実ベクトル空間のあいだの一次写像が単射(1対1写像)・全射であるための条件 ： トピック一覧
・一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件：1/2
・一次写像が全射であるための必要十分条件
※一次写像関連ページ：一次写像－定義/ベクトル演算の一次写像/一次写像と線形独立/一次写像の階数/同型写像/同型写像と線形独立
定理：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―核に関して
[永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.3(p.20)補題1.6.1(p.36)証明付;志賀『線形代数30講』16講(p.101-2);砂田『行列と行列式』§5.3-a補題5.26(p.164)]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
(本題)
「一次写像f ：V→V' が単射(1対1写像)である」ための必要十分条件は、
「fによって０∈V'に写される『Vに属すベクトル』は、０∈Vに限られる」ということ。
すなわち、
次の4つの命題は、同値である。
命題P： 一次写像f ：V→V' が単射(1対1写像)である。
命題Q： 一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、f ( v )=０ ⇒ v =０」が成り立つ。
命題R： 一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、v ≠０ ⇒ f ( v )≠０」が成り立つ。
命題S： 一次写像f ：V→V' について、Ker f = {０}
※なぜ？→証明
※活用例→「一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して」の証明
定理：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して
[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.6.3(p.37)]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
(本題)
次の2つの命題は、同値。
命題P： 一次写像f ：V→V' が単射(1対1写像)である。
命題Q： 一次写像f の階数と、実ベクトル空間Vの次元が等しい。
つまり、rank f =dimV
定理：一次写像が全射であるための必要十分条件
[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.6.3(p.37)]
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）
V：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
V' ：実ベクトル空間 （実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）
(本題)
次の2つの命題は、同値。
命題P： 一次写像f ：V→V' が単射(1対1写像)である。
命題Q： 一次写像fの階数と、実ベクトル空間V'の次元が等しい。
つまり、rank f =dimV'
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1(p.159).
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。