[トピック一覧]
・ε近傍と位相
・距離空間上の開集合と位相

※関連ページ：一般の距離空間、距離空間(R,d)、距離空間(R²,d)、位相空間　
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定理：距離空間上のε近傍と位相[松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237); 彌永『集合と位相』§2.3例2.12(p.188);]
　点Pのすべてのε近傍をあつめた集合系は、点Pの基本近傍系をなす。

定理：距離空間上の開集合と位相
　[松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237); 斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
　　矢野『距離空間と位相構造』1.3.2命題1.15(p41); 志賀『位相への30講』第13項(pp.95-96);第24項(pp.166-7)]
　距離空間 (X,d)の開集合をすべてあつめた集合系O_dは、開集合系をなす。
　ゆえに、O_dは、Xにおける位相となる。
　このように、集合Xに距離dを定義しさえすれば、
　　距離空間(X,d)ができ、そこから、ε近傍、開集合が定義され、さらに開集合系も定義され、
　位相空間(X, O_d)も定義されてしまう。
　つまり、距離空間(X,d)には、いつでも、位相空間(X, O_d)がついてくることになる。
　この意味で、O_dは、距離dの定める位相とも呼ばれる。

（証明）距離空間(X,d)上の開集合をすべてあつめた集合系O_dは、開集合の公理を満たすことを示す。
　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);]