定理： 非負実数値1変数関数に各点収束する単関数列

要旨

任意の非負実数値1変数関数 f にたいして、「f に各点収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非負実数値1変数関数」y= f (x)　
　　　　つまり、　
　　　　　1変数関数「f：D→R」であって、
　　　　　任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≧０
　　　　を満たすもの
　　　　を用意する。
　　　　y= f (x)　は有界関数でなくてもよいので、
　　　　たとえば、(０,1 ]を定義域とするy= f (x)=1/xなどでもよい。

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付
伊藤清三定理10.1(p.63):図解付,可測関数のケース。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たす限りで任意の実数値1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }は、[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。
[関数列｛ fn(x)｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }の定義]
　Step1:関数fn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = f (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝ f -1 ( [０/2n, 1/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | ０/2n≦f (x)＜1/2n } 　
　　E(n,1) ＝ f -1 ( [1/2n, 2/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 1/2n≦f (x)＜2/2n } 　
　　E(n,2) ＝ f -1 ( [2/2n, 3/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 2/2n≦f (x)＜3/2n }
　　E(n,3) ＝ f -1 ( [3/2n, 4/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 3/2n≦f (x)＜4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) = f -1 ( [n−1/2n, n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n−1/2n≦f (x)＜n}　　
　　E(n) ＝ f -1 ( [ n, +∞ ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n≦f (x) }　　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{fn(x)}の定義
　・上記の1変数関数fnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 f1 (x)＝０χE(1,０)(x)+(1/2)χE(1,1) (x)+1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 f2(x)＝０χE(2,０)(x)+(1/4)χE(2,1) (x)+(1/2)χE(2,2) (x)+(3/4)χE(2,3) (x)+1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE(2,5) (x)+(3/2)χE(2,6) (x)+(7/4)χE(2,7) (x)+2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　　　 f3(x)＝０χE(3,０)(x)+(1/8)χE(3,1) (x)+(1/4)χE(3,2) (x)+(3/8)χE(3,3) (x)+(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE(3,5) (x)+(3/4)χE(3,6) (x)+(7/8)χE(3,7) (x)+χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE(3,9) (x)+(5/4)χE(3,10) (x)+(11/8)χE(3,11) (x)+(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE(3,13) (x)+(7/4)χE(3,14) (x)+(15/8)χE(3,15) (x)+2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE(3,17) (x)+(9/4)χE(3,18) (x)+(19/8)χE(3,19) (x)+(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE(3,21) (x)+(11/4)χE(3,22) (x)+(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数fnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ fn｝＝ { f1 , f2 , f3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }について、もっと詳しい説明→詳細　
[性質1] この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
※なぜ？→証明　　
[性質2] この関数列は、単調増加列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　　　を満たす。　
※なぜ？→証明　　
[性質3] この関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、1変数関数f に各点収束する。　
※なぜ？→証明　　自然数と実数の関係　
　

→定理に戻る

　

　

　

証明：

[目次]
→性質1「この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数」の証明
　　　　→ Step1: f1は単関数。
　　　　→ Step2: f2は単関数。
　　　　→ Step3: f3は単関数。
　　　　　　：
　　　　　　：
　　　　→ Step-n: fnは単関数。
　　　　：
→性質2「この関数列は、単調増加列」の証明
　　　　→ Step1: f1≦f2。
　　　　→ Step2: f2≦f3。
　　　　　　：
　　　　　　：
　　　　→ Step-(n−１): fn-1≦fn。
→性質3「この関数列は、1変数関数fに各点収束する」の証明
→定理に戻る

証明： ここで定義された関数列の各項は、すべて単関数。

[目次]
→ Step1: f1は単関数。
→ Step2: f2は単関数。
→ Step3: f3は単関数。
　　：
　　：
→ Step-n: fnは単関数。
　　：
→証明の冒頭に戻る　

→定理に戻る

　

Step1: f1 が単関数となることの確認。
・ f1 の定義の手順2の帰結として、
　f が非負一価関数である限りは、E０, E1 , Eに重複は生じず、
　f の定義域Dは、E０, E1 , Eに直和分割される。　　

　　　　※なぜ？　
　　　　・「y = f (x) の定義域DがE０, E1 , Eに直和分割される」とは、
　　　　　　　1.E０, E1 , Eに重複が無く
　　　　　　　　　　　　E０∩E1 =φ, E０∩E =φ, E1∩E =φ
　　　　　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　　　　E０とE1の両方に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　　　　　　　　　E０とEの両方に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　　　　　　　　　E1とEの両方に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　　　なおかつ、
　　　　　　　2.　D=E０∪E1∪E
　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　　　　　　　　E０、E1、Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない　　
　　　　　ということ。
　　　　・まず、f が一価関数である限りは、どの「Dの元」のf の値もただ一つに限られるから、
　　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０, F1 ,F ( →f1の定義の手順1)のいずれか一つに属すのであって、
　　　　　複数に同時に属すことはありえない。　
　　　　　したがって、「f1 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , Eを定義すると、
　　　　　「Dの元」は、E０, E1 , Eのいずれか一つに属すのであって、
　　　　　複数に同時に属す「Dの元」は存在しない。　
　　　　　だから、E０, E1 , Eには重複が無く、E０∩E1 =φ, E０∩E =φ, E1∩E =φ。
　　　　・また、f が非負である限りは、　
　　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０, F1 ,F ( →f1の定義の手順1)のいずれかに属すのであって、
　　　　　F０, F1 , F のどれにも属さないということはありえない。
　　　　　したがって、「f1 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , Eを定義すると、
　　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　　E０, E1 , Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない。　
　　　　　したがって、D=E０∪E1∪E。
　　　　　[ここで主張しているのは、
　　　　　　「どの『Dの元』を一つ取っても、E０, E1 , Eのいずれかに属す」ということであって、
　　　　　　「E０, E1 , Eのどの一つをとっても、『Dの元』が属している」ということではないことに注意。
　　　　　　f の値域f (D)が、[ ０, +∞ )の全域に渡っておらず、F０, F1 ,F のいずれかをはずしている場合、
　　　　　　E０, E1 , Eのなかに、どの『Dの元』も属さない集合―つまり空集合φ―が生じるのは
　　　　　　当然である。
　　　　　　なお、E０, E1 , Eのどれかが空集合φであったところで、
　　　　　　　「DがE０, E1 , Eに直和分割される」ことにかわりはない。
　　　　　　φはいかなる集合とも互いに素であり、
　　　　　　また、φとの和をとったところで演算の結果はかわらない]　　
　　　　・したがって、f が非負一価関数である限りは、f の定義域Dは、E０, E1 , Eに直和分割される。
　　　　　　　もしも、f が多価関数ならば、E０, E1 , Eに重複がでてくることになる。　　　　　

