同型写像isomorphism

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　定義：準同型写像、準同型、同型写像、同型　
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定義：(代数系一般の) 準同型写像　homomorphism　
　[『岩波数学辞典』項目121構造C代数系(p.327);]
（設定：代数系X ）
X：集合
a,b：集合Xの元　
p₁(a,b),p₂(a,b),…, p_n(a,b) ：X上の二項演算（n個）　
X:　　　　　n個の二項演算p₁, p₂,…, p_nを、集合X に定めてつくった代数系　
　　※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（設定：代数系Y ）
Y:　　　　　集合
a',b'：集合Yの元　
q₁(a',b'),q₂(a',b'),…, q_n(a',b')：　Y上の二項演算（n個。Y上の二項演算p₁, p₂,…, p_nと同数。）　
Y:　　　　　n個の二項演算q₁, q₂,…, q_nを、集合Y に定めてつくった代数系　
　　※代数系を、もとの集合Y 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
XからYへの準同型写像とは、XからYへの写像 fで、以下の条件を満たすもののことをいう。
　任意のa,b∈X　に対して、　　
　　・f ( p₁(a,b) ) = q₁( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p₁してからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q₁しようが同じ。
　　かつ　　
　　・f ( p₂(a,b) ) = q₂( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p₂してからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q₂しようが同じ。
　　かつ　　　　
　　：　　
　　：　
　　かつ　　　
　　・f ( p_n(a,b) ) = q_n ( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p_nしてからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q_nしようが同じ。

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定義：代数系の準同型　homomorphic　
　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.9 (p.37);『岩波数学辞典』項目121構造C代数系(p.327);]
（設定）
X ,Y:　代数系　
（定義）
XとYが代数系として準同型であるとは、
XからYへの準同型写像が存在することをいう。

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定義：(代数系一般の) 同型写像　isomorphism　、同型　isomorphic　
　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.9 (p.37);『岩波数学辞典』項目121構造C代数系(p.327);]
（設定：代数系X ）
X：集合
a,b：集合Xの元　
p₁(a,b),p₂(a,b),…, p_n(a,b) ：X上の二項演算（n個）　
X:　　　　　n個の二項演算p₁, p₂,…, p_nを、集合X に定めてつくった代数系　
　　※代数系を、もとの集合X 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（設定：代数系Y ）
Y:　　　　　集合
a',b'：集合Yの元　
q₁(a',b'),q₂(a',b'),…, q_n(a',b')：　Y上の二項演算（n個。Y上の二項演算p₁, p₂,…, p_nと同数。）　
Y:　　　　　n個の二項演算q₁, q₂,…, q_nを、集合Y に定めてつくった代数系　
　　※代数系を、もとの集合Y 自体とは別の記号で表したほうが正確なのだろうが、慣例に従う。　　
（定義）
XからYへの同型写像とは、XからYへの全単射(双射) fで、以下の条件を満たすもののことをいう。
　任意のa,b∈X　に対して、　　
　　・f ( p₁(a,b) ) = q₁( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p₁してからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q₁しようが同じ。
　　かつ　　
　　・f ( p₂(a,b) ) = q₂( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p₂してからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q₂しようが同じ。
　　かつ　　　　
　　：　　
　　：　
　　かつ　　　
　　・f ( p_n(a,b) ) = q_n ( f (a) , f (b))　　
　　　　X上で演算p_nしてからfでYへ写そうが、XからYへfで写した2元をY上で演算q_nしようが同じ。

※関連：順序同型写像　

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定義：代数系の同型　isomorphic　
　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.9 (p.37);『岩波数学辞典』項目121構造C代数系(p.327);]
（設定）
X ,Y:　代数系　
（定義）
XとYが代数系として同型であるとは、
XからYへの同型写像が存在することをいう。

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日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、項目121構造A構造2)算法;C代数系(p.327);項目56環 (pp. 153-6), 項目104群(p.281);項目229.体 (p.643).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§1代数系(pp.35-39)
本部均『新しい数学へのアプローチ5:新しい代数』共立出版、1969年、2章2.1節半群A.二項演算。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.2節いろいろな代数系(p.3)。
志賀浩二『群論への30講』朝倉書店、1989年、第3講群の定義、pp.16-18。

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p. 57.
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.1-2.

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