距離空間(R2,d)と位相 : トピック一覧 |
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[松坂『集合・位相入門』第6章B(p.237); 彌永『集合と位相』§2.3例2.12(p.188);]
(意義)
この定理は、
「集合R2に距離dを定義しさえすれば、集合R2に位相を定めたことになる」、
「距離空間(R2,d)には、いつでも、位相空間(R2, Od)がついてくることになる」
という重大な事態を意味している。
つまり、
step1.集合R2に距離dを定義して、距離空間(R2,d)をつくると、距離dから、ε近傍が定まる、
(ε近傍の定義による。ε近傍の定義は距離dにのみ依存する。)
step2.ε近傍が定義されれば、距離空間(R2,d)における(距離空間の文脈でいう)開集合も定義される、
(距離空間の文脈でいう開集合の定義による)
step3. 距離空間(R2,d)における(距離空間の文脈でいう)開集合をすべてあつめた集合系は、
位相の文脈でいう開集合系をなす。
(この定理による)
step4. 集合R2に位相の文脈でいう開集合系が定まるならば、集合R2に位相が定められ、
集合R2とその開集合系の組は、位相空間となる。
(位相、位相空間の定義による)
(証明)
距離空間(R2,d)上の(距離空間の文脈でいう)開集合をすべてあつめた集合系Odは、
(位相の文脈でいう)開集合の公理を満たすことを示す。
[志賀『位相への30講』第3項(pp.20-23);斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41)]
Step1: 距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系は、開集合系の第1条件を満たす。
距離空間(R2,d)上の開集合の定義より、
R2全体、空集合φも、距離空間(R2,d)上の開集合の一例(→理由)。
ゆえに、距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
開集合系の第1条件:R2∈Od かつ φ∈Od
を満たす。
Step2: 距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系は、開集合系の第2条件を満たす。
距離空間(R2,d)上の開集合の性質より、
距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
開集合系の第2条件(∀O1,O2∈O) (O1∩O2∈O)を満たす。
Step3: 距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、開集合系の第3条件を満たす。
距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系Odは、
距離空間(R2,d)上の開集合の性質より、
開集合系の第3条件
∀Oλ∈O (λ∈Λ) にたいして、
∈
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