体における乗法の性質
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・性質：結合則、可換則、１との積、乗法に関する逆元との積、　
※体の性質関連ページ：加法、加法･乗法の関係　　
※体についての関連ページ：体の定義、順序体の定義、実数体の定義

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体における乗法の結合則　　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、体の元x,y,zを選んでも、 ( xy ) z = x ( yz ) が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y,z∈K ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )
※なぜ？　体の定義B-1より、
　　　　　　( ∀x,y,z∈X ) ( ( xy ) z = x ( yz ) )を満たす代数系Xを、体と呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x,y,z∈K ) ( ( xy )z = x ( yz ) )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、Kは体ではない。

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体における乗法の可換則　　
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、体の元x,yを選んでも、 xy = yx が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x,y∈K ) ( xy = yx )
※なぜ？　体の定義―B-2より、
　　　　　　( ∀x,y∈X ) ( xy = yx )を満たす代数系Xを体と呼ぶのだから、
　　　　　( ∀x,y∈K ) ( xy = yx )は必ず成り立つ。
　　　　　成り立たなければ、Kは体ではない。

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1との積の性質
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、体の元xを選んでも、 1x=x が成り立つ。
　　つまり、　( ∀x∈K ) ( 1x=x )
※なぜ？
　体の定義―C-2より、
　「単位元1：　( ∀x∈X) ( 1x = x かつ x1 = x )を満たす1∈X」が存在する代数系Xを体と呼ぶのだから、
　( ∀x∈K ) ( 1x=x )は必ず成り立つ。
　成り立たなければ、Kは体ではない。

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自らの「乗法に関する逆元」との積の性質
　　　　[本部『新しい代数』4.1節B(p.83);『岩波数学辞典』項目229体A(p.643);
　　　　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』2章§1定義2.1.8 (p.37);斎藤『線形代数入門』附録�V§2(p.249);
　　　　ホフマン『線形代数学I』 1章§1.1体(p.1);永田『理系のための線形代数の基礎』1.9(p.45);
　　　　神谷・浦井『経済学のための数学入門』2.1.1節(p. 57)]
（設定）
K: 体　
xy ： 体の定義により、体Kに定義された乗法。　　
（本題）
どんなふうに、0以外の、体の元を選んでも、 その乗法に関する逆元との積は1。
　　つまり、　( ∀x∈K−{0} ) ( x^-1x =xx^-1=1 )
※なぜ？　体の元xの乗法に関する逆元x^-1の定義より、
　　　　　x^-1はx^-1x =xx^-1=1を満たす。
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（reference）
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目156Ａ.実数の公理系 (pp. 417-418), 168.順序 (pp.440-441). 項目183数:E.実数 (p. 475).
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第2章自然数から実数体の定義まで§5定義2.5.13 (p.58)

解析学テキストのなかで。
小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年、§1.5-a上限下限(pp.36-7.)。
高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、§3.数の集合・上限・下限(pp.1-5.)
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、§1実数(pp.1-9).
笠原皓司『微分積分学』サイエンス社、1974年、1.1実数(pp.1-7).。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.3-5.
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、2.2実数の四則演算と順序(pp.23-9);2.4.1連続性の公理(p.35)。
赤攝也『実数論講義』SEG出版、1996年。
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第1章。

数理経済学テキストのなかで。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.56-64

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