n変数ベクトル値関数の偏微分可能・偏微分係数・偏導関数の定義 |
・定義:n変数ベクトル値関数の偏微分可能・偏微分係数の定義/偏導関数の定義 ・定理:《n変数ベクトル値関数の偏微分可能・偏微分係数》の《n変数実数値関数の微分可能・微分係数》への還元 ・定義:n変数ベクトル値関数の連続微分可能・C1級の定義/偏微分する |
※ 関連ページ・微分定義−n変数ベクトル値関数: 微分の定義/方向微分の定義/ヤコビ行列とヤコビアン ・偏微分定義−n変数ベクトル値関数以外: 1変数関数の微分/2変数実数値関数の偏微分/ n変数実数値関数の偏微分 ・n変数ベクトル値関数の諸概念―微分以外: n変数ベクトル値関数の定義と属性/極限/連続/極限の性質 →文献・総目次 |
合成関数の
2階偏微分公式→杉浦『解析入門』U§6命題6.8 (p.135).
[google adsense1:full] |
||
定義: (y1, y2, …,ym)=f (x1, x2, …,xn)は 点A=(a1, a2, …,an)においてxiについて偏微分可能 partially differentiable点A=(a1, a2, …,an)におけるxiに関する偏微分係数 partially differential coefficient |
||
|
・「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn) が 点(a1, a2, …,an)においてx1に関して偏微分可能partially differentiable」 とは、 x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )=f ( x1, a2, …,an ) が、 x1=a1において、x1について微分可能であること、 すなわち、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること ないし、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること をいう。 * ここで、 ![]() の右極限=右微分係数と左極限=左微分係数が ともに存在して 一致することが含意されていることに注意。 |
・杉浦『解析入門』U§3 (p.108). ・ルディン『現代解析学』9.13(p.210) [文献-経済学] ・西村『経済学のための最適化理論入門』1.3.3(p.24)重要; ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.2 (p. 227) ※関連: 《n変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数》の《1変数実数値関数の微分可能・微分係数》への還元 cf.1変数関数の微分係数/2変数関数の偏微分 |
x1に関する偏微分係数partially differential coefficient・第1偏微係数」 ![]() とは、 x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )= f ( x1 , a2, …,an ) の、 x1=a1における微分係数 すなわち、 ![]() ![]() ないし、 ![]() ![]() のことをいう。 (2) ・「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn) が 点(a1, a2, a3, …,an)においてx2に関して偏微分可能partially differentiable」 とは、 x1,x3,…,xnをそれぞれa1, a3, …,anに固定して、x2だけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )=f ( a1 , x2, a3 ,…,an ) が、 x2=a2において、x2について微分可能あること、 すなわち、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること ないし、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること をいう。 *ここで、 ![]() の右極限=右微分係数と左極限=左微分係数が ともに存在して 一致することが含意されていることに注意。 ・「点(a1, a2, a3, …,an)における n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)の x2に関する偏微分係数partially differential coefficient・第2偏微係数」 ![]() とは、 x1,x3,…,xnをそれぞれa1, a3, …,anに固定して、x2だけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )= f ( a1, x2 , a3, …,an ) の、 x2=a2における微分係数 すなわち、 ![]() ![]() ないし、 ![]() ![]() のことをいう。 |
[yahoo:tate]
|
|
: |
||
(n) 点(a1, a2, …,an)においてxnに関して偏微分可能partially differentiable」 とは、 x1,x2,…,xn-1をそれぞれa1, a2, …,an-1に固定して、xnだけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )=f ( a1 , a2 ,…, an-1 , xn ) が、 xn =anにおいて、xnについて微分可能あること、 すなわち、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること ないし、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) が収束すること をいう。 *ここで、 ![]() の右極限=右微分係数と左極限=左微分係数が ともに存在して 一致することが含意されていることに注意。 ・「点(a1, a2, …,an)における n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)の x nに関する偏微分係数partially differential coefficient・第n偏微係数」 ![]() とは、 x1,x2,…,xn-1をそれぞれa1, a2, …,an-1に固定して、xnだけの1変数m値ベクトル値関数とした ( y1,y2,…,ym )=f ( a1 , a2 ,…, an-1 , xn ) の、 xn =anにおける微分係数 すなわち、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) ないし、 ![]() ![]() (この値は、実m次元数ベクトルとなる) のことをいう。 |
