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定理:
一次写像の階数と退化次数、定義域の次元の関係
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;斎藤正彦『線形代数入門』4章§5(p.116)]
(舞台設定)
K:体 (例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K上の有限次元ベクトル空間
V' :K上の有限次元ベクトル空間
「f :V→V'」:一次写像
(定理の確認)
「一次写像f :V→V'」の階数と退化次数の和は、Vの次元に等しい。
すなわち、 dimV=rank f +dim(Ker f)
このことはもちろん、次のように言換えられる。
「一次写像f :V→V'」の階数は、Vの次元と「一次写像f :V→V'」の退化次数の差である。 、
すなわち、 rank f =dimV−dim(Ker f )
(証明)
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;]
Step1 問題のおかれた文脈の確認
・基礎事項の確認(1)
Ker fは、Vの部分ベクトル空間(∵)であって、
「Ker fの次元(fの退化次数)」は、Vの次元をこえない(∵)。
したがって、V が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
Ker fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、dim(Ker f)≦dimV を満たす。
次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、
Vの基底は、Vの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個のベクトルからなる構成されており、
また、Ker fの基底は、Ker fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個以下のdim(Ker f)個のベクトルから構成される、となる。…(1-1)
・基礎事項の確認(2)
Image fは、V'の部分ベクトル空間(∵)であって、
「Image fの次元」すなわちrank f は、V'の次元をこえない(∵)。
したがって、V 'が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
Image fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、rank f≦dimV' を満たす。
次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、
V'の基底は、V'の基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個のベクトルからなる構成されており、
また、Image fの基底は、Image fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個以下のrank f個のベクトルから構成される、となる。…(1-2)
Step2 設定
・(1-1)より、Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」が存在する。
これを{v1,v2,…,vdim(Kerf)}とおく。 …(2-1)
・(1-2)より、Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」が存在する。
これを{v'1 , v'2 , …, v'rankf }とおく。 …(2-2)
・Image fの定義により、Image fに属すベクトルはすべて、Vのなかに、fによる逆像をもつ。
したがって、(2-2)のrank f個の「Image fに属すベクトル」についても、
f (w1)=v'1 を満たすw1∈V
f (w2)=v'2 を満たすw2∈V
: :
f (wrankf )=v'rankf を満たすwrankf ∈V
が存在する。…(2-3)
Step3
・「Ker fの基底」(→2-1)に、「Image fの基底のfによる逆像」(→2-3)を付け足したもの
{v1,v2,…,vdim(Kerf),w1,w2,…,wrankf} …(2-4)
は、Vの基底の定義を満たす。(∵)
・(2-4)より、
Vの基底 {v1,v2,…,vdim(Kerf),w1,w2,…,wrankf} に属すベクトルの個数が、
rank f +dim(Ker f)
であることは明らか。
よって、dimV=rank f +dim(Ker f)。