体における加法・乗法をからめた性質
[トピック一覧：体における加法・乗法をからめた性質]
・分配則、乗法の単位元の逆元との積、0との積、積の乗法の逆元、積と符号(1)、積と符号(2)　　
※体の性質関連ページ：加法、乗法、　　
※体についての関連ページ：体の定義、順序体の定義、実数体の定義
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体における加法・乗法の分配則　　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
＋ ： 体の定義により、体Kに定義された加法。　　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、x,y,z∈Kを選んでも、 ( x＋y )z = xz＋yz , z(x＋y )= zx＋zy が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y,z∈K ) ( ( x＋y )z = xz＋yz , z(x＋y )= zx＋zy )
※なぜ？　体の定義―条件Dより、
　　　　　( ∀x,y,z∈X ) ( ( x＋y )z = xz＋yz , z(x＋y )= zx＋zy )を満たす代数系Xを、体Kと呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x,y,z∈K ) ( ( x＋y )z = xz＋yz , z(x＋y )= zx＋zy )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、それらは体Kではない。

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定理：0との積
　[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12);松坂『解析入門1』1.3命題3(a)(p.29)
　　杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vi(p.2);神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1(1)(p.63)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなx∈Kでも、0との積は0。
　　つまり、　( ∀x∈K ) ( 0x=x0=0 )
※常識的には、 0x=x0=0は自明だが、
　アカデミックな数学は、0を加法の単位元として定義するだけ。
　だから、加法の単位元0が乗法でどのように振る舞うかは自明ではない。
　「0x=x0=0」は、加法の単位元と実数との乗法の結果は、常に加法の単位元であると主張しているわけで、
　それはそれで、驚くべきこと。
※なぜ？　[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12);杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vi(p.2);
　　　　　　　神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1(1)(p.63)]
　　0+0=0　∵体のいかなる要素も0との和は0　　
　　だから、 (0+0)x=0x　…(1)　
　　分配則より、(0+0)x=0x+0x　だから、これで、(1)の左辺を書きかえると、
　　0x+0x=0x　　
　　両辺に、‐0xを加えて、
　　0x+0x+(−0x)=0x+(−0x)　
　　体の元とその加法の逆元との和が０であることから、　　
　　0x=0　
※これは、体のみならず、環一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]　

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定理：乗法の単位元の逆元との積　[赤『実数論講義』定理2.3.2(p.44)]　
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなx∈Kでも、「『乗法の単位元』の加法に関する逆元」−1との積は、xの加法に関する逆元−xに等しい。
つまり、　( ∀x∈K ) ( (−1)x=−x )
（証明）
・赤『実数論講義』定理2.3.2(p.44)
・積と符号の関係の特殊例として。

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定理：積の、乗法に関する逆元
[永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9);杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1xi(p.2);]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
x^-1： 体の定義により、存在が保証されているxの乗法に関する逆元　
（本題）
どんなふうに、x,y∈K−{0} を選んでも、(xy)^-1=y^-1x^-1。
　　つまり、　( ∀x,y∈K−{0} ) ( (xy)^-1=y^-1x^-1 )
※なぜ？　[永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9);]
　x,yを、K−{0} の任意の元とする。　
　・( y^-1x^-1 ) xy = y^-1 (x^-1x ) y 　∵体における乗法の結合則　
　　　　　　=y^-1・1・y 　　∵体における自らの乗法に関する逆元との積　
　　　　　　=y^-1y　　　　　∵体における1との積の性質　　
　　　　　　=1　　　　　　∵体における自らの乗法に関する逆元との積　
　・xy ( y^-1x^-1 ) = x ( y y^-1 ) x^-1 　　∵体における乗法の結合則　
　　　　　　= x ・1・ x^-1 　　∵体における自らの乗法に関する逆元との積　
　　　　　　= xx^-1 　　　　　　∵体における1との積の性質　　　　　　　
　　　　　　=1　　　　　　∵体における自らの乗法に関する逆元との積　
　以上2点から、y^-1x^-1は、xy の乗法に関する逆元の定義を満たすことがわかる。
　つまり、(xy)^-1=y^-1x^-1　　　
※これは、体のみならず、群一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.3.3(p.9)]　
※体では可換則が成り立つので、(xy)^-1=y^-1x^-1=x^-1y^-1。

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定理：積と符号(1)
[杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1vii(p.2);永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12);
　松坂『解析入門1』1.3命題3(c)(p.29)]
（設定）
K : 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。
−x： 体の定義により、存在が保証されているxの加法に関する逆元　　
（本題）
どんなふうに、x,y∈K を選んでも、(-x)y=x(-y)= −(xy)。　　　
　　つまり、　( ∀x,y∈K ) ( (-x)y=x(-y)= - (xy) )
※なぜ、(-x)y= - (xy)　なのか？　
　x,yを、Kの任意の元とする。　
　・x＋(-x)=0　∵体の元とその加法の逆元との和は０である　
　・0y=0　　　∵体における0との積　　
　上記２点より、{x＋(-x)}y=0　
　分配則より、xy＋(-x)y=0　　
　体における加法の可換則より、xy＋(-x)y=(-x)y＋xy=0　
　よって、(-x)yはxyの加法に関する逆元の定義を満たす。
　すなわち、(-x)y= - (xy)　　
※なぜ、x(-y)= - (xy)　なのか？　
　x,yを、Kの任意の元とする。　
　・y＋(-y)=0　∵体の元とその加法の逆元との和は０である　
　・0x=0　　　∵体における0との積　　
　上記２点より、x{y＋(-y)}=0　
　分配則より、xy＋x(-y)=0　　
　体における加法の可換則より、xy＋x(-y)=x(-y)＋xy=0　
　よって、x(-y)はxyの加法に関する逆元の定義を満たす。
　すなわち、x(-y)= - (xy)　　

※これは、体のみならず、環一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]　

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定理：積と符号(2)
[杉浦『解析入門I』1章§1-[2]問1viii(p.2);永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12);松坂『解析入門1』1.3命題3(c)(p.29)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、x,y∈Kを選んでも、(-x)(-y)=xy。　　　
　　つまり、　( ∀x,y∈K ) ( (-x)(-y)=xy )
※なぜ？　
　　 (-x)(-y)=−( (-x)y )　∵　x(-y)=−(xy)　で、xを (-x)とおき、yを (-y)とおいた。　
　　　　　　=−(- (xy) )　∵　(-x)y=−(xy)　で、xを (-x)とおいた。　
　　　　　　=xy　　　
※これは、体のみならず、環一般について成り立つ。[永田『代数学入門』定理1.4.2(p.12)]　

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（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)
永田雅宜『代数学入門』培風館、1996年、定理1.4.2(p.12)。

解析学テキストのなかで。
小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
松坂和夫『解析入門1』岩波書店、1997年、1.3節順序体(p.29)。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

数理経済学テキストのなかで。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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