[YouTube:tate] |
|
→ [トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分]→総目次 |
n変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数の、n変数実数値関数の微分可能・微分係数への還元 | |||
m個の n変数実数値関数 の組 y1=f1 (x1,x2,…,xn) y2=f2 (x1,x2,…,xn) : : ym=fm (x1,x2,…,xn) として表されるとする。 つまり、 ( y1,y2,…,ym )=( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1,x2,…,xn) |
・加藤『微分積分学原論』16.2(p.196) |
||
|
命題P: ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)は点(a1, a2, …,an) においてx1に関して偏微分可能 命題Q: n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、x1に関して偏微分可能。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、x1に関して偏微分可能。 かつ : : かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、x1に関して偏微分可能。 ・ 上記の命題P,命題Qが成り立つならば、「点(a1, a2, …,an)における( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)のx 1に関する偏微分係数」 は、 点(a1, a2, …,an)における n変数実数値関数f1, f2,…, fmのx 1に関する偏微分係数を並べた実m次元数ベクトル に等しい。 つまり、命題P,命題Qが成り立つならば、 ![]() |
|
|
|
命題P: ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)は点(a1, a2, …,an)においてx2に関して偏微分可能 命題Q: n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、x2に関して偏微分可能。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、x2に関して偏微分可能。 かつ : : かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、x2に関して偏微分可能。 ・ 上記の命題P,命題Qが成り立つならば、「点(a1, a2, …,an)における( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)のx 2に関する偏微分係数」 は、 点(a1, a2, …,an)における n変数実数値関数f1, f2,…, fmのx2に関する偏微分係数を並べた実m次元数ベクトル に等しい。 つまり、命題P,命題Qが成り立つならば、 ![]() |
||
: |
: |
||
|
命題P: ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)は点(a1, a2, …,an)においてxnに関して偏微分可能 命題Q: n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、xnに関して偏微分可能。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、xnに関して偏微分可能。 かつ : : かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、xnに関して偏微分可能。 ・ 上記の命題P,命題Qが成り立つならば、「点(a1, a2, …,an)における( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)のxnに関する偏微分係数」 は、 点(a1, a2, …,an)における n変数実数値関数f1, f2,…, fmのxnに関する偏微分係数を並べた実m次元数ベクトル に等しい。 つまり、命題P,命題Qが成り立つならば、 ![]() |
||
|
・命題P「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1,x2,…,xn) が、点(a1, a2, …,an)においてx1に関して偏微分可能」 ⇔命題P'「x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数m値ベクトル値関数とした( y1,y2,…,ym )=f ( x1, a2, …,an )が、 x1=a1において、x1について微分可能であること」 ∵ n変数m値ベクトル値関数が (a1, a2, …,an)においてx1に関して偏微分可能の定義 ⇔命題P'' 「・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy1=f1 ( x1, a2, …,an ) がx1=a1において微分可能 かつ ・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy2=f2 ( x1, a2, …,an ) がx1=a1において微分可能 かつ : かつ ・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy m=f m ( x1, a2, …,an ) がx1=a1において微分可能 」 ∵1変数ベクトル値関数の微分可能性の、1変数実数値関数の微分可能性、への還元にしたがって、命題P'を書き下した。 ⇔命題Q 「 n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分可能。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分可能。 かつ : : かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分可能。 」 ∵ n変数実数値関数の偏微分可能の定義 [ 偏微分係数]「点(a1, a2, …,an)における( y1,y2,…,ym )=( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1,x2,…,xn)のx 1に関する偏微分係数」 とは、 「x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数m値ベクトル値関数とした( y1,y2,…,ym )= f ( x1, a2, …,an )の、x1=a1における微分係数」 のことであり、 ∵ n変数m値ベクトル値関数の (a1, a2, …,an)におけるx1に関する偏微分係数の定義 これは、 「・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy1=f1 ( x1, a2, …,an ) のx1=a1における微分係数 ・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy2=f2 ( x1, a2, …,an ) のx1=a1における微分係数 : ・x2,…,xnをそれぞれa2, …,anに固定して、x1だけの1変数実数値関数としたy m=f m ( x1, a2, …,an ) のx1=a1における微分係数 を並べた実m次元数ベクトル 」 のことであり、 ∵1変数ベクトル値関数の微分可能性の、1変数実数値関数の微分可能性、への還元 さらに、これは、 「 n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分係数。 かつ n変数実数値関数y2 =f2 (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分係数。 かつ : : かつ n変数実数値関数ym =fm (x1,x2,…,xn) は、点(a1, a2, …,an)でx1に関して偏微分係数。 」 のことに他ならない。 ∵ n変数実数値関数の偏微分係数の定義 |
||
→ [トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分]→総目次 |
[google2: mini] |
partial derivative | ||
|
x1に関する偏導関数partially derivative」とは? ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)が各点で、x1に関して偏微分可能であるとき、 定点(a1, a2, …,an)におけるx1に関する偏微分係数 ![]() ![]() ![]() ![]() の値(実m次元数ベクトルとなる)は、 定点(a1, a2, …,an)のとりかたによって変わってくるから、 定点(a1, a2, …,an)の n変数m値ベクトル値関数。 定点(a1, a2, …,an)を動点(x1, x2, …,xn)として書き改めた n変数m値ベクトル値関数 ![]() ![]() ![]() ![]() を、 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)の x1に関する偏導関数・第1偏導関数と呼ぶ。 (2) 「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)のx2に関する偏導関数partially derivative」とは? ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)が各点で、x2に関して偏微分可能であるとき、 定点(a1, a2, a3, …,an)におけるx2に関する偏微分係数 ![]() ![]() ![]() ![]() の値(実m次元数ベクトルとなる)は、 定点(a1, a2, a3, …,an)のとりかたによって変わってくるから、 定点(a1, a2, a3, …,an)の n変数m値ベクトル値関数。 定点(a1, a2, …,an)を動点(x1, x2, …,xn)として書き改めた n変数m値ベクトル値関数 ![]() ![]() ![]() ![]() を、 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)の x2に関する偏導関数・第2偏導関数と呼ぶ。 : (n) 「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)のxnに関する偏導関数partially derivative」とは? ( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)が各点で、xnに関して偏微分可能であるとき、 定点(a1, a2, …, an−1, an)におけるxnに関する偏微分係数 ![]() ![]() ![]() ![]() の値(実m次元数ベクトルとなる)は、 定点(a1, a2, …, an−1, an)のとりかたによって変わってくるから、 定点(a1, a2, …, an−1, an)の n変数m値ベクトル値関数。 定点(a1, a2, …, an−1, an)を動点(x1, x2, …,xn−1,xn)として書き改めた n変数m値ベクトル値関数 ![]() ![]() ![]() ![]() を、 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn)の xnに関する偏導関数・第n偏導関数と呼ぶ。 |
