基本行列　：　トピック一覧

【定義】

　・基本行列[type1/2/3]　

【性質】

　・基本行列と基本変形の対応
　・基本行列の正則性と逆行列
　・基本行列の積の正則性と逆行列　

【関連ページ】

　・行列の基本変形/掃き出す/階数　


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定義：基本行列　elementary matrix　　

　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。
　　志賀『線形代数30講』11講(pp.71-74);19講(pp.121-125);20講(p.129)]

(舞台設定)　　
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
(本題)
体K上のn次基本行列とは、次の3つのtypeの「体K上のn次正方行列」のこと。　

・基本行列type 1：Pn ( i, j, ci,j  )　

　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]

　・「体K上のn次単位行列」の非対角成分の一つを、ci,j∈Kで上書きしてつくった「体K上のn次正方行列」。
　・詳しく言えば、基本行列 Pn ( i, j, ci,j  ) とは、以下の3条件をすべて満たす「体K上のn次正方行列」。　　
　　　条件１：すべての対角成分が「体Kにおける乗法の単位元『1』」であり、
　　　条件2：ある一つの( i, j )成分[ただしi≠j ]がci,j∈K、　　　
　　　条件3：上記の( i, j )成分を除く非対角成分がすべて「体Kにおける加法の単位元『０』」　

　　・j<i　である場合の基本行列 Pn ( i, j, ci,j  ) の例

　　　　　　　　　　
　　・i<j　である場合の基本行列Pn ( i, j, ci,j  ) の例
　　　　　　　　　　

　・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 1 Pn ( i, j, ci,j  ) をかけると、(m,n)型行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　
　・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 1： Pm ( i, j, ci,j  ) をかけると、(m,n)型行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
　　※本当？→証明　　
　・n次基本行列type 1： Pn ( i, j, ci,j  ) は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1： Pn ( i, j, －ci,j  ) 。　
　　※本当？→証明　　


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・基本行列type 2：Qn ( i, j )　

　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
　・「体K上のn次単位行列」の二つの列を入れ替えてつくった「体K上のn次正方行列」。
　・詳しく言えば、以下の4条件をすべて満たす「体K上のn次正方行列」。　　
　　条件１：対角成分のうち、( i, i )成分と( j, j )成分[ただしi≠j ]の二つが「体Kにおける加法の単位元『０』」。　
　　条件2：上記の( i, i )成分と( j, j )成分の二つを除くすべての対角成分が、　　
　　　　　　　「体Kにおける乗法の単位元『1』」。　　
　　条件3：非対角成分のうち、上記のi , j に応じてきまる( i, j )成分と( j, i )成分の二つが、　　
　　　　　　　「体Kにおける乗法の単位元『1』」。　　　
　　条件4：上記の( i, j )成分と( j, i )成分を除く非対角成分がすべて「体Kにおける加法の単位元『０』」。　　　
　・i<j　である場合の基本行列 Pn ( i, j, ci,j  ) の例
　　　　　　　　　　
　・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 2： Qn ( i, j ) をかけると、
　　(m,n)型行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
　・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 2： Qn ( i, j ) をかけると、
　　(m,n)型行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
　・n次基本行列type 2：Qn ( i, j ) は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2：Qn ( i, j )。　
　　※本当？→証明　


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・基本行列type 3：Rn ( i, c )　


　・「体K上のn次単位行列」の対角成分の一つを、c∈Kで上書きしてつくった「体K上のn次正方行列」。

　・詳しく言えば、以下の3条件をすべて満たす「体K上のn次正方行列」。　　
　　条件１：ある一つの対角成分( i, i )成分がc∈K。　
　　条件2：上記の( i, i )成分を除くすべての対角成分が、「体Kにおける乗法の単位元『1』」。　　
　　条件3：非対角成分がすべて「体Kにおける加法の単位元『０』」。　　　
　　　　　　　　　　　
　・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 3： Rn ( i, c ) をかけると、
　　(m,n)型行列Aに列基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
　・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 3： Rn ( i, c ) をかけると、
　　(m,n)型行列Aに行基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
　・n次基本行列type 3： Rn ( i, c ) は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3： Rn ( i, c－１ ) 。　
　　※本当？→証明　

【文献】
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39)
　・藤原『線形代数』2-3(pp.37-46)
　・斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47)
　・ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。
 

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定理：基本行列と基本変形の対応関係　　　　

　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-39);斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]

(舞台設定)

K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
 
(本題)　

・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 1： Pn ( i, j, ci,j  ) をかけると、
　(m,n)型行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　
・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 1：Pm ( i, j, ci,j  )をかけると、
　(m,n)型行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
　　※本当？→証明　　
・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 2：Qn ( i, j )をかけると、
　(m,n)型行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 2：Qn ( i, j )をかけると、
　(m,n)型行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
・体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 3： Rn ( i, c ) をかけると、
　(m,n)型行列Aに列基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
・体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 3：Rn ( i, c )をかけると、
　(m,n)型行列Aに行基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　
　

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定理：基本行列の正則性と逆行列　　　

　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]　
・n次基本行列type 1： Pn ( i, j, ci,j  ) は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1： Pn ( i, j, － ci,j  )。　
　　※本当？→証明　
・n次基本行列type 2：Qn ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2： Qn ( i, j )。　
　　※本当？→証明　　　　　
・n次基本行列type 3：Rn ( i, c )は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3： Rn ( i, c－１ ) 。　 
　　※本当？→証明　　
　

定理：基本行列の積の正則性と逆行列　　　

　n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1 。　
(証明)　　
　・n次基本行列A,Bは、その定義により、n次正方行列である。…(1)　
　・n次基本行列A,Bは、正則行列である。（∵）　…(2)　　　　
　・定理「n次正方行列A,Bが正則行列ならば、行列積ABも正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1 」…(3)　　
　・(1)(2)より、n次基本行列A,Bは、(3)の条件を満たす。
　　ゆえに、n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)-1=B-1A-1 　


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、11講消去法と基本変形(pp.71-74);19講正則行列と基本行列(pp.121-125);第20講基本変形(p.129)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。