　　　　[図例]　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　この例では、E０=φとなっており、　
　　　　　　　　　　　「y = f (x) の定義域」Dは、E1,E に直和分割されている。
　　　　　　　　　　　なお、
　　　　　　　　　　　　「Dは、E０=φ, E1 , E に直和分割される」　
　　　　　　　　　　　といってもよい。
　　　　　　　　　　　（「直和分割」の定義に適っている。
　　　　　　　　　　　　　φは、いかなる集合とも互いに素となるから。
　　　　　　　　　　　　　また、D=E1∪Eならば、D=φ∪E1∪E=E０∪E1∪Eとなるから。　）　

・したがって、R上の点集合E０, E1 , Eの定義関数を用いて、
　　　　　　　　 f1(x)＝０χE０(x)+(1/2)χE1 (x)+1χE (x)　
　と定義されたf1は、
　定義域Dの直和分割E０, E1 , Eについてのの定義関数の線型結合となっており、
　 f1(x)は、紛れもなく単関数である。
　実際、 f1(x)は、

　　　　　　　x∈E０ならば、f1(x)＝０　　
　　　　　　　　　　　　つまり、「０≦f (x)＜1/2」を満たすxに対しては、f1(x)＝０　　
　　　　　　　x∈E1ならば、f1(x)＝1/2　　
　　　　　　　　　　　　つまり、「1/2≦f (x)＜1」を満たすxに対しては、f1(x)＝1/2　　
　　　　　　　x∈Eならば、f1(x)＝1　　
　　　　　　　　　　　　つまり、「1≦f (x)」を満たすxに対しては、f1(x)＝1　　

　となって、最大三通り(E０, E1 , Eのなかに空集合があればそれだけ減る)という有限個の値しかとらず、
　これらの値の逆像も互いに素である。
　　　　　　　　　[図例]　　　
　　　　　　　　　　

　　→ f1が単関数であることの証明の冒頭に戻る　
　　→ {fn}が単関数列であることの証明の冒頭に戻る

　　→証明の冒頭に戻る　

　　→定理に戻る

　

Step2: f2 が単関数となることの確認。
・ f2 の定義の手順2の帰結として、
　 f が非負一価関数である限りは、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに重複は生じず、
　 f の定義域Dは、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに直和分割される。　

　　　※なぜ？　
　　　・「y = f (x) の定義域DがE０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに直和分割される」とは、
　　　　　　　1.E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに重複が無く
　　　　　　　　　　　　Ei∩Ej =φ(i,j=0,1,2,…7, i≠j), Ei∩E =φ(i=0,1,2,…7)
　　　　　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eの複数に同時に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　　　なおかつ、
　　　　　　　2.　D=E０∪E1∪E2∪…∪E7∪E
　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　　　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない　　
　　　　　ということ。
　　　・まず、f が一価関数である限りは、どの「Dの元」のf の値もただ一つに限られるから、
　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０, F1 , F2 ,…, F7 , F [→f2 の定義の手順1]のいずれか一つに属すのであって、
　　　　複数に同時に属すことはありえない。　
　　　　したがって、「f2 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eを定義すると、
　　　　　　　　　　「Dの元」は、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのいずれか一つに属すのであって、
　　　　　　　　　　複数に同時に属す「Dの元」は存在しない。　
　　　　　　　　　　だから、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eには重複が無く、
　　　　　　　　　　Ei∩Ej =φ(i,j=0,1,2,…7, i≠j), Ei∩E =φ(i=0,1,2,…7)。
　　　・また、f が非負である限りは、　
　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０, F1 , F2 ,…, F7 , F [→f2 の定義の手順1]のいずれかに属すのであって、
　　　　F０, F1 , F2 ,…, F7 , F のどれにも属さないということはありえない。
　　　　したがって、「f2 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eを定義すると、
　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない。　
　　　　したがって、D=E０∪E1∪E2∪…∪E7∪E
　　　　[ここで主張しているのは、
　　　　　「どの『Dの元』を一つ取っても、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのいずれかに属す」ということであって、
　　　　　「E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのどの一つをとっても、『Dの元』が属している」ということではない
　　　　　点に注意。
　　　　　f の値域f (D)が[０, +∞)の全域に渡っておらず、F０, F1 , F2 ,…, F7 , F のいずれかをはずしている場合、
　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのなかに、どの『Dの元』も属さない集合―つまり空集合φ―が生じるのは
　　　　　　当然である。
　　　　　　なお、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eのどれかが空集合φであったところで、
　　　　　　　「DがE０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに直和分割される」ことにかわりはない。
　　　　　　φはいかなる集合とも互いに素であり、
　　　　　　また、φとの和をとったところで演算の結果はかわらない]　　
　　　　・したがって、f が非負一価関数である限りは、f の定義域Dは、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに直和分割される。
　　　　　　　もしも、f が多価関数ならば、E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eに重複がでてくることになる。　

