定理： 非負有界1変数関数に一様収束する単関数列

要旨

任意の非負有界1変数関数 f にたいして、「f に一様収束する単関数の単調増加列」が存在する。

設定

この定理は、以下のように設定された舞台上で成立する。
Step1：実数を全てあつめた集合(実数体)Rを用意する。　
Step2：Rの部分集合をひとつきめて、Dと名づける。
Step3：Dを定義域とする「非負有界1変数関数」y= f (x)　
　　　つまり、　
　　　1変数関数「f：D→R」であって、
　　　・任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≧０

[文献]
ルディン『現代解析学』10.20(p.267)。
志賀『ルベーグ積分30講』18講(p.138)):図解付,可測関数のケース。
新井『ルベーグ積分講義』定理7.12(p.103):図解付,可測関数のケース。
　

　　　・ある正の実数Mが存在して、任意の x∈D⊂Rにたいして、f (x)≦M
　　　　を満たすもの
　　　を用意する。
Step4：実数体Rに距離dを定めて、実数体R上に、距離空間( R , d )を設定。

定理

任意のx∈D⊂Rにたいしてf (x)≧０を満たし有界である限りで任意の1変数関数
　　y= f (x)
に対して、
次のように定義された関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }は、[性質1] [性質2] [性質3]を満たす。
[関数列｛ fn(x)｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }の定義]
　Step1:関数fn(x)の定義
　ある自然数nを一つ決める。
　x軸上の「y = f (x) の定義域」Dを、
　(n2n＋1)個のR上の点集合　
　　E(n,０) ＝ f -1 ( [０/2n, 1/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | ０/2n≦f (x)＜1/2n } 　
　　E(n,1) ＝ f -1 ( [1/2n, 2/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 1/2n≦f (x)＜2/2n } 　
　　E(n,2) ＝ f -1 ( [2/2n, 3/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 2/2n≦f (x)＜3/2n }
　　E(n,3) ＝ f -1 ( [3/2n, 4/2n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | 3/2n≦f (x)＜4/2n }
　　　：
　　E(n,n2n−1) = f -1 ( [n−1/2n, n ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n−1/2n≦f (x)＜n}　　
　　E(n) ＝ f -1 ( [ n, +∞ ) ) ＝ { x ∈D⊂R | n≦f (x) }　　
　に切り分け、　　
　これらの定義関数を用いて、
　1変数関数fn(x)＝０χE(n,0)(x)+(1/2n)χE(n,1) (x)+(2/2n )χE(n,2) (x)+(3/2n )χE(n,3) (x)+…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+nχE(n) (x) 　　
　を定義する。
　Step2:関数列{fn(x)}の定義
　・上記の1変数関数fnで、nを1とした
　　　　　　　　　　　　　 f1 (x)＝０χE(1,０)(x)+(1/2)χE(1,1) (x)+1χE(1) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを2とした
　　　　　　　　　　　　　 f2(x)＝０χE(2,０)(x)+(1/4)χE(2,1) (x)+(1/2)χE(2,2) (x)+(3/4)χE(2,3) (x)+1χE(2,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/4)χE(2,5) (x)+(3/2)χE(2,6) (x)+(7/4)χE(2,7) (x)+2χE(2) (x) 　
　・上記の1変数関数fnで、nを3とした
　　　　　　　　　　　　　 f3(x)＝０χE(3,０)(x)+(1/8)χE(3,1) (x)+(1/4)χE(3,2) (x)+(3/8)χE(3,3) (x)+(1/2)χE(3,4) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(5/8)χE(3,5) (x)+(3/4)χE(3,6) (x)+(7/8)χE(3,7) (x)+χE(3,8) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(9/8)χE(3,9) (x)+(5/4)χE(3,10) (x)+(11/8)χE(3,11) (x)+(3/2)χE(3,12) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(13/8)χE(3,13) (x)+(7/4)χE(3,14) (x)+(15/8)χE(3,15) (x)+2χE(3,16) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(17/8)χE(3,17) (x)+(9/4)χE(3,18) (x)+(19/8)χE(3,19) (x)+(5/2)χE(3,20) (x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(21/8)χE(3,21) (x)+(11/4)χE(3,22) (x)+(23/8)χE(3,23) (x)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+3χE(3) (x)　 　
　：　　　　　　　　
　：　　　　　　　　
　という具合に、自然数nを一つずつ増やしながら、上記の1変数関数fnを並べていったものを、　
　　　　関数列｛ fn｝＝ { f1 , f2 , f3 , … }　　
　として定義する。
　※この関数列｛fn｝＝{ f1 , f2 , f3 , … }について、もっと詳しい説明→詳細　
[性質1] この関数列の各項 f1 , f2 , f3 , …は、すべて単関数。
　　※なぜ？→必ずしも有界ではない非負実数値1変数関数をfとしたケースで証明済み。　　
[性質2] この関数列は、単調増加列。
　　　　　つまり、
　　　　　　任意のx∈D⊂Rにたいして、
　　　　　　xを固定して得られる数列　{ fn(x ) }={ f1 (x ) , f2 (x ) , f3 (x ) , … }　が、
　　　　　　　　f1 (x )≦f2 (x )≦f3 (x )≦…
　　　　　　を満たす。　
　　※なぜ？→必ずしも有界ではない非負実数値1変数関数をfとしたケースで証明済み。　
[性質3] この関数列{ f1 , f2 , f3 , … }は、D上で、1変数関数fに一様収束する。
　　※なぜ？→証明　
　

