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【表現5-3】は【表現5-2】と同じこと。互いに言い換えてよい。
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※どうして?
【表現5-2】 ⇒【表現5-3】
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【表現5-3】 ⇒【表現5-2】
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【表現5-2】 ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E)
⇔∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E) かつ ( a∈E または a E )
∵排中律より「 a∈E または a E 」は恒真命題であること、「Pかつ恒真命題」と「P」とは互いに言い換えてよいことから。
⇔( ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E) かつ a∈E )
または
( ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E) かつ a E )
∵《かつ》《または》の分配律にしたがって
⇒【表現5-3】 (a∈Eかつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) ω E)または (a E かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) ω∈E )
∵「かつ」の除去則
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・一般に、 「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」 は、「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」と言い換え可能だから(→含意の言換3)、
【表現5-3】 (a∈Eかつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) ω E)または (a E かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) ω∈E )
⇒ 【表現5-2】 ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E)
を示すには、
(1) 「a∈E かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E)」 ⇒ 「∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E) 」
(2) 「 a E かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E )」 ⇒ 「∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E ) かつ ∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E) 」
の両方が成り立つことを示せばよい。
・a∈E ⇒ 「∀ε>0 (a∈(a−ε, a+ε) かつ a∈E )」 なので、 a∈E ⇒ 「∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω∈E )」。だから、(1)は成り立つ。
・a E ⇒ 「∀ε>0 (a∈(a−ε, a+ε) かつ a E )」なので、 a E ⇒ 「∀ε>0 ∃ω∈(a−ε, a+ε) (ω E)」。だから、(2)は成り立つ。
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