　　　　　　　　　[図例]　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　この例では、E０=φ、E1=φとなっており、　
　　　　　　　　　　　「y = f (x) の定義域」Dは、E2, E3 ,…, E7 , E に直和分割されている。
　　　　　　　　　　　なお、
　　　　　　　　　　　　「Dは、E０=φ, E1=φ, E2 , E3 ,…, E7 , E に直和分割される」　
　　　　　　　　　　　といってもよい。
　　　　　　　　　　　（「直和分割」の定義に適っている。
　　　　　　　　　　　　　φは、いかなる集合とも互いに素となるから。
　　　　　　　　　　　　　また、D=E2∪…∪E7∪Eならば、
　　　　　　　　　　　　　D=φ∪φ∪E2∪…∪E7∪E=E０∪E1∪E2∪…∪E7∪Eとなるから。　）

・したがって、R上の点集合E０, E1 , E2 ,…, E7 , Eの定義関数を用いて、
　　　　　　　　 f2(x)＝０χE０(x)+(1/4)χE1 (x)+(1/2)χE2 (x)+(3/4)χE3 (x)+1χE4 (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE5 (x)+(3/2)χE6 (x)+(7/4)χE7 (x)+2χE (x)　
　と定義されたf2は、
　定義域Dの直和分割E０, E1 , E2 , E3 ,…, E7 , E についてのの定義関数の線型結合となっており、
　 f2は、紛れもなく単関数である。
　実際、 f2は、

　　　　　　[case　０]　x∈E０ならば、 f2 (x)＝０　　
　　　　　　　　　　　　つまり、 0/4≦f (x) ＜1/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝０　　
　　　　　　[case　１]　x∈E1ならば、 f2 (x) ＝1/4　　
　　　　　　　　　　　　つまり、1/4≦f (x) ＜2/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝1/4　　
　　　　　　[case　２]　x∈E2ならば、 f2 (x)＝1/2　　
　　　　　　　　　　　　つまり、2/4≦f (x) ＜3/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝1/2　　　　
　　　　　　[case　３]　x∈E3ならば、 f2 (x)＝3/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、3/4≦f (x) ＜4/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝3/4　　
　　　　　　[case　４]　x∈E4ならば、 f2 (x)＝1　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、4/4≦f (x) ＜5/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝1　　
　　　　　　[case　５]　x∈E5ならば、 f2 (x)＝5/4　　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、5/4≦f (x) ＜6/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝5/4　　
　　　　　　[case　６]　x∈E6ならば、 f2 (x)＝3/2　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、6/4≦f (x) ＜7/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝3/2　　
　　　　　　[case　７]　x∈E7ならば、 f2 (x)＝7/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、7/4≦f (x) ＜8/4　を満たすx∈Dに対して、 f2 (x)＝7/4　
　　　　　　[case　8]　x∈Eならば、 f2 (x)＝2　　
　　　　　　　　　　　　つまり、「2≦f (x)」を満たすxに対しては、 f2 (x)＝2　　　

　となって、最大9通り(E０, E1 , …, E7 , Eのなかに空集合があればそれだけ減る)という有限個の値しかとらず、
　これらの値の逆像も互いに素である。

　　　　　　　[図例]　　
　　　　　　　　

　　→ f2が単関数であることの証明の冒頭に戻る　
　　→ {fn}が単関数列であることの証明の冒頭に戻る

　　→証明の冒頭に戻る　

　　→定理に戻る

Step3: f3 が単関数となることの確認。
・ f3 の定義の手順2の帰結として、
　 f が非負一価関数である限りは、E０, E1 , E2 ,…, E23 , E に重複は生じず、
　 f の定義域Dは、E０, E1 , E2 ,…, E23 , E に直和分割される。　

　　　　※なぜ？　
　　　　・「y = f (x) の定義域DがE０, E1 , E2 ,…, E23 , Eに直和分割される」とは、
　　　　　　　1.E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eに重複が無く
　　　　　　　　　　　　Ei∩Ej =φ(i,j=0,1,2,…,23, i≠j), Ei∩E =φ(i=0,1,2,…,23)
　　　　　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eの複数に同時に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　　　なおかつ、
　　　　　　　2.　D=E０∪E1∪E2∪…∪E23∪E
　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　　　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない　　
　　　　　ということ。
　　　　・まず、f が一価関数である限りは、どの「Dの元」のf の値もただ一つに限られるから、
　　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０,F1 ,F2 ,…,F23 ,F [→f3の定義の手順1]のいずれか一つに属すのであって、
　　　　　複数に同時に属すことはありえない。　
　　　　　したがって、「 f3 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eを定義すると、
　　　　　「Dの元」は、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのいずれか一つに属すのであって、
　　　　　複数に同時に属す「Dの元」は存在しない。　
　　　　　だから、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eには重複が無く、
　　　　　　　　　　Ei∩Ej =φ(i,j=0,1,2,…,23, i≠j), Ei∩E =φ(i=0,1,2,…,23)。
　　　　・また、f が非負である限りは、　
　　　　　どの「Dの元」のf の値も、F０,F1 ,F2 ,…,F23 ,F [→f3 の定義の手順1]のいずれかに属すのであって、
　　　　　F０,F1 ,F2 ,…,F23 ,F のどれにも属さないということはありえない。
　　　　　したがって、「 f3 の定義の手順2」に従って、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eを定義すると、
　　　　　「Dの元」の各々は、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのいずれかに属すのであって、
　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E23, Eのどれにも属さない「Dの元」は存在しない。　
　　　　　したがって、D=E０∪E1∪E2∪…∪E23∪E
　　　　　[ここで主張しているのは、
　　　　　　「どの『Dの元』を一つ取っても、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのいずれかに属す」ということであって、
　　　　　　「E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのどの一つをとっても、『Dの元』が属している」ということではない
　　　　　　ことに注意。
　　　　　fの値域f (D)が[０, +∞)の全域に渡っておらず、F０,F1 ,F2 ,…,F23 ,F のいずれかをはずしている場合、
　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのなかに、どの『Dの元』も属さない集合―つまり空集合φ―が生じるのは
　　　　　　当然である。
　　　　　　なお、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eのどれかが空集合φであったところで、
　　　　　　　「DがE０, E1 , E2 ,…, E23 , Eに直和分割される」ことにかわりはない。
　　　　　　φはいかなる集合とも互いに素であり、
　　　　　　また、φとの和をとったところで演算の結果はかわらない]　　
　　　　・したがって、f が非負一価関数である限りは、f の定義域Dは、
　　　　　　　　　　　　　　　　E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eに直和分割される。
　　　　　　　もしも、f が多価関数ならば、E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eに重複がでてくることになる。