・杉浦『解析入門』U§3 (p.108). [文献-経済学] ・西村『経済学のための最適化理論入門』1.3.3(p.24)重要; ・神谷浦井『経済学のための数学入門』6.3.2 (p. 227) cf.1変数関数の微分係数/2変数関数の偏微分 cf. |
記法 |
(1) n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)のx1に関する偏導関数は、![]() ![]() ∂f/∂x1 ∂y /∂x1 fx1 (x1,x2,…,xn) Dx1 f ( x1,x2,…,xn) D1 f ( x1,x2,…,xn) 等の記号で表される。 (2) n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)のx2に関する偏導関数は、![]() ![]() ∂f /∂x2 ∂y /∂x2 fx2 (x1,x2,…,xn) Dx2 f ( x1,x2,…,xn) D2 f ( x1,x2,…,xn) 等の記号で表される。 : (n) n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)のxnに関する偏導関数は、![]() ![]() ∂f/∂xn ∂y /∂xn fxn (x1,x2,…,xn) Dxnf ( x1,x2,…,xn) Dnf ( x1,x2,…,xn) 等の記号で表される。 |
* 記号の読み方・∂は、「丸いd」「ラウンドデルタ」「ラウンドディ」等と呼ばれる。 ・∂f /∂x1は、「デルf デルx1 」等と読む。 [小形『多変数の微分積分』p.22] [入谷久我『数理経済学入門』定義7.1(p.163)] [小島寛之『ゼロから学ぶ微分積分』fs.129] |
活用 |
・ ヤコビ行列: n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)のn個の偏導関数を、それぞれ縦ベクトルで表した上で、横に並べて作った行列。 |
|
偏微分可能から 連続性は出てこない。→ 1変数関数の微分可能性と連続性 → n変数関数の全微分可能性 → n変数関数の連続性 |
||
[トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分] →総目次 |
[google3: mini] |
定義:ベクトル値関数の連続微分可能・ C1級 |
||
|
「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)がC1級」とは、 ・( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)が各点でx1,x2,…,xnの各々に関して偏微分可能で x1,x2,…,xnの各々に関する偏導関数 ∂f /∂x1 (x1,x2,…,xn) , ∂f /∂x2(x1,x2,…,xn), … , ∂f /∂xn(x1,x2,…,xn) がすべて存在し、 かつ、 ・x1,x2,…,xnの各々に関する( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)の偏導関数 ∂f /∂x1 (x1,x2,…,xn), ∂f /∂x2 (x1,x2,…,xn), … ,∂f /∂xn (x1,x2,…,xn) がすべて連続関数であるということ をいう。 |
・杉浦『解析入門』U§3 定義4(p.111)。 ※以下の文献は、 この定義の必要十分条件のほうを、 連続微分可能(C1級)の定義としている。 ・松坂『解析入門4』17.1C (p.63). ・ルディン『現代解析学』9.15(p.211) |
類概念 |
1変数関数の連続微分可能性、1変数関数のCn級、 2変数関数のCn級 |
|
→ [トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分]→総目次 |
|
命題P: 「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)が連続微分可能(C1級)」 命題Q: 「 n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)が微分可能 かつ n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )= f ( x1,x2,…,xn)の導関数が連続」 (ベクトル値関数の導関数の連続性の定義は、ルディンに出ている) (松坂『解析入門4』問題15.2-2 (p.27)も参照) 命題R: n変数m値ベクトル値関数( y1,y2,…,ym )=f ( x1,x2,…,xn) を、 m個の n変数実数値関数 の組 y1=f1 (x1,x2,…,xn) y2=f2 (x1,x2,…,xn) : : ym=fm (x1,x2,…,xn) として表す、 つまり、 ( y1,y2,…,ym )=( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn),…, fm (x1,x2,…,xn) )=f ( x1,x2,…,xn) として表すと、 「 n変数実数値関数y1 =f1 (x1,x2,…,xn) がC1級 かつ y2=f2 (x1,x2,…,xn) がC1級 かつ : かつ ym=fm (x1,x2,…,xn) がC1級」 |
・ルディン『現代解析学』9.16(p.211) ・杉浦『解析入門』U§6命題6.3(p.130). ・松坂『解析入門4』17.1C命題4 (p.63). |
類概念 |
||
→ [トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分]→総目次 |
|
偏微分するという。 |
・杉浦『解析入門』U§3 (p.108). |
[トピック一覧:n変数ベクトル値関数の偏微分] →総目次 |
(
reference)黒田成俊『
21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、8.3.1偏導関数の定義(p.282)。
日本数学会編集『
岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年。矢野健太郎・田代嘉宏『
社会科学者のための基礎数学 改訂版』裳華房、pp.91-3.