論理記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈X P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y)
　　∀xi P(x1,…,xn) / ∀xi∈S P(x1,…,xn)　
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　−論理記号∀の導入則
　　−論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧　　　
※量化関連ページ：述語・命題関数/存在記号∃　
※総目次 

「∀変項∈範囲　一項述語」　

【ポイント】

・「∀x∈S P(x)」 は、
　集合Sという範囲から対象を選んで、変項xに代入すると、
　どの対象を集合Sから選んで、変項xに代入しても、
　xは性質・条件Pを満たす
　という主張。

・集合Sが特定の対象に固定されている場合、
　「∀x∈S P(x)」は、変項を含まない確定した命題。

　・例：

・集合Sも変項で、様々な対象が代入される場合、
　「∀x∈S P(x)」 は、変項Sのみの1項述語。

　【詳細】

　　・「∀x∈S P(x)」 の意味と読み下し方/読み下し例一覧/使用例/用語
　 　
　　・「∀x∈S P(x)」 のバリエーション ：∀x∈『内包的に定義された集合』 P(x) / ∀x∈有限集合 P(x) /  ∀x 条件式 P(x)


「∀変項∈範囲　一項述語」の意味　

【はじめに読む定義】

・議論領域Ωにおいて、
　「∀ 変項∈《変項が動く範囲を表す集合S》   1項述語」というかたち、

　つまり、「　∀x∈S　P(x)　」というかたち

　は、[中内p.82;新井p.90;松井p.36]

　「議論領域Ωのうち、集合Sの範囲からならば、
　　　　　　　　　何を取ってきてxに代入しても、
　　　　　　　　　　　　xは性質・条件Pを満たす」
　
　という全称命題[中内p.82]を意味し、

　「Sのなかの任意の/すべての/あらゆるxについて(に対して) 、
　　　　xはPである/Pという性質をもつ/Pという条件を満たす」

　と読み下される。
　
【正確な定義】


(ケース1)

　[設定]

　・P(x)：変項xの議論領域をΩとする一項述語・一変数命題関数

　・S：特定の「Ωの部分集合」　　　

　[本題]

　・「∀x∈S　P(x)」
　　　集合Sのなかの任意のxについて、xは性質・条件Pを満たす
　　は、
　　「  ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」
　　任意のxについて、xが集合Sに属すならば、xは性質・条件Pを満たす　
　　の省略表現。　[松井p.42,p.153;入谷久我p.7;斎藤]

・だから、
　　「∀x∈S　P(x)」 と 「  ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」 とは
　　互いに言い換えてよい。

【類例】  ∃x∈S P(x)  /  ∀x P(x) /∀x∈S P(x,y) 





【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§6(pp.10-19)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(p.7);§1.5脚注1(p.26)。
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification　
　・新井紀子『数学は言葉』2.3脚注10(p.58);3.2.6(pp.90-92)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-7;p.42)

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.207-223):「議論領域」(p.207),∀x (F(x)⇒G(x))「すべてのFはGである」.

【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-８６);
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』付録§1論理式(p.193)

【文献−数理経済】
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3限量子(pp.20-21);
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.7)

　



※「∀x∈S　P(x)」と書くとき、Sを議論領域Ωにしても構わない。つまり、「∀x∈Ω　P(x)」という表現もOK。
　この「∀x∈Ω　P(x)」という表現によって、議論領域Ωを読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。

※1項述語(1変数命題関数)P(x)そのものは確定した命題ではないが、これに「 ∀x∈《特定の集合S》」つけて（「普遍量化」）出来たものは、確定した命題。
　古典論理においては、これは真偽を定められる。　[岡田章p.253]

→集合Sが『内包的に定義された集合』のときの解釈　
→集合Sが有限集合であるときの解釈　

→主要テキストの読み下し例一覧
→具体的な使用例　



　　(ケース2)　　この点を指摘したテキストが見当たらないため、独自。

　　　[設定]

　　　　・P(x)：変項xの議論領域をΩとする一項述語・一変数命題関数

　　　　・S　：「Ωの部分集合系」に属す様々な「Ωの部分集合」が代入される変項　

　　 　[本題]

