を満たす。　
　上記等式の両辺に、β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankfを加えると、次のようになる。　
　任意のx∈Vにたいして、
　　あるスカラーα₁, α₂, …, α_dim(Kerf) , β₁ , β₂, β_rankf ∈Kが存在し、
　　x ＝α₁v₁＋α₂v₂＋…＋α_dim(Kerf)v_dim(Kerf)＋ β₁ w₁＋ β₂w₂＋…＋β_rankfw_rankf　
　を満たす。…(4-11)　　
・(4-11)は、{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}の一次結合として、Vに属す任意のベクトルを表せるということの定義に他ならない。