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定理：一次写像の階数と退化次数、定義域の次元の関係　　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;斎藤正彦『線形代数入門』４章§5(p.116)]　
(舞台設定)
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上の有限次元ベクトル空間　
V' ：K上の有限次元ベクトル空間　
「f ：V→V'」：一次写像　
(定理の確認)
「一次写像f ：V→V'」の階数と退化次数の和は、Vの次元に等しい。
　　すなわち、　　　dimV＝rank f ＋dim(Ker f)　　　
このことはもちろん、次のように言換えられる。
「一次写像f ：V→V'」の階数は、Vの次元と「一次写像f ：V→V'」の退化次数の差である。　　、
　　すなわち、　　　rank f ＝dimV−dim(Ker f )　　

（証明）　　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;]　
　　
Step1　問題のおかれた文脈の確認　
・基礎事項の確認(1)　　
　Ker fは、Vの部分ベクトル空間（∵）であって、　　　
　「Ker fの次元（fの退化次数）」は、Vの次元をこえない（∵）。　
　したがって、V が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
　Ker fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、dim(Ker f)≦dimV　を満たす。　
　次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、　
　Vの基底は、Vの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個のベクトルからなる構成されており、
　また、Ker fの基底は、Ker fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV)個以下のdim(Ker f)個のベクトルから構成される、となる。…(1-1)　　
・基礎事項の確認(2)　　
　Image fは、V'の部分ベクトル空間（∵）であって、　　　
　「Image fの次元」すなわちrank f は、V'の次元をこえない（∵）。　
　したがって、V 'が「K上の有限次元ベクトル空間」という設定下で、
　Image fも、「K上の有限次元ベクトル空間」であって、rank f≦dimV'　を満たす。　
　次元の定義に遡って、この意味をとらえなおすと、　
　V'の基底は、V'の基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個のベクトルからなる構成されており、
　　また、Image fの基底は、Image fの基底のとりかたにかかわらず、有限(dimV')個以下のrank f個のベクトルから構成される、となる。…(1-2)　　　　
Step2　設定　
・(1-1)より、Ker fの基底の定義を満たす、dim(Ker f)個の「Ker fに属すベクトル」が存在する。　
　これを{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf)}とおく。　…(2-1)
・(1-2)より、Image fの基底の定義を満たす、rank f個の「Image fに属すベクトル」が存在する。
　これを{v'₁ , v'₂ , …, v'_rankf }とおく。　…(2-2)
・Image fの定義により、Image fに属すベクトルはすべて、Vのなかに、fによる逆像をもつ。　
　したがって、(2-2)のrank f個の「Image fに属すベクトル」についても、　　　
　　f (w₁)=v'₁　を満たすw₁∈V　
　　f (w₂)=v'₂　を満たすw₂∈V　
　　　：　　　　　　　　　：　　　
　　f (w_rankf )=v'_rankf 　を満たすw_rankf ∈V　
　が存在する。…(2-3)　
Step3　　
・「Ker fの基底」(→2-1)に、「Image fの基底のfによる逆像」(→2-3)を付け足したもの
　　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}　　　…(2-4)　　
は、Vの基底の定義を満たす。（∵）　　
・(2-4)より、
　Vの基底　{v₁,v₂,…,v_dim(Kerf),w₁,w₂,…,w_rankf}　に属すベクトルの個数が、　
　　　rank f ＋dim(Ker f)　
　であることは明らか。　
　よって、dimV＝rank f ＋dim(Ker f)。