　　　　　　[図例]　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　この例では、E０=φ、E1=φ、E2=φ、E3=φとなっており、　
　　　　　　　　　　　「y = f (x) の定義域」Dは、E4, E5 , E6 ,…, E23 , E に直和分割されている。
　　　　　　　　　　　なお、
　　　　　　　　　　　　「Dは、E０=φ, E1=φ, E2=φ, E3=φ, E4, E5 , E6 ,…, E23 , E に直和分割される」　
　　　　　　　　　　　といってもよい。
　　　　　　　　　　　（「直和分割」の定義に適っている。
　　　　　　　　　　　　　φは、いかなる集合とも互いに素となるから。
　　　　　　　　　　　　　また、D=E4∪…∪E23∪Eならば、
　　　　　　　　　　　　　D=φ∪φ∪φ∪φ∪E4∪…∪E23∪E=E０∪E1∪E2∪…∪E23∪Eとなるから。　）　

・したがって、R上の点集合E０, E1 , E2 ,…, E23 , Eの定義関数を用いて、
　　　　　　　　 f3 (x)＝０χE０(x)+(1/8)χE1 (x)+(1/4)χE2 (x)+(3/8)χE3 (x)+(1/2)χE4 (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE5 (x)+(3/4)χE6 (x)+(7/8)χE7 (x)+χE8 (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE9 (x)+(5/4)χE10 (x)+(11/8)χE11 (x)+(3/2)χE12 (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE13 (x)+(7/4)χE14 (x)+(15/8)χE15 (x)+2χE16 (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE17 (x)+(9/4)χE18 (x)+(19/8)χE19 (x)+(5/2)χE20 (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE21 (x)+(11/4)χE22 (x)+(23/8)χE23 (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE (x)　
　と定義されたf3は、
　定義域Dの直和分割E０, E1 , E2 , E3 ,…,E23 , E についての定義関数の線型結合となっており、
　 f3は、紛れもなく単関数である。
　実際、 f3は、

　　　　　　[case　０]　x∈E０ならば、 f3 (x)＝０　　
　　　　　　　　　　　　つまり、 0/8≦f (x) ＜ 1/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝０　　
　　　　　　[case　１]　x∈E1ならば、 f3 (x)＝1/8　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 1/8≦f (x) ＜ 2/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝1/8　　
　　　　　　[case　２]　x∈E2ならば、 f3 (x)＝2/8=1/4　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 2/8≦f (x) ＜ 3/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝2/8=1/4　
　　　　　　[case　３]　x∈E3ならば、 f3 (x)＝3/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 3/8≦f (x) ＜ 4/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝3/8　　
　　　　　　[case　４]　x∈E4ならば、 f3 (x)＝4/8=1/2　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 4/8≦f (x) ＜ 5/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝4/8=1/2　
　　　　　　[case　５]　x∈E5ならば、 f3 (x)＝5/8　　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 5/8≦f (x) ＜ 6/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝5/8　　
　　　　　　[case　６]　x∈E6ならば、 f3 (x)＝6/8=3/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 6/8≦f (x) ＜ 7/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝6/8=3/4　　
　　　　　　[case　７]　x∈E7ならば、 f3 (x)＝7/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 7/8≦f (x) ＜ 8/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝7/8　　
　　　　　　[case　８]　x∈E8ならば、 f3 (x)＝8/8=1　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 8/8≦f (x) ＜ 9/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝8/8=1　　
　　　　　　[case　９]　x∈E9ならば、 f3 (x)＝9/8　　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 9/8≦f (x) ＜10/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝9/8　　
　　　　　　[case１０]　x∈E10ならば、 f3 (x)＝10/8=1+1/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　10/8≦f (x) ＜11/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝10/8=1+1/4　　
　　　　　　[case１１]　x∈E11ならば、 f3 (x)＝11/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　11/8≦f (x) ＜12/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝11/8　　
　　　　　　[case１２]　x∈E12ならば、 f3 (x)＝12/8=1+1/2　　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　12/8≦f (x) ＜13/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝12/8=1+1/2　　
　　　　　　[case１３]　x∈E13ならば、 f3 (x)＝13/8　　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　13/8≦f (x) ＜14/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝13/8　　
　　　　　　[case１４]　x∈E14ならば、 f3 (x)＝14/8=1+3/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　14/8≦f (x) ＜15/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝14/8=1+3/4　　
　　　　　　[case１５]　x∈E15ならば、 f3 (x)＝15/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　15/8≦f (x) ＜16/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝15/8　　
　　　　　　[case１６]　x∈E16ならば、 f3 (x)＝16/8=2　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　16/8≦f (x) ＜17/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝16/8=2　　
　　　　　　[case１７]　x∈E17ならば、 f3 (x)＝17/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　17/8≦f (x) ＜18/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝17/8　　
　　　　　　[case１８]　x∈E18ならば、 f3 (x)＝18/8=2+1/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　18/8≦f (x) ＜19/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝18/8=2+1/4　　
　　　　　　[case１９]　x∈E19ならば、 f3 (x)＝19/8　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　19/8≦f (x) ＜20/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝19/8　　
　　　　　　[case２０]　x∈E20ならば、 f3 (x)＝20/8=2+1/2　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　20/8≦f (x) ＜21/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝20/8=2+1/2　　
　　　　　　[case２１]　x∈E21ならば、 f3 (x)＝21/8　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　21/8≦f (x) ＜22/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝21/8　　
　　　　　　[case２２]　x∈E22ならば、 f3 (x)＝22/8=2+3/4　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　22/8≦f (x) ＜23/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝22/8=2+3/4　　
　　　　　　[case２３]　x∈E23ならば、 f3 (x)＝23/8　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　23/8≦f (x) ＜24/8　を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝23/8　　
　　　　　　[case２４]　x∈Eならば、 f3 (x)＝24/8=3　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　3＝24/8≦f (x) を満たすx∈Dに対して、 f3 (x)＝24/8=3　　

