1変数関数の単関数列による近似：トピック一覧　　

　・定理：非負実数値関数に各点収束する単関数列/非負有界実数値関数に一様収束する単関数列　　
　　　　　非負実数値関数の単関数列近似は可能
　・定理：非負広義実数値関数に各点収束する単関数列/非負「広義実数値」関数の単関数列近似は可能
　・定理：実数値関数の単関数列近似は可能　

　※1変数関数からなる関数列関連ページ：
　　　関数列･関数項級数とその極限の定義/一様収束判定条件/極限関数の連続性/関数列の極限と積分　
　※一般化：実数値関数一般の単関数列による近似　
　※総目次

定理： 非負実数値1変数関数に各点収束する関数列

要旨

任意の非負実数値1変数関数 f にたいして、「f に各点収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非負実数値1変数関数」y= f (x)　
　　　　つまり、　
　　　　　1変数関数「f：D→R」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≧０
　　　　を満たすもの
　　　　を用意する。
　　　　y= f (x)　は有界関数でなくてもよいので、
　　　　たとえば、(０,1 ]を定義域とするy= f (x)=1/xなどでもよい。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付,可測関数のケース。
新井『ルベーグ積分講義』定理7.12(p.103):図解付,可測関数のケース。
伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース。
Malliavin,Integration and Probability, 6.4.2Corollary(p.28);可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たす限りで任意の実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }は、[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。
[関数列｛ fn(x)｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }の定義]
　Step1:関数fn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = f (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝ f -1 ( [０/2n, 1/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | ０/2n≦f (x)＜1/2n } 　
　　E(n,1) ＝ f -1 ( [1/2n, 2/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 1/2n≦f (x)＜2/2n } 　
　　E(n,2) ＝ f -1 ( [2/2n, 3/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 2/2n≦f (x)＜3/2n }
　　E(n,3) ＝ f -1 ( [3/2n, 4/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 3/2n≦f (x)＜4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) = f -1 ( [n−1/2n, n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n−1/2n≦f (x)＜n}　　
　　E(n) ＝ f -1 ( [ n, +∞ ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n≦f (x) }　　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{fn(x)}の定義
　・上記の1変数関数fnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 f1 (x)＝０χE(1,０)(x)+(1/2)χE(1,1) (x)+1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 f2(x)＝０χE(2,０)(x)+(1/4)χE(2,1) (x)+(1/2)χE(2,2) (x)+(3/4)χE(2,3) (x)+1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE(2,5) (x)+(3/2)χE(2,6) (x)+(7/4)χE(2,7) (x)+2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　　　 f3(x)＝０χE(3,０)(x)+(1/8)χE(3,1) (x)+(1/4)χE(3,2) (x)+(3/8)χE(3,3) (x)+(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE(3,5) (x)+(3/4)χE(3,6) (x)+(7/8)χE(3,7) (x)+χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE(3,9) (x)+(5/4)χE(3,10) (x)+(11/8)χE(3,11) (x)+(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE(3,13) (x)+(7/4)χE(3,14) (x)+(15/8)χE(3,15) (x)+2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE(3,17) (x)+(9/4)χE(3,18) (x)+(19/8)χE(3,19) (x)+(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE(3,21) (x)+(11/4)χE(3,22) (x)+(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数fnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ fn｝＝ { f1 , f2 , f3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }について、もっと詳しい説明→詳細　
[性質1] この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
※なぜ？→証明　　
[性質2] この関数列は、単調増加列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　　　を満たす。　
※なぜ？→証明　　
[性質3] この関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数f に各点収束する。　
※なぜ？→証明　
　　　　　
　 　

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定理： 非負有界1変数関数に一様収束する単調増加単関数列

