環ring

[トピック一覧：環]
　定義：環、単位的環、可換環、
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定義：環　ring 　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節A(p.79);『岩波数学辞典』項目56群A(pp.153-4);
　　　　　　　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.6 (pp.36-7);]
（設定）
X:　集合
x+y：X上の加法　
xy ：X上の乗法　
X:　　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系。
　　※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（簡潔な定義）　
　環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の3条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　　条件A：　加群(加法について可換群)であること、
　　　条件B：　乗法に関して半群であること
　　　条件C：　「分配則distributive law：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと
（詳細な定義）　
　環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の6条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　条件A-1：　加法が、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
　　条件A-2：　加法に「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ 0+e = x )を満たす0∈X」が存在する
　　条件A-3：　Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する　
　　条件A-4：　加法が、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
　　条件B：　　乗法xyが、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
　　条件C：　「分配則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと
　　　　
※環ではない例：
　・自然数の全体（加群ではないから。）　　
※環である例：
　・すべての偶数の全体[本部『新しい代数』4.1節A(p.80);]
　・整数の全体、有理数、実数体、n次全行列環　　

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定義：零元zero element, neutral element 　　　
　環Xの零元とは、環X上の加法の単位元のことをいう。

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定義：単位的環　unitary ring 、単位元をもつ環 ring with identity　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節A(p.80);『岩波数学辞典』項目56群A(p.154);
　　　　　　　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.6 (pp.36-7);]
・単位元をもつ環・単位的環とは、さまざまな環のなかで特に、乗法についての単位元をもつ環のことをいう。
・環の語義に遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
x+y：X上の加法　
xy ：X上の乗法　
X:　　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系。
　　※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
単位元をもつ環・単位的環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
　次の3条件を満たす代数系Xのことをいう。
　　　条件A：　加群(加法について可換群)であること、
　　　条件B：　乗法に関して単位元つき半群であること
　　　条件C：　「分配法則distributive law：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと。　
（詳細な定義）　
単位元をもつ環・単位的環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系 Xのなかでも特に、
　次の7条件を満たす代数系 Xのことをいう。
　　条件A-1：　加法が、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
　　条件A-2：　加法に「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ x +0 = )を満たす0∈X」が存在する
　　条件A-3：　Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する　
　　条件A-4：　加法が、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
　　条件B-1：　乗法が、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
　　条件B-2：　乗法に「単位元1： ( ∀x∈X ) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1∈X」が存在する
　　条件C：　「分配則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと
※単位的環ではない例：
　・すべての偶数の全体[本部『新しい代数』4.1節A(p.79);]　　
※単位的環である例：
　・整数の全体、有理数、実数体、　　

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定義：可換環　commutative ring　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節A(p.80);『岩波数学辞典』項目40群A(p.99);項目56群A(p.154);
　　　　　　　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.6 (pp.37);]
・可換環とは、さまざまな環 Xのなかでも特に、乗法xy が、
　　　　　　　可換則：( ∀ x , y ∈X ) ( xy = yx )
　を満たす環 Xのことをいう。
・環の語義に遡った説明は、以下のとおり。
（設定）
X:　集合
x+y：X上の加法　
xy ：X上の乗法　
X:　　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった代数系。
　　※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
可換環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
　次の3条件を満たす代数系Xのことをいう。
　　　条件A：　加群(加法について可換群)であること、
　　　条件B：　乗法に関して可換半群であること
　　　条件C：　「分配法則distributive law：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと。　
（詳細な定義）　
可換環とは、
　加法x+y, 乗法xyという二つの二項演算を、集合X に定めてつくった様々な代数系Xのなかでも特に、
　次の7条件を満たす代数系Xのことをいう。
　　条件A-1：　加法が、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )」を満たす
　　条件A-2：　加法に「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ 0+e = x )を満たす0∈X」が存在する
　　条件A-3：　Xのすべての元xに対して、加法に関する逆元−xが存在する　
　　条件A-4：　加法が、「可換則：( ∀x,y∈X ) ( x+y = y+x )」を満たす
　　条件B-1：　乗法が、「結合則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) ) 」を満たす
　　条件B-2：　乗法が、「可換則： ( ∀x,y∈X ) ( xy = yx ) 」を満たす
　　条件C：　「分配則：( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y )z = xz +yz , z(x+y )= zx +zy)」を、
　　　　　　　　加法･乗法が満たすこと
※可換環ではない例：
　・　　
※可換環である例：
　・体(可換体)、順序体、実数体　　　

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日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-36)
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
志賀浩二『群論への30講』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18。

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