空間Rⁿにおける収束点列の極限とベクトル演算　

　・定理：収束点列のベクトル和の極限、収束点列と収束数列とのスカラー積の極限　　
　※Rⁿにおける点列の関連ページ：Rⁿにおける点列の収束･極限―定義　　
　※収束列の極限と演算の関連ページ：数列の極限どおしの演算/R2上の収束点列の極限とベクトル演算　
　※参考文献・総目次　　

定理：空間Rⁿにおける収束点列のベクトル和の極限

要旨

点列にベクトルの加法をほどこしてから極限をとった値と、
点列の極限をとってからベクトルの加法を施した値とは、等しくなる。
つまり、極限とベクトルの加法の順序交換は可能。

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成立する。
Rⁿ：実数をn個並べた組 (x₁ , x₂ ,…, x_n) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」のそれ自身へのn回の直積
　　　　　　　　　　R×R×…×R={ (x₁ , x₂ ,…, x_n) | x₁∈Rかつx₂∈Rかつ…かつx_n∈R }　
実n次元数ベクトル空間Rⁿ：Rⁿにたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。
ノルム空間（ Rⁿ, ‖‖ ）：実n次元数ベクトル空間Rⁿにたいして、
　　　　　　　　　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。　
ユークリッド空間(Rⁿ,d)：ノルム空間（ Rⁿ, ‖‖ ）にたいして、
　　　　　　　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　
P ：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点 (p₁ , p₂ ,…, p_n)　
　　　「空間Rⁿ上の点 (p₁ , p₂ ,…, p_n)」は、実n次元数ベクトルであるから、
　　　　Pは、実n次元数ベクトルとしての(p₁ , p₂ ,…, p_n)も表す。　　
{ P₁ , P₂ , P₃ , … }：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点列
　　　　　　　　　すなわち実n次元数ベクトルの列{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
Q ：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点 (q₁ , q₂ ,…, q_n)　
　　　「空間Rⁿ上の点(q₁ , q₂ ,…, q_n)」は、実n次元数ベクトルであるから、
　　　Qは、実n次元数ベクトルとしての(q₁ , q₂ ,…, q_n)も表すことにする。　　
{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点列　
　　　　　　　　　すなわち実n次元数ベクトルの列{ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}　　

定理

ユークリッド空間(Rⁿ,d)において、
点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}が
点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)に収束し、
かつ、
点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ ,…}＝{ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}が
点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)に収束する
ならば、

[文献]

杉浦『解析入門I』1章§4命題4.6(p.40):証明付

神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.2(p.140):証明付;

両点列のベクトル和の点列
　{ P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ , … }
　＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n)＋(q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n) , (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n)＋(q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n), (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n)＋(q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,… }
　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),… }
は、点P＋Q＝(p₁ , p₂ ,…, p_n)＋(q₁ , q₂ ,…, q_n)＝(p₁+q₁, p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )に収束する。　
つまり、

cf.