要旨

任意の非負有界1変数関数 f にたいして、「f に一様収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非負有界1変数関数」y= f (x)
　　　つまり、　
　　　1変数関数「f：D→R」であって、
　　　・任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≧０
　　　かつ　
　　　・ある正の実数Mが存在して、
　　　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいしてf (x)≦M
　　　を満たすもの
　　　を用意する。
Step3：実数体Rに距離dを定めて、
　　　　実数体R上に、距離空間( R , d )を設定。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
Malliavin,Integration and Probability, 6.4.1Proposition(p.27);可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たし有界である限りで任意の1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }は、[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。
[関数列｛ fn(x)｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }の定義]
　Step1:関数fn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = f (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝ f -1 ( [０/2n, 1/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | ０/2n≦f (x)＜1/2n } 　
　　E(n,1) ＝ f -1 ( [1/2n, 2/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 1/2n≦f (x)＜2/2n } 　
　　E(n,2) ＝ f -1 ( [2/2n, 3/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 2/2n≦f (x)＜3/2n }
　　E(n,3) ＝ f -1 ( [3/2n, 4/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 3/2n≦f (x)＜4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) = f -1 ( [n−1/2n, n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n−1/2n≦f (x)＜n}　　
　　E(n) ＝ f -1 ( [ n, +∞ ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n≦f (x) }　　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{fn(x)}の定義
　・上記の1変数関数fnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 f1 (x)＝０χE(1,０)(x)+(1/2)χE(1,1) (x)+1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 f2(x)＝０χE(2,０)(x)+(1/4)χE(2,1) (x)+(1/2)χE(2,2) (x)+(3/4)χE(2,3) (x)+1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE(2,5) (x)+(3/2)χE(2,6) (x)+(7/4)χE(2,7) (x)+2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　　　 f3(x)＝０χE(3,０)(x)+(1/8)χE(3,1) (x)+(1/4)χE(3,2) (x)+(3/8)χE(3,3) (x)+(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE(3,5) (x)+(3/4)χE(3,6) (x)+(7/8)χE(3,7) (x)+χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE(3,9) (x)+(5/4)χE(3,10) (x)+(11/8)χE(3,11) (x)+(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE(3,13) (x)+(7/4)χE(3,14) (x)+(15/8)χE(3,15) (x)+2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE(3,17) (x)+(9/4)χE(3,18) (x)+(19/8)χE(3,19) (x)+(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE(3,21) (x)+(11/4)χE(3,22) (x)+(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数fnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ fn｝＝ { f1 , f2 , f3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }について、もっと詳しい説明→詳細　
[性質1] この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
　　※なぜ？→必ずしも有界ではない非負実数値1変数関数をfとしたケースで証明済み。　
[性質2] この関数列は、単調増加列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　　　を満たす。　
　　※なぜ？→必ずしも有界ではない非負実数値1変数関数をfとしたケースで証明済み。　
[性質3] この関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに一様収束する。
　　※なぜ？→証明　
　 　

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定理： 非負実数値1変数関数の単関数列近似は可能

要旨

任意の非負1変数関数 f にたいして、「f に各点収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非負1変数関数」y= f (x)　
　　　　つまり、　
　　　　　1変数関数「f：D→R」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≧０
　　　　を満たすもの
　　　　を用意する。。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付

伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たす限りで任意の1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次の条件を満たす関数列{ f1 , f2 , f3 , … }が存在する。
 [条件1] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
 [条件2] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、単調増加列。

　　つまり、

　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　を満たす。　
 [条件3] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する。
　　　つまり、
　　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　同じ値にxを固定して得られるf (x) に収束する。　　　　

証明

条件1-3を満たす関数列{ f1 , f2 , f3 , … }の実例を一つあげることができるから。
　→その実例　

→[トピック一覧：単関数近似]
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定理： 広義の実数値をとる非負1変数関数に各点収束する関数列