　　　・「∀x∈S　P(x)」は、「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」の省略表現。　

　　　　　※ ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」の詳細解説
　
　　　　　　　・「x∈S⇒P(x)」は、変項S,xからなる2項述語・2変項命題関数。
　　　　　　　・「x∈S⇒P(x)」の変項xを∀で束縛し普遍量化したのが 「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　・「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」で自由変項のままなのは、 Sだけ。
　　　　　　　　「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」は、Sを変項とする一項述語・1変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　　　　　・一項述語・1変数命題関数「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」の変項Sの議論領域は「Xの部分集合系」　 (Sにまつわる設定より)。


　　　・だから、「 ∀x ( x∈S⇒P(x) ) 」を省略した「∀x∈S　P(x)」も、Sを変項とする一項述語・1変数命題関数。

　　　 ※このように、一項述語・1変数命題関数P(x)の頭に「 ∀x∈《変項S》」をつける（普遍量化）と、一項述語・1変数命題関数 Q(S)になる。


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「∀+変項∈『内包的に定義された集合』+一項述語」の解釈　

・議論領域Ωにおいて
　全称命題「 ∀x∈S　P(x) 」　集合Sの任意のxは 、性質・条件Pを満たす
　は、
　集合Sの内包がQであるとき、　つまり、 S＝{ x'∈Ω | Q(x') } であるとき、　
　「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」に言い換えてよい。

・すなわち、
　　「 ∀x∈ { x'∈Ω | Q(x') }  　P(x) 」　は 、
　　「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」　へ
　　言い換えてよい。

→この場合に使われる略記法　

※なぜ？

　・定義より、
　　「　∀x∈ { x'∈Ω | Q(x') }  　P(x)　」は、
　　「　∀x ( x∈ { x'∈Ω | Q(x') } ⇒P(x) )　」　の省略表現。

　・ x∈ { 'x∈Ω | Q('x) } はQ(x)に言い換えてよい（∵）から、
　　「　∀x ( x∈ { x'∈Ω | Q(x') } ⇒P(x) )　」
　　は、
　　「　∀x ( Q(x)⇒P(x) )　」
　　に言い換えてよい。




【文献】
　・新井紀子『数学は言葉』3.2.6(p.90)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-37)

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3限量子(pp.20-21);　



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さらなる省略形「∀ 条件式　一項述語」　　　

・議論領域Ωにおいて、
　「∀ 《変項を先頭にした条件式》  1項述語」というかたち

　　たとえば、
　　　　「　 ∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x)　」というかたち
　　具体的には、
　　　　　Rを議論領域とした際の「　 ∀  x>0  P(x)　」

　は、

　「∀ ＋ 変項∈《Q(x)の真理集合》 ＋ 1項述語」というかたち　

　　つまり、
　　




【類例】
  ∃　条件式　P(x)

【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注2.2.8(p.85)略記法

　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3限量子(pp.20-21);


　　　　　 ∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) }　P(x)　　「Q(x)の真理集合に属す任意のxについて 、xは条件・性質Pを満たす」
  　　上の例では、
　　　　　 ∀x∈{ 'x∈R |  x'>0  }　P(x)　　「「x'>0」の真理集合に属す任意のxについて 、xは条件・性質Pを満たす」

　の省略表現。
　
・さらにいうと、
　議論領域Ωにおいて、「∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x)」というかたち
　　　　たとえば、 ∀  x>0　P(x)　
　は、　　
　　∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 　
　　　　上記の例では、　∀x ( x>0 ⇒ P(x) )　　
　に言い換えてよい。

　　　なぜなら、
　　　　・先述のとおり、
　　　 　　議論領域Ωにおいて　「∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x)」　
　　　　　は、
　　　　　「∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) }　P(x)」 の省略表現。
　　　　・「 ∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) }　P(x)　」 は「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」に言い換えてよい（∵）。

※1項述語(1変数命題関数)P(x)そのものは確定した命題ではないが、
　この頭に「 ∀ x>0 」などをつけて、普遍量化したものは、確定した命題。
　古典論理においては、これは真偽を定められる。
　　[岡田章p.253]

※「∀ ＋  変項を先頭にした条件式  ＋  1項述語」の後ろに、記号が続いていく場合、
　「∀ ＋  変項を先頭にした条件式  ＋  1項述語」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　「∀ ＋  変項を先頭にした条件式  ＋  1項述語」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。

