集合関数の例6　R上の区間塊の長さ

集合関数の例6a　R上の区間塊の長さを定義する集合関数　

設定	・R上の区間塊Eに長さを与える関数μ(E)は、以下の舞台設定上で定義される。 　・R　：実数の全体の集合R＝{x|−∞<x<＋∞ }であるが、 　　　　　ここでは特に、1次元ユークリッド空間の意味ももたせる。 　・集合系(族)：R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。 　　　　※区間塊Eは、Rの部分集合だから、はRの部分集合系(族)となっている。 　・Ψ(I)：直線の長さを定義する集合関数Ψ。 　　　　　すなわち、 　　　　　(i)　I=(a,b]　(−∞<a<b<＋∞) ならば、Ψ(I)=b−a　　　 　　　　　(ii)　I=φ　ならば、　Ψ(φ) = 0　　 　　　　　(iii)　I=(−∞,b], (a,∞), (−∞,∞)(−∞<a,b<＋∞) ならば、Ψ(I)=＋∞ 　　　　　※値域は「広義の実数」R*上の区間[0,＋∞]となる。	[文献] 　・伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例3(pp.13-15) ; 　・盛田『実解析と測度論の基礎』3.1節補題3.1(p.106); 　・高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).
定義	(定義:集合関数μ) ・ に属す、すべてのEは、区間塊であるから、　 　　　　　　type 1: 左半開区間(a,b]={x|a<x≦b}　(ただし−∞<a<b< ＋∞), 　　　　　　type 2: (−∞,b]={ x|x≦b }　(ただし−∞<b<＋ ∞)、 　　　　　　type 3: (a,∞)={ x | a<x }　(ただし−∞<a<＋ ∞)、 　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　 　　　　　　type 5: 空集合φ 　 　の5タイプの区間の有限個の直和として表す （＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する） 　ことができる。　　 　すなわち、 　に属す、すべてのEには常に、 　　1以上の或る自然数nが存在して、 　　E= I1＋…＋In　 （ただし、I1,…,Inは、上記5タイプいずれかの区間） 　と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I1というケースも当然ありうるという意味。 ・そこで、直線の長さを定義する 集合関数Ψを用いて、　 　　μ(E)=Ψ(I1)＋Ψ(I2)＋…＋Ψ(In) 　 　と、関数μを定義する。　 　このμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。 　　※区間塊ですらないR上 の集合一般の長さを測るためには、1次元ル ベーグ外測度。
性質	上記のとおり定義された、R上の区間塊Eに長さを与える関数μ(E)は、 以下の性質1、性質2、性質3:有限加法的測度、性質4,性質5,性質6、性質7:完全加法性を有する。
性質1	・定義域がRの部分集合系(族) 　となるので、上記の関数μは、Rで定義された-集合関数となる。 　値域は「広義の実数」R*上の区間[0,＋∞]。 　　→なぜなら、任意のE∈に対して、μ(E)は直線の長さを定義する集合関数Ψの有限和。　 　　　　　　集合関数Ψは、常に0≦Ψ(I)≦＋∞だから。 　　　　　　広義の実数R*で定義された演算規則より、0≦μ(E)≦＋∞　。 　　※値域はあくまで「広義の実数」であって、実数ではない。 　　　「広義の実数」では、実数における演算が拡張されているので（特に＋∞について）注意。
性質2	・Rで定義された上記の実数値-集合関数 μの定義域は、有限加法族である。（∵）
性質3	・Rで定義された上記の実数値-集合関数 μは、上の有限加法的測度である。 　※なぜ？→証明　 　ゆえに、μは、上の有限加法的測度の性質を満たし、 n n ・有限加法性： （∀E1,E2,…En∈）（ Ei∩Ej ＝φ(i≠j)　⇒　μ( Ei ) ＝　 μ(Ei)　） i=1 i=1 ・単調性： （∀E1,E2∈）（ 　E1⊃E2　⇒ μ(E1)≧μ(E2)　） n n ・有限劣加法性 （∀E1,E2,…En∈）（ μ( ∪ Ei ) ≦　 μ(Ei)　） i=1 i=1 　が成立する。
性質4	・　　 　　type 1: 左半開区間(a,b]　(ただし−∞<a<b<＋∞), 　　type 2: (−∞,b]　(ただし−∞<b<＋∞)、 　　type 3: (a,∞)　(ただし−∞<a<＋∞)、 　　type 4: (−∞, ∞)　 　　type 5: 空集合φ 　 　のいずれかのかたちである限りで任意の区間Iと、区間Iにたいして任意にとったα<μ(I)にたいして、 　　type 1: 左半開区間(a*,b*]　(ただし−∞<a*<b*<＋∞), 　　type 5: 空集合φ 　　　 　のいずれかのかたちをした、ある区間Jが存在して、 　　　　　[J]⊂I　かつ　α<μ(J)　 　を満たす。 　