一般のベクトル空間から一般のベクトル空間への一次写像の階数と行列表示の階数
※
関連ページ:
ベクトル空間からベクトル空間への1次写像の行列表示
、
基底の変換と一次写像と行列
※
一般のベクトル空間を実ベクトル空間としたときの具体例:
実ベクトル空間のあいだの一次写像の階数と、その行列表示の階数の関係
→
線形代数目次
・
総目次
定理:
一次写像の階数と、一次写像の行列表示の階数
[
斎藤『
線形代数入門
』4章§
5[5.1](
p
.116);
砂田『
行列と行列式
』§
5.5-
d
(
p
.194);]
(
舞台設定
)
K
:
体
(例:有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
)
V
:
K
上の有限次元ベクトル空間
。
W
:
K
上の有限次元ベクトル空間
。
「
f
:
V
→
W
」:
一次写像
rank
f
:
一次写像
f
の
階数
(
本題
)
V, W
に
任意
の
基底
を定めたときの
一次写像
f
に対応する行列
A
の階数
は、
一次写像
f
の
階数
に等しい。
つまり、
V, W
に
任意
の
基底
を定めたときの
一次写像
f
に対応する行列
A
にたいして、
rank
A=
rank
f
(
証明
)
[
準備
1]
一次写像
f
:
V
→
W
には、
f
(
v
1
)=
w
1
,
f
(
v
2
)=
w
2
,
…
,
f
(
v
rank
f
)=
w
rank
f
,
f
(
v
rank
f
+1
)=
0
,
f
(
v
rank
f
+2
)=
0
,
…
,
f
(
v
dimV
)=
0
を満たす
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
dimV
}
、
W
の
基底
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
dimW
}
が存在する。(
∵
)
[
準備
2]
したがって、
[
準備
1]
で存在が示された、
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
dimV
}
、
W
の
基底
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
dimW
}をとると、
これらの
基底
に関する一次写像
f
の行列表示
は、
となる。(
∵
)
[
本題
]
V
に「
任意
の
基底
」
{
v
'
1
,
v
'
2
,
…
,
v
'
dim
V
}
を、
W
に「
任意
の
基底
」
{
w
'
1
,
w
'
2
,
…
,
w
'
dimW
}
を定めたとき
一次写像
f
に対応する行列
を
A
とおく。
{
v
'
1
,
v
'
2
,
…
,
v
'
dim
V
}
から、
1.
で存在が示された{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
dimV
}
へ変える
基底変換行列
が一意的に存在し
(
∵
)
、これを、
P
とおく。
P
は
正則行列
である(
∵
)。
{
w
'
1
,
w
'
2
,
…
,
w
'
dimW
}
から、
1.
で存在が示された{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
dimW
}へ変える
基底変換行列
が一意的に存在し
(
∵
)
、これを、
Q
とおく。
Q
は
正則行列
である(
∵
)。
基底変換公式
より、
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
dimV
}
、
W
の
基底
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
dimW
}
に関する一次写像
f
の行列表示
は、
Q
−1
AP
。
また、
[
準備
2]
より、
V
の
基底
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
dimV
}
、
W
の
基底
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
dimW
}
に関する一次写像
f
の行列表示
は、
したがって、
Q
−1
AP
=D (
dim
W,
dim
V,
rank
f
)
が成り立つ。
Q
-1
, P
は
正則行列
だから、
基本行列
を掛け合わせた
行列積
として表せる(
∵
)。
したがって、
D (
dim
W,
dim
V,
rank
f
)
は、
行列
A
の
標準形
であり、
rank
f
は、
行列
A
の
階数
である。(
∵
)
以上から、
V,W
に
任意
の
基底
を定めたときの
一次写像
f
に対応する行列
A
の
階数
rank
A
は、
一次写像
f
の
階数
rank
f
に等しくなることがわかる。
→
線形代数目次
→
総目次
(
reference
)
日本数学会編集『
岩波数学辞典
(第三版)』
岩波書店、
1985
年、項目
83
行列
L
線形写像
(
p
.222)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学
30
講シリーズ:線形代数
30
講』朝倉書店、
1988
年、
17
講線形写像
(
pp
.107-112)
。
ホフマン・クンツェ『
線形代数学
I
』培風館、
1976
年、
3.4
行列による一次変換の表現
(
p
.89)
。
永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎
』紀伊国屋書店、
1986
年、
1.4
行列と一次写像
(
pp
.23-31)
。
藤原毅夫『理工系の基礎数学
2
:
線形代数
』岩波書店、
1996
年、
4.3
線形写像の階数と行列の階数
(
p
.102)
。
斎藤正彦『
線形代数入門
』東京大学出版会、
1966
年、第
2
章§
3
行列と線形写像
(
p
.44):
実線形空間・複素線形空間のみ
;
。
以下未確認
佐武一郎『線形代数学
(
第
44
版
)
』裳華房、
1987
年、Vベクトル空間§
6
ベクトル空間の公理化
(
p
.115)
。線形従属・独立については、数ベクトルに限定?
代数学のテキスト
酒井文雄『共立講座
21
世紀の数学
8
:
環と体の理論
』共立出版、
1997
年、
1.6
ベクトル空間
(
p
.22)
。
:
数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門
』東京大学出版会、
1996
年、§
5.2.1
線形写像の行列表現
(
p
.165)
。
→
線形代数目次
→
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