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「∀+変項∈『有限集合』+一項述語」の解釈　

・全称命題「 ∀x∈S　P(x) 」 集合Sの任意のxは 、性質・条件Pを満たす　

　は、

　集合Sが有限集合 { a1 , a2 , … , an } であるとき、

　「 P( a1 )　かつ　P( a2 )　かつ　…　かつ　P( an ) 」

　　　　　a1は性質・条件Pを満たし、
　　　　　かつ　　
　　　　　a2は性質・条件Pを満たし、
　　　　　かつ　　
　　　　　：
　　　　　かつ　　
　　　　　anは性質・条件Pを満たす。

　に言い換えてよい。

・すなわち、
　「∀x∈{ a1, a2, …, an } P(x) 」⇔「 P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an)」




【文献−数学基礎論】
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,(p.2１)

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』6章「世界に三匹のブタしかいなかったら」(pp.203-207)

【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注意2.2.4(p.83)

【文献−数理経済】

　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,p.8:"Quantifiers can be seen as generalizations of logical connectives."

【類例】
　∀変項∈有限集合　二項述語　
　∃変項∈有限集合　一項述語　
　∃変項∈有限集合　二項述語　
　　
　　

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「 ∀x∈X　P(x) 」 の読み下し例：一覧　　

・「すべてのx∈Xについて、P(x)」[中内p.82]
・「X中の任意のxに対し　P(x)（が成り立つ）」[松井p.36]
・"for all x in A, P(x) is true"　[De LaFuente,p.8]
・「すべてのXはPである」[野矢p.217]　　




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「 ∀変項∈範囲　一項述語 」 の具体例　

【例1】　「  ∀x∈N (　1≦x　) 」　[新井p.91]

・解釈：「∀ ＋ 変項∈集合  ＋ 1項述語」 というかたちにおいて、
　　　　　変項 をx,
　　　　　集合を「自然数をすべてあつめた集合」N　
　　　　　1項述語を「1≦x」としたもの。
・意味：「自然数をすべてあつめた集合Nから何を取ってきてxに代入しても、
　　　　　　　　　xは 1≦x という性質・条件を満たす」
　　　　という全称命題。
・読み下し例：「任意の自然数は1以上である」[新井p.91]
・同意表現： 「  ∀x ( x∈N⇒1≦x ) 」[新井p.91]
　　　　　　　「任意のxは、自然数に属しているならば1以上である」
　
・1項述語(1変数命題関数)「1≦x」は、
　　xの中身に依存して、様々な命題を表すが、
　　　「∀x∈N (1≦x)」　は、何にも依存しない確定した命題。　

・用語：
　・「∀x∈N (1≦x)」の「∀」は、全称記号とよばれる論理記号。
　・「∀x∈N (1≦x)」の「∀x∈N」は、全称量化子・全称作用素と呼ばれる。
　　　* 松井p.36によると、この例のように範囲明示の場合は、
　　　　　bounded quantifierと呼ぶことがあるらしい。　　
　・全称量化子・全称作用素「∀x∈N」を「1≦x」の前につけて
　　　「∀x∈N (1≦x)」
　　　をつくることは、
　　　全称量化・普遍量化とよばれる
　・「∀x∈N (1≦x)」というかたちのなかで、
　　全称量化子・全称作用素「∀x∈N」によって量化された範囲
　　　　「1≦x」
　　は、
　　全称量化子・作用素「∀x∈N」のスコープscope適用範囲,視野,作用域
　　などと呼ばれる。　
　・「∀x∈N (1≦x)」において、「∀x」によって量化された「1≦x」のなかの変数xは、
　　束縛変数とよばれる。
　・「∀x∈N (1≦x)」には、自由変数は存在しない。


【例】　「 ∀x∈ R (　x2≧0　) 」[松井pp.36-7]


・解釈：「∀ ＋ 変項∈集合  ＋ 1項述語」 というかたちにおいて、
　　　　　変項 をx,
　　　　　集合をR　
　　　　　1項述語を「x2≧0」としたもの。
・意味：「Rから何を取ってきてxに代入しても、
　　　　　　　　　xは 条件『x2≧0』を満たす」
　　　　という全称命題。
・読み下し例：「任意の実数xに対し、x2≧0」[松井p.36]
・同意表現： 「  ∀x ( x∈R⇒x2≧0 ) 」
　　　　　　「任意のxは、Rに属しているならば、条件『x2≧0』を満たす。」
　
・1項述語(1変数命題関数)「x2≧0」は、
　　xの中身に依存して、様々な命題を表すが、
　　　「 ∀x∈ R (　x2≧0　)」　は、何にも依存しない確定した命題。　