要旨

任意の非負「広義実数値」1変数関数 f にたいして、「f に各点収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)R、広義の実数の集合R*を用意する。
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とし、広義の実数値をとる「非負広義実数値1変数関数」y= f (x)
　　　つまり、　
　　　1変数関数「f：D→R*」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、０≦f (x)≦+∞
　　　を満たすもの
　　　を用意する。
Step3：実数体Rに距離dを定めて、実数体R上に、距離空間( R , d )を設定。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付,可測関数のケース。
猪狩惺『実解析入門』定理3.4(p.58):可測関数のケース。
伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たす限りで任意の広義実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }は、[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。
[関数列｛ fn(x)｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }の定義]
　Step1:関数fn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = f (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝ f -1 ( [０/2n, 1/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | ０/2n≦f (x)＜1/2n } 　
　　E(n,1) ＝ f -1 ( [1/2n, 2/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 1/2n≦f (x)＜2/2n } 　
　　E(n,2) ＝ f -1 ( [2/2n, 3/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R |2/2n≦f (x)＜3/2n }
　　E(n,3) ＝ f -1 ( [3/2n, 4/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 3/2n≦f (x)＜4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) = f -1 ( [n−1/2n, n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n−1/2n≦f (x)＜n}　　
　　E(n) ＝ f -1 ( [ n, +∞] ) ＝ { x ∈D⊂R | n≦f (x) } ∪{ +∞ }　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{fn(x)}の定義
　・上記の1変数関数fnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 f1 (x)＝０χE(1,０)(x)+(1/2)χE(1,1) (x)+1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 f2(x)＝０χE(2,０)(x)+(1/4)χE(2,1) (x)+(1/2)χE(2,2) (x)+(3/4)χE(2,3) (x)+1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE(2,5) (x)+(3/2)χE(2,6) (x)+(7/4)χE(2,7) (x)+2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　　　 f3(x)＝０χE(3,０)(x)+(1/8)χE(3,1) (x)+(1/4)χE(3,2) (x)+(3/8)χE(3,3) (x)+(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE(3,5) (x)+(3/4)χE(3,6) (x)+(7/8)χE(3,7) (x)+χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE(3,9) (x)+(5/4)χE(3,10) (x)+(11/8)χE(3,11) (x)+(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE(3,13) (x)+(7/4)χE(3,14) (x)+(15/8)χE(3,15) (x)+2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE(3,17) (x)+(9/4)χE(3,18) (x)+(19/8)χE(3,19) (x)+(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE(3,21) (x)+(11/4)χE(3,22) (x)+(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数fnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ fn｝＝ { f1 , f2 , f3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }について、もっと詳しい説明→詳細　　　　
[性質1] この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
※なぜ？→f は非負一価関数であるから、 fが非負実数値関数であるケースと同様にして、
　　　　　　　E(n,０) , E(n,1) , E(n,2) ,…, E(n,n2n−1), E(n)は定義域Dの直和分割となることが確かめられる。
　　　　　したがって、fn(x)は単関数の定義をみたす。　
[性質2] この関数列は、単調増加列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　　　を満たす。　
※なぜ？→ fが非負実数値関数であるケースと全く同様にして確かめられるので略。　　
[性質3] この関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する。
※なぜ？　

定義域Dを、
　　f (x)＜∞ を満たすxの集合DR= f -1 ( [０, +∞ ) ) 　
　　f (x)＝+∞ を満たすxの集合D∞= f -1 ( +∞ ) 　と、　
に分けて考える。
DRにおいては、関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する（∵）。
　つまり、DRに属す各xにおいて、
　　　　　　　　
D∞に属す各xについては、f (x)＝+∞ であるゆえ、
　　 f1 (x)＝1 , f2 (x)＝2 , f3 (x)＝3 , … , fn (x)＝n ,… 　　　
　　つまり、{ fn (x ) }＝n　。　
　　したがって、
　　　　　
　　f (x)＝+∞ だから、
　　　　　
以上から、定義域Dに属す各xにたいして、
　　　　　　　　
となることがしめされた。
すなわち、定義域Dにおいて、関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する。

→[トピック一覧：単関数近似]
→総目次

定理： 非負「広義実数値」1変数関数の単関数列近似は可能

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)R、広義の実数の集合R*を用意する。
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とし、広義の実数値をとる「非負広義実数値1変数関数」y= f (x)
　　　つまり、　
　　　1変数関数「f：D→R*」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、０≦f (x)≦+∞
　　　を満たすもの
　　　を用意する。
Step3：実数体Rに距離dを定めて、実数体R上に、距離空間( R , d )を設定。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付,可測関数のケース。
猪狩『実解析入門』定理3.4(p.58):可測関数のケース。
伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たす限りで任意の広義実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次の条件を満たす関数列{ f1 , f2 , f3 , … }が存在する。
 [条件1] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
 [条件2] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、単調増加列。

　　つまり、

　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　を満たす。　
 [条件3] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する。
　　　つまり、
　　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　同じ値にxを固定して得られるf (x) に収束する。　　　　

証明

条件1-3を満たす関数列{ f1 , f2 , f3 , … }の実例を一つあげることができるから。
　→その実例　

→[トピック一覧：単関数近似]
→総目次

定理： 非正値実数値1変数関数に各点収束する関数列

要旨

任意の非正値実数値1変数関数 g にたいして、「g に各点収束する単関数の単調減少列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非正値実数値1変数関数」y= g (x)　
　　　　つまり、　
　　　　　1変数関数「g：D→R」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、g (x)≦０
　　　　を満たすもの
　　　　を用意する。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
　 　

