特性関数・特徴関数characteristic functionないし定義関数defining function　

　　・定義：特性関数・定義関数　
　　・定理：集合演算がらみの性質/極限集合がらみの性質
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定義：特性関数・特徴関数・示性関数characteristic functionないし定義関数defining function  

設定

 ・Ω：普遍集合　　　（例：R2）　　
・A:　Ωの部分集合　（例：R2上の有界な点集合）　　　
・P:　元　　　　　　（例：R2上の点）

[文献]

　・高木『解析概論』第8章91節(p.326.)
　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.193
　・杉浦『解析入門I』IV章§8(pp.255-256)　
　・松坂『集合･位相入門』1章4節F(p.39);
　・伊藤『ルベーグ積分入門』I§2(p.11);　
　・盛田『実解析と測度論の基礎』1.2(p.12)　

定義

 ・Ωにおける集合Aの特性関数characteristic function　
　　　　　　　　ないし定義関数defining function　
　とは、　　
　　┌　χA(P)＝1 　(P∈A)
　　└　χA(P)＝0 　(P∈Ac)　
　　すなわち、
　　元Pが集合Aに属するときには1を返し、元Pが集合Aに属さないときには0を返す
　　という規則
　で定められた
　Ωから集合{0,1}への写像ないし関数χAのこと。
　なお、χA(P)をχ(P;A)とも書く。　

※

 Ωにおける特性関数・定義関数を一つ定めることは、Ωの部分集合を一つ選択することとして解釈できる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[松坂『集合・位相入門』第1章4節F(p.39).]

→利用例：面積確定、矩形でない有界集合上のリーマン重積分の定義、1変数の単関数、一般の実数値単関数　　

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定理：集合演算がらみの、特性関数・定義関数の性質

定理

 集合A、集合Bに対して、
(1)χA∩B(P)＝χA(P) χB(P)
(2)χA∪B(P)＝χA(P)＋χB(P)−χA∩B(P)　
(3) χ
(P)＝1−χA(P)
Ac
(4)χA−B(P)＝χA(P)−χA∩B(P)＝χA(P)−χA(P) χB(P)＝χA(P){1−χB(P)}　

[文献]

　・吹田新保『理工系の微分積分学』p.194
　・松坂『集合・位相入門』第1章4節問題15(pp.40-41).　


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定理：極限集合がらみの、特性関数・定義関数の性質

定理

 ・集合列{An}にたいして、

 χ
 (P;
lim
An)＝
 lim
 χ (P;An)



n→∞




χ (P;
lim
An)＝
 lim
 χ (P;An)



n→∞



　　　　　

[文献]

　・伊藤『ルベーグ積分入門』I-§2(p.11);
　・盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);

reference

・日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、162項集合C.写像(p.430).
・松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968、第1章4節F（pp.38-9）。
・伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963年、I-§2(p.11)。
重積分との関連：
・高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章91-92節(pp.326-334.)
・吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(II)-(III) (pp.191-196).
・杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、IV章§8(pp.254-261.)（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）


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