となって、最大25通り(E０, E1 , …, E23 , Eのなかに空集合があればそれだけ減る)という有限個の値しかしかとらず、これらの値の逆像も互いに素である。

　　　　　　[図例]　　
　　　　　　　　

　　→ f3が単関数であることの証明の冒頭に戻る　
　　→ {fn}が単関数列であることの証明の冒頭に戻る

　　→証明の冒頭に戻る　

　　→定理に戻る

　　

Step-n: fn が単関数となることの確認。
・ fn の定義の手順2の帰結として、
　 f が非負一価関数である限りは、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) に重複は生じず、
　 f の定義域Dは、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) に直和分割される。　

　　※なぜ？　
　　・「y = f (x) の定義域DがE(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) に直和分割される」とは、
　　　　　1.E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) に重複が無く
　　　　　　　　　E(n,i)∩E(n,j) =φ (i,j=0,1,2,…, n2n−1; i≠j), E(n,i)∩E(n) =φ(i=0,1,2,…,n2n−1)
　　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) の複数に同時に属す「Dの元」は存在しない
　　　　　なおかつ、
　　　　　2.D=E(n,０)∪E(n,1)∪E(n,2)∪…∪E(n,n2n−1) ∪E
　　　　　　　つまり、
　　　　　　　「Dの元」の各々は、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n)のいずれかに属すのであって、
　　　　　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n)のどれにも属さない「Dの元」は存在しない
　　　ということ。
　　・まず、f が一価関数である限りは、どの「Dの元」のf の値もただ一つに限られるから、
　　　どの「Dの元」のf の値も、
　　　「fn の定義の手順1」で定められた区間F(n,０),F(n,1),F(n,2),F(n,3),…,F(n,n2n−1),F(n)
　　　のいずれか一つに属すのであって、
　　　複数に同時に属すことはありえない。　
　　　だから、「fn の定義の手順2」に従って、
　　　R上の点集合E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) を定義すると、
　　　「Dの元」は、E(n,０),E(n,1),E(n,2),E(n,3),…,E(n,n2n−1),E(n)のいずれか一つに属すのであって、
　　　複数に同時に属す「Dの元」は存在しないことになる。　
　　　だから、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n)には重複が無く、
　　　　　　　E(n,i)∩E(n,j) =φ (i,j=0,1,2,…, n2n−1; i≠j), E(n,i)∩E(n)=φ(i=0,1,2,…,n2n−1)。
　　・また、f が非負である限りは、　
　　　どの「Dの元」のf の値も、
　　　「fn の定義の手順1」で定められた区間F(n,０), F(n,1) , F(n,2), F(n,3) ,…, F(n,n2n−1) , F(n)
　　　のいずれかに属すのであって、
　　　F(n,０), F(n,1) , F(n,2), F(n,3) ,…, F(n,n2n−1) , F(n) のどれにも属さないということはありえない。
　　　だから、「fn の定義の手順2」に従って、
　　　R上の点集合E(n,０), E(n,1) , E(n,2), E(n,3) ,…, E(n,n2n−1) , E(n) を定義すると、
　　　「Dの元」の各々は、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のいずれかに属すのであって、
　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のどれにも属さない「Dの元」は存在しないことになる。
　　　したがって、D=E(n,０)∪E(n,1)∪E(n,2)∪…∪E(n,n2n−1)∪E(n)
　　　[ここで主張しているのは、
　　　　　「どの『Dの元』を一つ取っても、
　　　　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のいずれかに属す」ということであって、
　　　　　　「E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のどの一つをとっても、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　『Dの元』が属している」ということではない
　　　　　　ことに注意。
　　　　　　fの値域f (D)が[０, +∞)の全域に渡っておらず、
　　　　　　F(n,０), F(n,1) , F(n,2), F(n,3) ,…, F(n,n2n−1) , F(n) のいずれかをはずしている場合、
　　　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のなかに、
　　　　　　どの『Dの元』も属さない集合―つまり空集合φ―が生じるのは
　　　　　　当然である。
　　　　　　なお、E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のどれかが空集合φであったところで、
　　　　　　　「DがE(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) に直和分割される」ことにかわりはない。
　　　　　　φはいかなる集合とも互いに素であり、
　　　　　　また、φとの和をとったところで演算の結果はかわらない]　　
　　・したがって、f が非負一価関数である限りは、f の定義域Dは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) に直和分割される。
　　　　もしも、f が多価関数ならば、
　　　　E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) に重複がでてくることになる。

