体における加法の性質
[トピック一覧：体における加法の性質]
・定理：結合則、可換則、0との和の性質、逆元との和の性質　
※体の性質：乗法、加法･乗法の関係　　
※体についての関連ページ：体の定義、順序体の定義、実数体の定義　
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体の加法の結合則　　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
＋ ： 体の定義により、体Kに定義された加法。　　
（本題）
どんなふうに、x,y,z∈Kを選んでも、 ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y,z∈K ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )
※なぜ？　体の定義−条件A-1より、
　　　　　( ∀x,y,z∈X ) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )を満たす代数系Xを、体と呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x,y,z∈K) ( ( x+y ) +z = x+ ( y+z ) )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、Kは体ではない。

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体の加法の可換則　　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
＋ ： 体の定義により、体Kに定義された加法。　　
（本題）
どんなふうに、x,y∈Kを選んでも、 x+y = y+x が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y∈K ) ( x+y = y+x )
※なぜ？　体の定義−条件A-4より、
　　　　　　( ∀x,y∈K ) ( x+y = y+x )を満たす代数系Xを、体と呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x,y∈K ) ( x+y = y+x )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、Kは体ではない。

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0との和の性質
　　[神谷浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(pp.53-65);
　　黒田『微分積分学』2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35);赤『実数論講義』第2章;　]
（設定）
K: 体　
＋ ： 体の定義により、体Kに定義された加法。　　
（本題）
どんなふうに、x∈Kを選んでも、 x+0 =x , 0+x=x が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x∈K ) ( x+0 =0+x=x )
※なぜ？　体の定義―条件A-2より、
　　　　「単位元0：　( ∀x∈X ) ( 0+x = x かつ 0+x = x )を満たす0∈X」が存在する代数系Xを、
　　　　 体と呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x∈K ) ( x+0 =0+x=x )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、Kは体ではない。

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逆元との和の性質
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
＋ ： 体の定義により、体Kに定義された加法。　　
（本題）
どんなふうに、x∈Kを選んでも、 その加法に関する逆元(−x)との和は加法の単位元0。
　　つまり、　( ∀x∈K ) ( (−x)+x =0 かつ x+(−x)= 0 )
※なぜ？　体の定義―条件A-3での「加法の逆元」の定義より、
　　　　　−xは(−x)+x =0 かつ x+(−x)= 0 を満たす。

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（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)

解析学テキストのなかで。
小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

数理経済学テキストのなかで。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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