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてg (x)≦０を満たす限りで任意の実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛gn｝＝{ g1 , g2 , g3 , … }は、
[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。

[関数列｛ gn(x)｝＝{ g1 , g2 , g3 , … }の定義]
　Step1:関数gn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = g (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝g -1 ( （−1/2n,−０/2n 〕 ) ＝ { x ∈D⊂R | −０/2n≧f (x)＞−1/2n } 　
　　E(n,1) ＝g -1 ( （−2/2n,−1/2n 〕 ) ＝ { x ∈D⊂R | −1/2n≧f (x)＞−2/2n } 　
　　E(n,2) ＝g -1 ( （−3/2n,−2/2n 〕 ) ＝ { x ∈D⊂R | −2/2n≧f (x)＞−3/2n }
　　E(n,3) ＝g -1 ( （−4/2n,−3/2n〕 ) ＝ { x ∈D⊂R | −3/2n≧f (x)＞−4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) =g -1 ( （−n,−(n−1/2n)〕 ) ＝ { x ∈D⊂R |−(n−1/2n)≧f (x)＞−n}　　
　　E(n) ＝g -1 ( （−∞,−n〕 ) ＝ { x ∈D⊂R | −n≧f (x) }　　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数gn(x)＝−０χE(n,0)(x)−(1/2n)χE(n,1) (x)−(2/2n )χE(n,2) (x)−(3/2n )χE(n,3) (x)…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{gn(x)}の定義
　・上記の1変数関数gnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 g1 (x)＝−０χE(1,０)(x)−(1/2)χE(1,1) (x)−1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数gnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 g2(x)＝−０χE(2,０)(x)−(1/4)χE(2,1) (x)−(1/2)χE(2,2) (x)−(3/4)χE(2,3) (x)−1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−(5/4)χE(2,5) (x)−(3/2)χE(2,6) (x)−(7/4)χE(2,7) (x)−2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数gnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　 g3(x)＝−０χE(3,０)(x)−(1/8)χE(3,1) (x)−(1/4)χE(3,2) (x)−(3/8)χE(3,3) (x)−(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　−(5/8)χE(3,5) (x)−(3/4)χE(3,6) (x)−(7/8)χE(3,7) (x)−χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　−(9/8)χE(3,9) (x)−(5/4)χE(3,10) (x)−(11/8)χE(3,11) (x)−(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　−(13/8)χE(3,13) (x)−(7/4)χE(3,14) (x)−(15/8)χE(3,15) (x)−2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−(17/8)χE(3,17) (x)−(9/4)χE(3,18) (x)−(19/8)χE(3,19) (x)−(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−(21/8)χE(3,21) (x)−(11/4)χE(3,22) (x)−(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数gnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ gn｝＝ { g1 , g2 , g3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛gn｝＝{ g1 , g2 , g3 , … }について、もっと詳しい説明　
[性質1] この関数列の各項 g1 , g2 , g3 , …は、すべて単関数。
※なぜ？→→f は非正値一価関数であるから、 fが非負実数値関数であるケースと同様にして、
　　　　　　　E(n,０) , E(n,1) , E(n,2) ,…, E(n,n2n−1), E(n)は定義域Dの直和分割となることが確かめられる。
　　　　　したがって、fn(x)は単関数の定義をみたす。　
[性質2] この関数列は、単調減少列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ gn(x ) }={ g1 (x ) , g2 (x ) , g3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　g1 (x )≧g2 (x )≧g3 (x )≧…
　　　　　　を満たす。　
※なぜ？→　　
[性質3] この関数列{ g1 , g2 , g3 , … }は、1変数関数f に各点収束する。　
※なぜ？→　

・非正値実数値1変数関数g(x) から、非負値実数値1変数関数f (x)=−g(x)を定義する。
　したがって、g(x)=−f(x)となる。
・また、関数列｛gn(x)｝＝ { g1(x) , g2(x), g3(x), … }から、
　　　　関数列｛fn(x)｝＝｛−gn(x)｝＝{−g1(x) ,−g2(x),−g3(x),…}を定義する。
　したがって、｛gn(x)｝＝｛−fn(x)｝となる。
・定理により、関数列｛fn(x)｝は単調増加で、f(x)に各点収束する。
　したがって、｛gn(x)｝＝｛−fn(x)｝は単調減少で、−f (x)=g(x)に各点収束する。
　　　　　　　∵収束数列の極限の演算則(1)　