・したがって、R上の点集合E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) の定義関数を用いて、
　　　　　　　　 fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x)　
　と定義された fnは、
　定義域Dの直和分割E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n)についての定義関数の線型結合となっており、
　 fn は、紛れもなく単関数である。
　実際、 fn は、

　　　　　　[case　０]　x∈E(n,０)ならば、fn(x)＝０　　
　　　　　　　　　　　　つまり、 0≦f (x) ＜ 1/2n を満たすx∈Dに対して、fn(x)＝０　　
　　　　　　[case　１]　x∈E(n,1)ならば、fn(x)＝1/2n　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 1/2n≦f (x) ＜ 2/2n　を満たすx∈Dに対して、fn(x)＝1/2n　　
　　　　　　[case　２]　x∈E(n,2)ならば、fn(x)＝2/2n　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　 2/2n≦f (x) ＜3/2n　を満たすx∈Dに対して、fn(x)＝2/2n　
　　　　　　　：　
　　　　　　[case (n−1)2n−1 ]　x∈E (n, (n−1)2n−1 ) ならば、fn(x)＝((n−1)2n−1)/2n　　
　　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　　((n−1)2n−1)/2n=n−1−1/2n≦f (x)＜n−1= (n−1)2n/2nを満たすx∈Dに対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　fn(x)＝((n−1)2n−1)/2n=n−1−1/2n　
　　　　　　[case (n−1)2n ]　x∈E (n, (n−1)2n ) ならば、fn(x)＝ (n−1)2n/2n　　
　　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　　 (n−1)2n/2n=n−1≦f (x)＜n−1＋1/2n=((n−1)2n+1)/2nを満たすx∈Dに対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　fn(x)＝(n−1)2n/2n=n−1　
　　　　　　[case (n−1)2n＋1]　x∈E (n, (n−1)2n＋1 ) ならば、fn(x)＝ ((n−1)2n+1)/2n　　　
　　　　　　　　　　つまり、
　　　　　　　　　　　 n−1＋1/2n≦f (x) ＜n−1＋2/2n を満たすx∈Dに対して、　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　fn(x)＝((n−1)2n+1)/2n=n−1＋1/2n　
　　　　　　　：　
　　　　　　[case(n2n−1)]　x∈E(n,n2n−1)ならば、fn(x)＝(n2n−1)/2n＝n−1/2n　
　　　　　　　　　　　　つまり、n−1/2n≦f (x) ＜n　を満たすx∈Dに対して、fn(x)＝n−1/2n　
　　　　　　[case(n2n)]　　x∈E(n)ならば、fn(x)＝n　　　
　　　　　　　　　　　　つまり、　n≦f (x) を満たすx∈Dに対して、fn(x)＝n　　

となって、最大(n2n＋1)通り ( E(n,０), E(n,1) , E(n,2), …, E(n,n2n−1) , E(n) のなかに空集合があればそれだけ減る)という有限個の値しかしかとらず、これらの値の逆像も互いに素である。

　　→ fnが単関数であることの証明の冒頭に戻る　
　　→ {fn}が単関数列であることの証明の冒頭に戻る

　　→証明の冒頭に戻る　

　　→定理に戻る

証明： ここで定義された関数列は、単調増加列。

[目次]
→ Step1: f1≦f2。
→ Step2: f2≦f3。
　　：
　　：
→ Step-(n−１): fn-1≦fn。
　　：
→証明の冒頭に戻る

→定理に戻る

Step1: f1≦f2

　・f2 (x )は、f1 (x )にたいして、
　　　「y = f (x) の定義域」D上の任意の点xについて、f1 (x )≦f2 (x )　」　　　
　　を満たす。　
　　f1 (x )の値のとりかたと、f2 (x )の値のとりかたとを見比べると、
　　　　　　　(i) 0≦f (x)＜1/4または1/2≦f (x)＜3/4または1≦f (x)＜5/4を満たすx∈Dについては、　　
　　　　　　　　　　f1 (x )=f2 (x )　　　
　　　　　　　(ii) 1/4≦f (x)＜1/2または3/4≦f (x)＜1または5/4≦f (x)＜6/4を満たすx∈Dについては、
　　　　　　　　　f1 (x )+1/4=f2 (x )　なので、　　f1 (x )＜f2 (x )　　　
　　　　　　　(iii)6/4≦f (x)を満たすx∈Dについては、
　　　　　　　　　f1 (x )+1/4＜f2 (x )　なので、　　f1 (x )＜f2 (x )　　
　　となっていることがわかる。

　　　　　　[図例]　　
　　　　　　　　
→{fn}が単調増加列であることの証明の冒頭に戻る

→定理に戻る→

Step2: f2≦f3

　・f3 (x )は、f2 (x )にたいして、
　　　　　　　　「y = f (x) の定義域」D上の任意の点xについて、f2 (x )≦f3 (x )　」　　　
　　を満たす。
　　f2 (x )の値の取り方と、f3 (x ) の値のとりかたを見比べると、
　　　　　　　(i) 0≦f (x)＜1/8または1/4≦f (x)＜3/8または1/2≦f (x)＜5/8または3/4≦f (x)＜7/8または
　　　　　　　　1≦f (x)＜9/8または5/4≦f (x)＜11/8または3/2≦f (x)＜13/8または7/4≦f (x)＜15/8
　　　　　　　　または2≦f (x)＜17/8を満たすx∈Dについては、　　
　　　　　　　　　　f2 (x ) = f3 (x )　　　
　　　　　　　(ii) 1/8≦f (x)＜1/4または3/8≦f (x)＜1/2または5/8≦f (x)＜3/4または7/8≦f (x)＜1または
　　　　　　　　9/8≦f (x)＜5/4または11/8≦f (x)＜3/2または13/8≦f (x)＜7/4または15/8≦f (x)＜2
　　　　　　　　17/8≦f (x)＜18/8 を満たすx∈Dについては、
　　　　　　　　　　f2 (x )+1/8= f3 (x )　なので、f2 (x )＜f3 (x )　　
　　　　　　　(iii)18/8≦f (x)を満たすx∈Dについては、f2 (x )+1/8＜f3 (x )　
　　　　　　　　　となっていることがわかる。　