すなわち、 　(a,b] (−∞,b] (a,∞) (−∞, ∞) φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をI、 　(a*,b* ] φのいずれかのかたちをした区間をすべて集めた集合系をJとおくと、 　　　(∀I∈I) (∀α<μ(I)) (∃J∈J ) ( [J]⊂Iかつα<μ(J) )　 　　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(pp.19-20);] 　　 (詳細) ・Iがtype 1: (a, b]　(−∞< a< b<＋∞) のケース 　　任意の区間I=(a, b]　(−∞< a< b<＋∞)　と、このI=(a, b]にたいして任意にとったα<μ(I) =b-aに対して、　 　　ある有界区間J= (a*, b* ]　(−∞< a*< b*<＋∞) が存在して、 　　　　　[J]=[a*, b*]⊂(a, b]　かつ　α<μ(J) = b*- a*　 　　を満たす。 ・Iが type 2: (−∞, b]　(−∞< b<＋∞) のケース　 　　任意の区間(−∞, b]　(−∞< b<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　 　　ある有界区間J= (a*, b* ]　(−∞< a*< b*<＋∞) が存在して、 　　　　　[J]=[a*, b*]⊂(−∞, b]　かつ　α<μ(J)　 　　を満たす。 ・Iがtype 3: (a , ∞)　(−∞< a <＋∞) のケース　 　　任意の区間(a , ∞)　(−∞< a<＋∞)　と、任意の実数αに対して、　 　　ある有界区間J= (a*, b* ]　(−∞< a*< b*<＋∞) が存在して、 　　　　　[J]=[a*, b*]⊂(a , ∞)　かつ　α<μ(J)　 　　　を満たす。 ・Iがtype 4: (−∞, ∞)のケース　　 　　任意の実数αに対して、　 　　ある有界区間J= (a*, b* ]　(−∞< a*< b*<＋∞) が存在して、 　　　　　[J]=[a*, b*]⊂(−∞, ∞)　かつ　α<μ(J)　 　　を満たす。 ・Iがtype 5: 空集合φのケース　　 　　区間I=φ　と、区間I=φにたいして任意にとったα<μ(I)=μ(φ)=0に対して、　 　　　　J=φは、[J]⊂ I=φ　かつ　α<μ(J)　を満たす　 　※なぜ？→証明　　　　　 　※活用例→性質5の証明
性質5.	・R上の任意の区間塊E と、Eにたいしてとった任意のα<μ(E)にたいして、 　　　　　　　[F]⊂E　かつ　α<μ(F)　　 　を満たす有界な区間塊Fが存在する。 　( ∀E∈ ) ( ∀α<μ(E) ) (∃F∈ ) ( [F]⊂E かつ α<μ(F) ) 　※なぜ？→証明　　　　　 　※活用例→性質6の証明	[文献] 　・伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(p. 20); 　・小谷『測度と確率1』補題4.1(p.72)。
性質6.	・R上の任意の区間塊E と、 　この区間塊Eを覆う任意の「区間の可算被覆」{In}に対して、 　μ( )は、次の不等式を満たす。 ∞ μ(E) ≦　 μ(In)　 n=1 　　　　　つまり、　μ(E)≦μ(I1)＋μ(I2)＋μ(I3)＋…　が成り立つ。 　※R上の任意の区間塊E が、非有界である場合 　　　　　　(たとえば、(−∞,b] , (a,∞) とその直和や (−∞,∞) )　 ∞ μ(E) ＝　 μ(In)　＝ ∞　 n=1 　　となるが、 　　この等号「＝」は、 　　広義の実数R*で定義された演算規則「∞＝a+∞」の意味での等号「＝」であって、 　　実数の枠内で普通にいう等号「＝」の意味でではない。　　　　 ※ただし、ここでいう、Eを覆う「区間の可算被覆」とは、 　次の2条件を満たす可算無限個の「1次元ユークリッド空間R上の区間の列」 　　　{ I1 , I2 , I3 ,…} 　を指す。　 　　(条件1) 区間列の要素I1 , I2 , I3 ,…はすべて、 　　　　　　以下のかたちの区間のいずれかであること。 　　　　　　type 1: 左半開区間(a,b] ＝ { x | a<x≦b }　 　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし−∞<a<b<＋∞), 　　　　　　type 2: (−∞,b] ＝ { x | x≦b }　 　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし−∞<b<＋∞)、 　　　　　　type 3: (a, ∞) ＝ { x | a<x }　 　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし−∞<a<＋∞)、 　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R 　　　　　　type 5: 空集合φ 　 　　(条件2) Eを被覆すること、つまり、 （ ∞ ）⊃ E ∪ In n=1 　　　　　　を満たすこと。 　※なぜ？→証明　 　※活用例→性質7の証明	[文献] 　・伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2証明内(pp. 20-21) ; 　・小谷『測度と確率1』補題4.1(p.72)。
性質7.	・Rで定義された上記の実数値-集合関数μは、 　上の完全加法的測度となる。 ※なぜ？→証明　 ※活用例：R上の任意の集合のルベーグ外測度、	[文献] 　・伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19); 　・小谷『測度と確率1』補題4.1(p.72)； 　・高木『解析概論』113節 (pp.422-3);長さに限定.