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定理： 実数値関数の単関数列による近似

要旨

任意の実数値1変数関数 f にたいして、「f に各点収束する単関数列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「実数値1変数関数」y= f (x)　
　　　　を用意する。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)→p.265。
伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース;p.78。

定理

任意の実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次の条件を満たす関数列{ f1 , f2 , f3 , … }が存在する。
[条件1] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }の各項f1 , f2 , f3 ,…は、すべて単関数。
[条件2] 関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数fに各点収束する。
　　　　つまり、
　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　　　　xを固定して得られる数列　
　　　　　　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　
　　　　　が、同じ値にxを固定して得られるf (x) に収束する。

証明

Step1:　
f (x)から、f＋(x)＝max {f (x),０}, 、f−(x)＝−min {f (x),０}　を定義する。
すると、　
　・f (x)＝f＋(x)−f−(x)　…(1)　
　・f＋(x)は非負1変数関数だから、定理より、
　　次の条件を満たす関数列{ f1＋ , f2＋ , f3＋, … }が存在する。
　　[条件1] 関数列{ f1＋ , f2＋ , f3＋ , … }の各項f1＋ , f2＋ , f3＋ ,…は、すべて単関数。…(2-1)
　　[条件2] 関数列{ f1＋ , f2＋ , f3＋ , … }は、fに各点収束する。…(2-2)
　　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　　　　　　xを固定して得られる数列　
　　　　　　　　{ fn＋(x ) }={ f1＋ (x ) , f2＋ (x ) , f3＋ (x ) , … }　
　　　　　　　が、同じ値にxを固定して得られるf＋ (x) に収束する。　　
　・f−(x)は非負1変数関数だから、定理より、
　　次の条件を満たす関数列{ f1− , f2− , f3−, … }が存在する。
　　[条件1] 関数列{ f1− , f2− , f3− , … }の各項f1− , f2− , f3− ,…は、すべて単関数。…(3-1)
　　[条件2] 関数列{ f1− , f2− , f3− , … }は、f−に各点収束する。…(3-2)
　　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　　　　　　xを固定して得られる数列　
　　　　　　　　{ fn−(x ) }={ f1−(x ) , f2−(x ) , f3−(x ) , … }　
　　　　　　　が、同じ値にxを固定して得られるf−(x) に収束する。
Step2:　
・単関数どおしの和差は単関数だから、(2-1) (3-1)より、　
　　　関数列{ fn＋(x )− fn−(x )}={ f1＋(x )−f1−(x ) , f2＋(x )−f2−(x ) , f3＋(x )−f3−(x ) , … }　
　の各項f1＋(x )−f1−(x ) , f2＋(x )−f2−(x ) , f3＋(x )−f3−(x ) , … は、すべて単関数。　…(4)　
・収束数列の極限の演算則より、
　「収束数列の各項」と「収束数列の各項」との和を各項とする数列は、極限値どおしの和に収束するから、
　(2-2) (3-2)より、　
　　任意のx∈D⊂Rにたいして
　　xを固定して得られる数列　
　　　　{ fn＋(x )− fn−(x )}={ f1＋(x )−f1−(x ) , f2＋(x )−f2−(x ) , f3＋(x )−f3−(x ) , … }　
　　は、f＋(x)−f−(x)に収束する。
　　すなわち、
　　関数列{ fn＋(x )− fn−(x )}={ f1＋(x )−f1−(x ) , f2＋(x )−f2−(x ) , f3＋(x )−f3−(x ) , … }　
　　は、f＋(x)−f−(x)に各点収束する。
　したがって、(1)より、　　
　関数列{ fn＋(x )− fn−(x )}は、f (x)に各点収束するといえる。　…(5)　
Step3:　
　(4)(5)より、
　任意の実数値1変数関数f (x)に対して、
　各項がすべて単関数であり、かつ、f (x)に各点収束する関数列
　　　　{ fn＋(x )− fn−(x )}={ f1＋(x )−f1−(x ) , f2＋(x )−f2−(x ) , f3＋(x )−f3−(x ) , … }
　が存在することが確認された。

　

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