　　　　　　[図例]　　　
　　　　　　　　

→{fn}が単調増加列であることの証明の冒頭に戻る

→定理に戻る

Step (n-1)：fn-1≦fn

・fn (x)は、fn-1 (x)にたいして、
　　　「y = f (x) の定義域」D上の任意の点xについて、fn-1 (x)≦fn (x)　」　　　
　　を満たす。
　　fn-1 (x) は、次のように、xを fn-1 (x) に対応付ける単関数。　

　　　　　　　　[case ０]　　 0/2n−1≦f (x)＜1/2n−1=2/2nを満たすx∈Dに対して、fn-1 (x) ＝０　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、0≦f (x)＜2/2nを満たすx∈Dに対して、 fn-1 (x) ＝０　　　　
　　　　　　　　[case １]　　 1/2n−1≦f (x)＜2/2n−1　を満たすx∈Dに対して、 fn-1 (x) ＝1/2n−1　
　　　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、2/2n≦f (x)＜4/2n　を満たすx∈Dに対して、 fn-1 (x) ＝2/2n　
　　　　　　　　[case ２]　　 2/2n−1≦f (x)＜3/2n−1　を満たすx∈Dに対して、fn-1 (x) ＝2/2n−1　
　　　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、4/2n≦f (x) ＜6/2n　を満たすx∈Dに対して、 fn-1 (x) ＝4/2n　
　　　　　　　　　：　　　
　　　　　　　　[case (n−1)2n−1−1 ]　
　　　　　　　　　　　　((n−1)2n−1−1)/2n−1＝n−1−1/2n−1≦f (x) ＜(n−1)2n−1 /2n−1=n−1
　　　　　　　　　　　　を満たすx∈Dに対して、
　　　　　　　　　　　　fn-1 (x) ＝n−1−1/2n−1　
　　　　　　　　　　　　すなわち、n−1−2/2n≦f (x) ＜n−1　を満たすx∈Dに対して、fn-1 (x) ＝n−1−2/2n　
　　　　　　　　[case (n−1)2n−1 ]　(n−1)2n−1 /2n−1=(n−1)≦f (x) 　を満たすx∈Dに対して、fn-1 (x) ＝n−1　　

　　このfn-1 (x) の値のとりかたと、fn (x)の値のとりかたを見比べると、
　　　　　　　(i) 0≦f (x)＜1/2n または2/2n≦f (x)＜3/2nまたは4/2n≦f (x)＜5/2nまたは…
　　　　　　　　n−1−2/2n≦f (x)＜n−1−1/2nまたはn-1 ≦f (x)＜n-1+1/2nを満たすx∈Dについては、　　
　　　　　　　　　　fn-1 (x)=fn (x)　　　
　　　　　　　(ii) 1/2n≦f (x)＜2/2nまたは3/2n≦f (x)＜4/2nまたは5/2n≦f (x)＜6/2nまたは…
　　　　　　　　　…またはn−1−1/2n≦f (x)＜n−1 またはn−1＋1/2n≦f (x)＜n−1＋2/2n
　　　　　　　　 を満たすx∈Dについては、
　　　　　　　　　　fn-1 (x)+1/2n=fn (x)　なので、fn-1 (x)＜fn (x)　　
　　　　　　　(iii) n−1＋2/2n ≦f (x)を満たすx∈Dについては、
　　　　　　　　　　fn-1 (x)+1/2n<fn (x)　なので、fn-1 (x)＜fn (x)　
　　　　　　　　　となっていることがわかる。　

→{fn}が単調増加列であることの証明の冒頭に戻る

→証明の冒頭に戻る　

→定理に戻る

　

証明： ここで定義された関数列は、fに各点収束する。

→証明の冒頭に戻る　

→定理に戻る

・関数列{ fn }の各項fn の値の取り方は、以下の通りだった。

　　　[case ０]　　　 0/2n≦f (x) ＜ 1/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝０
　　　[case １]　　　 1/2n≦f (x) ＜ 2/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝1/2n　
　　　[case ２]　　　 2/2n≦f (x) ＜ 3/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝2/2n　
　　　　　：　
　　　　　：　
　　　[case n2n−1 ]　n−1/2n≦f (x) ＜n を満たすx∈Dに対して、
　　　　　　　　　　　　　　fn (x)　＝(n2n−1)/2n＝n−1/2n　
　　　[case n2n ]　　　　(n2n)/2n=n≦f (x) 　を満たすx∈Dに対して、fn(x)　＝n　

　　ここからわかることは、
　　fn の項番n未満の値をf (x)にとらせる全てのx∈Dに対して(つまり、[case ０]~[case n2n−1]について )、
　　　　　｜ fn(x)−f (x) ｜＜1/2n　　
　が成り立つということである。　…(1)　

・はじめに、1変数関数 f を、任意の非負実数値1変数関数と定義したので、
　任意の x∈Dに対して、その値f (x)は実数となり、
　したがって、アルキメデスの原理により、各f (x)に応じて、それより大きな自然数Ｍが存在するといえる。
　すなわち、(∀x∈D) (∃M∈N) ( f (x) ＜M )　　
　ただし、この自然数Mは、「すべてのx∈D,f (x)にたいして」「一律に」とれるとは限らない。
　　　　　それぞれのx∈D, f (x)に応じて、別様に、f (x)より大きな自然数Mをとれる、とまでしかいえない。
　各x∈Dにおいて、「f (x) ＜M」を満たす自然数Ｍを一つ決め、ここでは、M(x)と書くことにする。…(2)　　