・用語：
　・「∀x∈ R (　x2≧0　)」の「∀」は、全称記号とよばれる論理記号。
　・「∀x∈ R (　x2≧0　)」の「∀x∈R」は、全称量化子・全称作用素と呼ばれる。
　　　* 松井p.36によると、この例のように範囲明示の場合は、
　　　　　bounded quantifierと呼ぶことがあるらしい。　　
　・全称量化子・全称作用素「∀x∈R」を「x2≧0」の前につけて
　　　「∀x∈ R (　x2≧0　)」
　　　をつくることは、
　　　全称量化・普遍量化とよばれる
　・「∀x∈ R (　x2≧0　)」というかたちのなかで、
　　全称量化子・全称作用素「∀x∈R」によって量化された範囲
　　　　「x2≧0」
　　は、
　　全称量化子・作用素「∀x∈R」のスコープscope適用範囲,視野,作用域
　　などと呼ばれる。　
　・「∀x∈ R (　x2≧0　)」において、「∀x」によって量化された「x2≧0」のなかの変数xは、
　　束縛変数とよばれる。
　・「∀x∈ R (　x2≧0　)」には、自由変数は存在しない。



【例】
　・以下、
　　ChoreoByM (x)は
　　「xの振り付けは、Mikikoによって考案される」という1項述語(1変数命題関数)
　　を表すとする。
　・「∀x ∈Perfume 　ChoreoByM (x)」は、
　　「Perfumeに所属する任意のxについて、ChoreoByM (x)」
　　すなわち、
　　「Perfumeに所属する任意のxについて、xの振り付けは、Mikikoによって考案される」
　　と読み下され、
　　「Perfumeの全メンバーの振り付けは、Mikikoによって考案される」
　　という全称命題を意味する。
　
　・「∀x ∈Perfume 　ChoreoByM (x)」は、
　　「 ∀x (　x ∈Perfume ⇒　ChoreoByM (x)」の略記だから、
　　これらは、同じ意味で、互いに言い換えてよい。




【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献−数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　




　つまり、
　「∀x ∈Perfume 　ChoreoByM (x)」　
　　　　　＝「Perfumeに所属する任意のxについて、xの振り付けは、Mikikoによって考案される」
　　　　　＝「Perfumeの全メンバーの振り付けは、Mikikoによって考案される」
　は、
　「 ∀x (　x ∈Perfume ⇒　ChoreoByM (x)」
　　　　　＝　「任意のxについて、xがPerfumeに所属するならば、　xの振り付けは、Mikikoによって考案される」
　　　　　＝　「誰であれ、Perfumeに所属するならば、振り付けは、Mikikoによって考案される」
　と同じこと。　
　　



【例】
　・キャッチコピー「日本の原発は安全です」を、述語論理で表すと・・・。

　・以下、
　　Safe (x)は、「xは安全です」という1項述語(1変数命題関数)を表すとする。
　　AKWは、「日本の原子力発電所Atomkraftwerkすべてをあつめた集合」を表すとする。

　・「日本の原発は安全です」は、
　　『日本の原発』のうち、特定の原発だけが安全だと主張したいのではなくて、　　　　
　　おそらくは、
　　「すべての『日本の原発』は安全です」と主張したがっているのだと解釈されるので、
　　1項述語「xは安全です」を、或る集合の範囲に限定して普遍量化した文
　　「『日本の原子力発電所をすべてあつめた集合』に属す任意のxについて、xは安全です」　　　
　　に翻訳できる。
　　ここで、
　　「日本の原子力発電所Atomkraftwerkをすべてあつめた集合」をたとえば、AKWで表し、
　　1項述語「xは安全です」をたとえば、Safe (x)で表すとすると、
　　「∀x ∈AKW 　Safe (x)」
　　となる。　
　　　　
　・「日本の原発は安全です」の否定は？
　　　「日本の原発は安全です」は、
　　　「すべての『日本の原発』は安全です」「∀x ∈AKW 　Safe (x)」という主張だったから
　　　この否定「"すべての『日本の原発』は安全です"とは言えない」
　　　　　　¬（ ∀x ∈AKW 　Safe (x) ）
　　　は、
　　　∃x ∈AKW （¬Safe (x)） すなわち、
　　　「『日本の原発』のなかには、少なくとも一つ以上、安全でない原発が存在する」
　　　「『日本の原発』には、少なくとも一つ以上、危険な原発が存在する」
　　　となる。　　



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