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証明： ここで定義された関数列は、fに一様収束する。

→定理に戻る

・関数列{ fn }の各項fn の値の取り方は、以下の通りだった。

　　　[case ０]　　　 0/2n≦f (x) ＜ 1/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝０
　　　[case １]　　　 1/2n≦f (x) ＜ 2/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝1/2n　
　　　[case ２]　　　 2/2n≦f (x) ＜ 3/2n　を満たすx∈Dに対して、fn (x)　＝2/2n　
　　　　　：　
　　　　　：　
　　　[case n2n−1 ]　n−1/2n≦f (x) ＜n を満たすx∈Dに対して、
　　　　　　　　　　　　　　fn (x)　＝(n2n−1)/2n＝n−1/2n　
　　　[case n2n ]　　　　(n2n)/2n=n≦f (x) 　を満たすx∈Dに対して、fn(x)　＝n　

　　ここからわかることは、
　　fnの項番n未満の値をf (x)にとらせる全てのx∈Dに対して(つまり、[case ０]~[case n2n−1]について )、
　　　　　｜ fn(x)−f (x) ｜＜1/2n　　
　が成り立つということである。　…(1)　

・はじめに、1変数関数 f を、任意の非負有界関数と定義したので、
　ある正の実数Mが存在して、「すべての x∈D⊂Rにたいして、f (x)≦M」を満たす。
　　　　　　つまり、(∃M>０) (∀x∈D) ( f (x)≦M) 　
　このような実数Mをひとつ決めておく。　…(2)

・(1)(2)より、
　　関数列{ fn}における、実数Mを超える項番以降の項、
　　すなわち、n>Mを満たすfn は、　　
　　任意の x∈Dに対して、　　
　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M　　
　　を満たす。　　…(3)　

・任意の正の実数εをとる。
　(2)で決めた実数Mを用いて、(i)ε>1/2Mとなるケース、(ii)０<ε≦1/2Mとなるケース、に分けて考える。
　(i)ε>1/2Mとなるケース　　
　　Nを、実数Mより大きな任意の自然数とおく。（ここで、N>M）
　　このとき、n≧Nを満たす任意の自然数nは、
　　　　　　n≧N>M>０を満たし、
　　　　　　したがって、(3)より、
　　　　　　　任意の x∈Dに対して、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M　が満たされる。…(4)　　　
　　ここでは、1/2M＜εとなるケースを考えているから、(4)は、
　　n≧Nを満たす任意の自然数nにたいして、　　
　　　　　　　任意の x∈Dに対して、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M＜ε　が満たされる　　　　
　　と拡張できる。　
　　以上から、
　　任意の正の実数ε>1/2Mに対して、ある自然数Nとして「実数Mより大きな自然数」をとると、
　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nと、任意の x∈Dに対して、
　　　　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M＜ε　が満たされる
　　といえる。
　　これを、論理記号で表すと、　
　　　　(∀ε>1/2M) (∃N∈N) (∀x∈D) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn (x)−f (x)|＜1/2n＜1/2M＜ε)　…(5)　　
　(ii)０<ε≦1/2Mとなるケース　　
　・Nを自然数とおくと、
　　1/2Nは、自然数Nをいじることで、
　　　1/2まで大きくすることができ、（自然数Nを最小値の1にすることによる）、
　　　限りなく０に近いところまで小さくすることができる（自然数Nをどこまでも大きくすることによる）。
　　したがって、
　　　任意の正の実数εに対して、０<1/2N＜εを満たすよう、自然数Nをとることができる。
　　このような自然数Nを一つきめておく。…(6)
　・ここで考えている「０<ε≦1/2Mとなるケース」において(6)に従って自然数Nを決めたから
　　　このとき、０<1/2N＜ε≦1/2M　となる。…(7)　
　　　よって、このケースで、(6)に従ってNを決めると、Ｎ>Mとなる。…(8)　　
　・さらに、(6)に従って決めた自然数Nにたいして、n≧Nを満たす任意の自然数nをとると、
　　(8)より、n≧Ｎ>Mとなって、　
　　(3)より、　
　　任意の x∈Dに対して、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜1/2M　が満たされる。…(9)　
　　(7)より、(9)は、
　　　n≧Nを満たす任意の自然数nにたいして、
　　　　　　　任意の x∈Dに対して、｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜ε≦1/2M　が満たされる。
　　と拡張される。
　　以上から、
　　　ε≦1/2Mを満たす限りで任意の正の実数εに対して、
　　　ある自然数Nとして「０<1/2N＜εを満たす自然数」をとると、
　　　　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nと、任意の x∈Dに対して、
　　　　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜1/2n＜ε≦1/2M　が満たされる
　　といえる。
　　これを、論理記号で表すと、　
　　(∀ε) (０<ε≦1/2M⇒ (∃N∈N) (∀x∈D) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn (x)−f (x)|＜1/2n＜ε≦1/2M　) ) 　…(10)

(i)ε>1/2Mとなるケースの結論(5)、(ii)０<ε≦1/2Mとなるケースの結論(10)をあわせると、
ε>1/2Mとなろうが、０<ε≦1/2Mとなろうが、任意の正の実数εに対して、ある自然数Nをとると、
　　　　　　　n≧Nを満たす任意の自然数nと、任意の x∈Dに対して、
　　　　　　　　｜ fn (x)−f (x) ｜＜ε　が満たされる
と結論される。
これを、論理記号で表すと、　
　　　　(∀ε) (∃N∈N) (∀x∈D) (∀n∈N)( n≧N⇒| fn (x)−f (x)|＜1/2n＜ε≦1/2M　) 　
これは、関数列{ fn }が、D上で、fに一様収束するということの定義に他ならない。　
　　

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