数列の極限どおしの演算

証明

仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}が
　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)に収束する」　
仮定2「点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }＝{ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}が
　　　　　　点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)に収束する」　
のもとで、
結論
「点列
　{ P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ , … }　　
　　＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n)＋(q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n) , (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n)＋(q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n), (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n)＋(q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,… }
　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),… }
　が点P＋Q＝(p₁ , p₂ ,…, p_n)＋(q₁ , q₂ ,…, q_n)＝(p₁+q₁, p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )に収束する」
が成立することを示す。　
Step1:
・仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}が
　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)に収束する」　
　は、
　仮定1'「・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}　
　　　　　　　の各点の第１成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₁ , p₂₁ , p₃₁ ,…}が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第１成分p₁ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
　　　　　　の各点の第2成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₂ , p₂₂ , p₃₂ ,…}が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第2成分p₂ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　：　　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
　　　　　　の各点の第n成分だけを取り出して並べた数列{ p_1n , p_2n, p_3n,… }が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第n成分p_n に収束する」
　と同値（∵）。
・仮定2「点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }＝{ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}が
　　　　　　点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)に収束する」　
　は、
　仮定2'「・点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }={ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}
　　　　　　　の各点の第１成分だけを取り出して並べた数列{ q₁₁ , q₂₁ , q₃₁ ,…}が、　
　　　　　　　　点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)の第１成分q₁ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }={ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}
　　　　　　　の各点の第2成分だけを取り出して並べた数列{ q₁₂ , q₂₂ , q₃₂ ,…}が、　
　　　　　　　　点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)の第2成分q₂ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　：　　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }={ (q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n), (q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n) , (q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}
　　　　　　　の各点の第n成分だけを取り出して並べた数列{ q_1n , q_2n, q_3n,… }が、　
　　　　　　　　点Q=(q₁ , q₂ ,…, q_n)の第n成分q_n に収束する」　
　と同値（∵）。
Step2:
・結論
　「点列
　　{ P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ , … }　　
　　＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n)＋(q₁₁ , q₁₂ ,…, q_1n) , (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n)＋(q₂₁ , q₂₂ ,…, q_2n), (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n)＋(q₃₁ , q₃₂ ,…, q_3n) ,…}
　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),… }
　　が点P＋Q＝(p₁ , p₂ ,…, p_n)＋(q₁ , q₂ ,…, q_n)＝(p₁+q₁, p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )に収束する。」
　は、
　結論'「・点列{ P₁＋Q₁ ,P₂＋Q₂ ,P₃＋Q₃ ,…}
　　　　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),…}
　　　　　　の各点の第１成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₁ +q₁₁, p₂₁+q₂₁, p₃₁+ q₃₁,…}が、　
　　　　　　　点P＋Q＝(p₁+q₁ , p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )の第１成分p₁+q₁に収束し、
　　　　かつ　
　　　　・点列{ P₁＋Q₁ ,P₂＋Q₂ ,P₃＋Q₃ ,…}
　　　　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),…}
　　　　　　の各点の第2成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₂ +q₁₂, p₂₂+q₂₂, p₃₂+ q₃₂,…}が、　
　　　　　　　点P＋Q＝(p₁+q₁ , p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )の第2成分p₂+q₂に収束し、
　　　　かつ
　　　　　：　　
　　　　かつ
　　　　・点列{ P₁＋Q₁ ,P₂＋Q₂ ,P₃＋Q₃ ,…}
　　　　　＝{ (p₁₁ +q₁₁, p₁₂+q₁₂ ,…, p_1n+q_1n ), (p₂₁+q₂₁, p₂₂+q₂₂ ,…, p_2n+q_2n ), (p₃₁+ q₃₁, p₃₂+q₃₂ ,…, p_3n+q_3n ),…}
　　　　　　の各点の第n成分だけを取り出して並べた数列{ p_1n+q_1n, p_2n+q_2n, p_3n+ q_3n,…}が、　　　　
　　　　　　　点P＋Q＝(p₁+q₁ , p₂+q₂ ,…, p_n+q_n )の第n成分p_n+q_nに収束する」　
　と同値（∵）。
Step3:
・数列{ p₁₁ , p₂₁ , p₃₁ ,…}がp₁ に収束し、かつ、数列{ q₁₁ , q₂₁ , q₃₁ ,…}がq₁ に収束するならば、
　数列{ p₁₁+q₁₁ , p₂₁+ q₂₁ , p₃₁ +q₃₁ ,… }は、p₁+q₁ に収束する。（∵収束数列の和の公式）　
・数列{ p₁₂ , p₂₂ , p₃₂ ,… }がp₂に収束し、かつ、数列{ q₁₂ , q₂₂ , q₃₂ ,…}がq₂に収束するならば、
　数列{ p₁₂+q₁₂ , p₂₂+ q₂₂ , p₃₂ +q₃₂ ,… }は、p₂+q₂ に収束する。（∵収束数列の和の公式）　
：
・数列{ p_1n , p_2n, p_3n,… }がp_nに収束し、かつ、数列{ q_1n , q_2n, q_3n,… }がq_n に収束するならば、
　数列{ p_1n+q_1n , p_2n+ q_2n , p_3n +q_3n ,… }は、p_n+q_n に収束する。（∵収束数列の和の公式）　
・以上から、
　「仮定1'かつ仮定2'ならば結論'が成り立つ」といえる。
　したがって、Step1,Step2より、「仮定1かつ仮定2ならば結論が成り立つ」といえる。　

→[トピック一覧：収束点列の極限とベクトル演算]
→総目次

定理：空間Rⁿにおける収束点列と収束数列とのスカラー積の極限

要旨

点列と数列とのスカラー積をとってから極限をとった値と、
点列・数列それぞれの極限をとってからそのスカラー積をとった値とは、等しくなる。
つまり、極限とスカラー乗法の順序交換は可能。

設定

この定理は、以下の舞台設定上で成立する。
Rⁿ：実数をn個並べた組 (x₁ , x₂ ,…, x_n) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」のそれ自身へのn回の直積
　　　　　　　　　　R×R×…×R={ (x₁ , x₂ ,…, x_n) | x₁∈Rかつx₂∈Rかつ…かつx_n∈R }　
実n次元数ベクトル空間Rⁿ：Rⁿにたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。
ノルム空間（ Rⁿ, ‖‖ ）：実n次元数ベクトル空間Rⁿにたいして、
　　　　　　　　　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。　
ユークリッド空間(Rⁿ,d)：ノルム空間（ Rⁿ, ‖‖ ）にたいして、
　　　　　　　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　
P ：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点 (p₁ , p₂ ,…, p_n)　
　　　「空間Rⁿ上の点 (p₁ , p₂ ,…, p_n)」は、実n次元数ベクトルであるから、
　　　　Pは、実n次元数ベクトルとしての(p₁ , p₂ ,…, p_n)も表す。　　
{ P₁ , P₂ , P₃ , … }：ユークリッド空間(Rⁿ,d)上の点列
　　　　　　　　　すなわち実n次元数ベクトルの列{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
{ a₁ , a₂ , a₃ , … }　:　数列　
a 　:　ある実数の値　