集合関数の例6b　R上の区間塊の長さを一般化した集合関数　

[伊藤『ルベーグ積分』I予備概念§3点関数と集合関数:例3(pp.13-15) ;高木『解析概論』113節Euclid空間区間の体積(pp.421-3).]　
(舞台設定)　
R　　　　　：実数の全体の集合。すなわち、R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }　
集合系(族)：　R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、Rの部分集合だから、はRの部分集合系(族)となっている。
f (x)　　　　：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。以下のΨに組み込まれる。
Ψ(I) 　　　：　直線の長さの一般化である集合関数Ψ。
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　(i)　I=(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、　Ψ(I) = f (b)−f (a)　　　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ(φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　それ以外ならば、Iに含まれる任意の区間J=(a', b']　(ただし−∞< a'< b'<＋∞)に対して、　
　　　　　　　　　　Ψ(I) = sup { Ψ( J ) }= sup { f (b')−f (a') }
　　　　　　　　　※f (x)= xとしてf (x)を組み込んだΨ(I)が、一般に「左半開区間Iの長さ」と呼ばれるもの。　
(定義:集合関数μ)　
に属す、すべてのEは、区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
ことができる。　　
すなわち、
に属す、すべてのEには常に、
　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間）
と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
そこで、直線の長さの一般化である集合関数Ψを用いて、　
　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)　
と、関数μを定義する。　
　このうち特に、f (x)= x　として Ψ (I)= b−aとした際のμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。
(性質)　上記のとおり定義された関数μは、以下の性質をもつ。　
性質1.
　　　定義域がRの部分集合系(族) 　となるので、上記の関数μは、Rで定義された実数値-集合関数となる。
性質2.
　　　Rで定義された上記の実数値-集合関数μの定義域は、有限加法族である。（∵）　
性質3.
　　　Rで定義された上記の実数値-集合関数μは、上の有限加法的測度である。
　　　※なぜ？→証明　
性質4.　　[伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);高木『解析概論』113節 (pp.422-3);長さに限定.]
　　　Rで定義された上記の実数値-集合関数μが、有限加法族上の完全加法的測度となるとは限らない。
　　　Rで定義された上記の実数値-集合関数μが、有限加法族上の完全加法的測度となるための必要十分条件は、
　　　Ψ (I)に組み込まれている単調増加関数f (x)がR上右連続であることである。
　　　すなわち、以下の命題P⇔命題Q。
　　　　　命題P: Rで定義された上記の実数値-集合関数μは、有限加法族上の完全加法的測度。
　　　　　命題Q:Ψ(I)に組み込まれている単調増加関数f (x)がR上右連続。　　
　　　※長さは、f (x)= xとしたときのΨ(I), μ(E)だったが、f (x) = xはR上右連続だから、
　　　　R上の区間塊(きれぎれの直線)Eの長さは、有限加法族(R上の区間塊上)の完全加法的測度となる。
　　　
　　　※なぜ？→証明　
※活用例：R上の任意の集合のルベーグ・スチルチェス外測度、

（reference）