　（参考）　　
　　・1変数関数 f が、任意の非負有界関数のケースでは、有界関数の定義により
　　　　　　(∃M∈N) (∀x∈D) ( f (x)＜M )　とできる。
　　・1変数関数 f が、有界関数でなくても、任意の非負実数値1変数関数のケースでは、
　　　　　　　アルキメデスの原理により、(∀x∈D) (∃M∈N) ( f (x)＜M )とできる。
　　・1変数関数 f が、実数値関数でなく、
　　　　　　　　　　　　非負「広義の実数値」関数（つまり正の実数値か＋∞を値にとる）のケースでは、
　　　　　　 f (x)<∞を満たす限りでのx∈Dに対して、(∀x∈D) (∃M∈N) ( f (x)＜M )、
　　　　　　 f (x)=∞を満たす限りでのx∈Dに対して、(∀x∈D) ( f (x) ＝∞ )、
　　　この相違が、一様収束、各点収束等の結論の相違に帰結する。　

・x∈Dをひとつ決める。
　(2)より、ここで決めた x∈Dにおいて、f (x) ＜M(x)　であるから、
　(1)より、関数列{ fn }における、自然数M(x)を超える項番以降の項、
　　すなわち、n>M(x)を満たすfn は、　　
　　ここで決めた x∈Dに対して、　　
　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n　　
　　を満たす。　…(3)
　　n>M(x)ならば、1/2n＜1/2M(x)　だから、(3)は次のように拡張できる。
　　　n>M(x)を満たすfn は、　　
　　　　　ここで決めた x∈Dに対して、　　
　　　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M(x)　
　　　を満たす。　…(4)　　

・任意の正の実数εをとる。
　(2)で決めた自然数M(x)を用いて、(i)ε>1/2M(x)となるケース、(ii)０<ε≦1/2Mとなるケース、に分けて考える。

　(i)ε>1/2M(x)となるケース　　
　　1/2M(x)＜εとなるケースのなかで、(4)を考えると、　
　　　　任意の正の実数ε>1/2Mに対して、自然数Nとして「(2)で決めた自然数M(x)」をとると、
　　　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nに対して、
　　　　　　　ここで決めた x∈Dにおいて、　　
　　　　　　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M＜ε　が満たされる
　　　　論理記号で表すと、　
　　　　　　(∀ε>1/2M) (∃N∈N) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn(x)−f (x)|＜1/2n＜1/2M＜ε)　…(5)　　
　　となることがわかる。
　(ii)０<ε≦1/2M(x)となるケース　　
　・Nを自然数とおくと、
　　1/2Nは、自然数Nをいじることで、
　　　1/2まで大きくすることができ、（自然数Nを最小値の1にすることによる）、
　　　限りなく０に近いところまで小さくすることができる（自然数Nをどこまでも大きくすることによる）。
　　したがって、
　　　任意の正の実数εに対して、０<1/2N＜εを満たすよう、自然数Nをとることができる。
　　このような自然数Nを一つきめておく。…(6)
　・ここで考えている「０<ε≦1/2M(x)となるケース」において(6)に従って自然数Nを決めたから
　　　このとき、０<1/2N＜ε≦1/2M(x)　となる。…(7)　
　　　よって、このケースで、(6)に従ってNを決めると、Ｎ>M(x)となる。…(8)　　
　・さらに、(6)に従って決めた自然数Nにたいして、n≧Nを満たす任意の自然数nをとると、
　　(8)より、n≧Ｎ>M(x)となって、　
　　(4)より、　
　　ここで決めた x∈Dに対して、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M(x)　が満たされる。…(9)　
　　(7)より、(9)は、
　　　n≧Nを満たす任意の自然数nにたいして、
　　　　　ここで決めた x∈Dにおいて、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜ε≦1/2M(x)　が満たされる。
　　と拡張される。
　　以上から、
　　　ε≦1/2M(x)を満たす限りで任意の正の実数εに対して、
　　　ある自然数Nとして「０<1/2N＜εを満たす自然数」をとると、
　　　　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nに対して、
　　　　　　ここで決めた x∈Dにおいて、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜ε≦1/2M(x)　が満たされる
　　といえる。
　　これを、論理記号で表すと、　
　　　　(∀ε) (０<ε≦1/2M(x)⇒ (∃N∈N) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn(x)−f (x)|＜1/2n＜ε≦1/2M(x)　) ) 　…(10)

(i)ε>1/2M(x)となるケースの結論(5)、(ii)０<ε≦1/2M(x)となるケースの結論(10)をあわせると、
ε>1/2M(x)となろうが、０<ε≦1/2M(x)となろうが、任意の正の実数εに対して、ある自然数Nをとると、
　　　　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nとに対して、
　　　　　　　　ここで決めた x∈Dにおいて、｜ fn (x)−f (x) ｜＜ε　が満たされる
と結論される。
これを、論理記号で表すと、　
　　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn(x)−f (x)|＜1/2n＜ε≦1/2M(x)　) 　　…(11)

・xを、Dに属すどの点に変えていっても、以上の議論はそのまま成り立つ。
　　したがって、(11)は、　
　　　　(∀x∈D) (∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn(x)−f (x)|＜1/2n＜ε≦1/2M(x)　) 　…(12)

これは、関数列{ fn }が、D上で、fに各点収束するということの定義に他ならない。　
　　

→関数列{fn}がfに各点収束するということの証明の冒頭に戻る。

→証明の冒頭に戻る　

→定理に戻る