定理

かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束する　
ならば、
　P₁のスカラーa₁倍、P₂のスカラーa₂倍、P₃のスカラーa₃倍、…
と並べた点列　
　{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }
　＝{ a₁ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), a₂ (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , a₃ (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}　
　＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}
は、Pのスカラーa倍として表される点　
　　　　　　aP＝a(p₁ , p₂ ,…, p_n)＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )
に収束する。　
つまり、
　

[文献]

杉浦『解析入門I』1章§4命題4.6(p.40):証明付
神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.2(p.140):証明付;

cf.

数列の極限どおしの演算

証明

仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}が
　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)に収束する」　
仮定2「数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束する」　
のもとで、
結論「点列{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}
　　　　が点aP＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )に収束する」
が成り立つことを示す。
Step1:
　仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}が
　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)に収束する」
　は、
　仮定1'「・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}　
　　　　　　　の各点の第１成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₁ , p₂₁ , p₃₁ ,…}が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第１成分p₁ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
　　　　　　の各点の第2成分だけを取り出して並べた数列{ p₁₂ , p₂₂ , p₃₂ ,…}が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第2成分p₂ に収束し、　
　　　　　かつ
　　　　　：　　
　　　　　かつ
　　　　　・点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }={ (p₁₁ , p₁₂ ,…, p_1n), (p₂₁ , p₂₂ ,…, p_2n) , (p₃₁ , p₃₂ ,…, p_3n) ,…}
　　　　　　の各点の第n成分だけを取り出して並べた数列{ p_1n , p_2n, p_3n,…}が
　　　　　　　　　点P=(p₁ , p₂ ,…, p_n)の第n成分p_n に収束する」
　と同値（∵）。
Step2:
・結論「点列{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}
　　　　が点aP＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )に収束する」
　は、
　結論'「・点列{ a₁P₁ , a₂ P₂ , a₃P₃ ,… }
　　　　　　　＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}
　　　　　　　　の各点の第１成分だけを取り出して並べた数列{ a₁ p₁₁ ,a₂ p₂₁ , a₃ p₃₁ ,…}が、　
　　　　　　　　　点aP＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )の第１成分ap₁ に収束し、
　　　　かつ　
　　　　・点列{ a₁P₁ , a₂ P₂ , a₃P₃ ,… }
　　　　　　　＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}　
　　　　　　　　の各点の第2成分だけを取り出して並べた数列{ a₁ p₁₂ , a₂ p₂₂ , a₃ p₃₂ ,…}が、　
　　　　　　　　　点aP＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )の第2成分ap₂ に収束し、
　　　　かつ
　　　　　：　　
　　　　かつ
　　　　・点列{ a₁P₁ , a₂ P₂ , a₃P₃ ,… }
　　　　　＝{ ( a₁ p₁₁ , a₁ p₁₂ ,…, a₁ p_1n), (a₂ p₂₁ , a₂ p₂₂ ,…, a₂ p_2n) , (a₃ p₃₁ , a₃ p₃₂ ,…, a₃ p_3n ) ,…}
　　　　　　の各点の第n成分だけを取り出して並べた数列{ a₁ p_1n, a₂ p_2n, a₃ p_3n ,…}が、　　　　
　　　　　　　点aP＝( ap₁ , ap₂ ,…, ap_n )の第n成分ap_nに収束する」　
　と同値（∵）。
Step3:
・数列{ p₁₁ , p₂₁ , p₃₁ ,…}がp₁に収束し、かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束するならば、
　数列{ a₁ p₁₁ ,a₂ p₂₁ , a₃ p₃₁ ,… }は、ap₁ に収束する。（∵収束数列の積の公式）　　　
・数列{ p₁₂ , p₂₂ , p₃₂ ,…}がp₂に収束し、かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束するならば、
　数列{ a₁ p₁₂ , a₂ p₂₂ , a₃ p₃₂ ,…}は、ap₂ に収束する。（∵収束数列の積の公式）　　　
：
・数列{ p_1n , p_2n, p_3n,…}がp_n に収束し、かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束するならば、
　数列{ a₁ p_1n , a₂ p_2n , a₃ p_3n ,…}は、ap_nに収束する。（∵収束数列の積の公式）　　　
・以上から、
　「仮定1'かつ仮定2ならば結論'が成り立つ」といえる。
　したがって、Step1,Step2より、「仮定1かつ仮定2ならば結論が成り立つ」といえる。　

→[トピック一覧：収束点列の極限とベクトル演算]
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