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定理：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―核に関して　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.3(p.20)補題1.6.1(p.36)証明付;志賀『線形代数30講』16講(p.101-2);
　　砂田『行列と行列式』§5.3-a補題5.26(p.164)]　
(舞台設定)
R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
V：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　　
V' ：実ベクトル空間　（実数体R上の線形空間・ベクトル空間」）　
(定理)
次の4つの命題は、同値。
　　命題P：　一次写像f ：V→V'　が単射(1対1写像)である。
　　命題Q：　一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、f ( v )=０　⇒　v =０」が成り立つ。　
　　命題R：　一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、v ≠０　⇒　f ( v )≠０」が成り立つ。　
　　命題S：　一次写像f ：V→V'　について、Ker f = {０}　　

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(証明)
まず、命題Qと命題Rは、「」内が互いの対偶であるから、同値。　　
そして、Ker fの定義から、命題Qと命題Rは、命題Sと同値。　　
そこで、命題P⇒命題Sと、命題S⇒命題Pだけを示す。　　
[命題P⇒命題S]　　
命題P「一次写像f：V→V'　が単射(1対1写像)」は、単射(1対1写像)の定義より、　　
命題P'「任意のv,v'∈Vに対して、v≠v' ⇒ f (v)≠f (v')　」と言い換えてよい。　　
命題Pすなわち命題P'が成り立つならば、
命題P2「任意のv∈Vと０∈Vに対して、v≠０ ⇒ f (v)≠f (０)　」
が成り立つ。　
命題P2は、命題Rそのものであり、また、これを、「Ker f」の概念を用いて言いなおすと、命題Sになる。
以上、
　　命題P⇔命題P'⇒命題P2⇔命題R⇔命題S　
を示した。
[命題S⇒命題P]　
Step1:fが一次写像ならば、任意のv,v'∈Vに対して、f (v＋(−v'))＝f (v)＋(−f (v'))　となることを示す。　
・仮定(1)：fが一次写像　　
・任意のv,v'∈Vに対して、　
　f (v＋(−v'))＝f (v)＋f (−v')　∵仮定(1)より、一次写像の定義―要件1ベクトル和の保存を適用　　
　　　　　　　＝f (v)＋(−f (v'))　∵仮定(1)より、一次写像による逆ベクトルの像を適用　　　
Step2:fが一次写像ならば、任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒f (v＋(−v'))＝０　となることを示す。　
・仮定(2-1)：fが一次写像　　
・仮定(2-2)：f (v)＝f (v')　　
・任意のv,v'∈Vに対して、　
　f (v＋(−v'))＝f (v)＋(−f (v'))　　∵仮定(2-1)より、step1の結果を適用。　
　　　　　　　＝f (v)＋(−f (v))　　∵仮定(2-2)より、　　　
　　　　　　　＝０　　　　　　　　∵逆ベクトルの定義　　
Step3:fが一次写像ならば、「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')∈Ker f」となることを示す。　
・仮定(3-1)：fが一次写像　　
・任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒f (v＋(−v'))＝０　∵仮定(3-1)よりstep2の結果が成り立つ。　
・f (v＋(−v'))＝０⇔v＋(−v')∈Ker f　　　∵Ker fの定義　　　
・上記２点を合わせて、
　fが一次写像ならば、「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')∈Ker f」が成り立つことがわかる。
Step4:　　　
命題S「一次写像f ：V→V'について、Ker f = {０}」という仮定のもとで、
任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')＝０　となることを示す。　
・仮定(4-1)：fが一次写像　　
・仮定(4-2)：Ker f = {０}　　
・任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')∈Ker f　∵仮定(4-1)よりstep3の結果がなりたつ。
・仮定(4-2)により、v＋(−v')∈Ker f　は　v＋(−v')= ０　を意味する。
・上記２点を合わせて、
　　命題Sの仮定下では、
　　「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')＝０」が成り立つ。　　
Step5:　　　
命題S「一次写像f ：V→V'　について、Ker f = {０}」という仮定のもとで、
任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＝v'　となることを示す。　
・step4の結果より、命題Sのもとで、「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＋(−v')＝０」が成り立つ。
・「v＋(−v')＝０」が成り立つならば、この両辺にv'を加えた、「v＝v'」も成り立つ。　
・上記２点を合わせて、
　　命題Sの仮定下では、
　　「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＝v'」が成り立つ。　　　　
Step6:命題S「一次写像f ：V→V'について、Ker f = {０}」⇒命題P「f ：V→V'　が単射(1対1写像)」　　
・step5の結果より、命題Sの仮定下では、「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＝v'」が成り立つ。　
・「任意のv,v'∈Vに対して、f (v)＝f (v') ⇒v＝v'」は、f が単射(1対1写像)であることの定義にほかならない。　　
・上記２点を合わせて、
　　命題Sの仮定下では、命題P「f ：V→V'　が単射(1対1写像)」が成り立つ。　　　
　
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