1変数ベクトル値関数の微分 |
・定義:微分可能・微分係数[要旨/表現1/表現2]/導関数 ・定理:微分可能と連続// |
※ 1変数ベクトル値関数の関連ページ:1変数ベクトル値関数の定義/極限/※微分定義関連ページ:1変数関数の微分/2変数関数の偏微分/高次の偏微分/微分演算子 ※n変数ベクトル値関数の微分の応用:合成関数の微分/陰関数定理/逆関数定理/ →総目次 |
定義: 1変数ベクトル値関数の微分可能、微分係数 |
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微分可能、微分係数を定義できる。 ・「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)はx0で微分可能である」とは、 ![]() ![]() が存在すること、 つまり、 実数hを0に近づけると、 実m次元数ベクトルの差 f (x0+t)−f (x0 ) に実数(1/h)だけスカラー倍してできた ![]() (値は、実m次元数ベクトルになる) が、 収束することをいい、 このとき、 実m次元数ベクトル ![]() ![]() を、 「x0における 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=f (t)の微分係数・接ベクトル」 という。 |
・杉浦『解析入門I』U§1定義1(p.82); 定義2(p.85). ・Rudin『現代解析学』5.16(p.111). ・斎藤『線型代数入門』7章§1(pp.203-4); ※関連: 《1変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数》の《1変数実数値関数の微分可能・微分係数》への還元 |
以下の記号で表す f ' (x0) |
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定理: 1変数ベクトル値関数の微分可能と連続性 |
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ならば、 (y1,y2,…,ym)= f (t)はx0で連続。 |
・杉浦『解析入門』U§1命題1.2(p.83). |
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1変数ベクトル値関数の微分可能・微分係数の、1変数実数値関数の微分可能・微分係数への還元 | ||
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命題P: 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)=(f1 ( t ), f2 ( t ),…, fm ( t ))= f (t) はx0で微分可能 命題Q: 1変数実数値関数y1 =f1 ( t ) は、x0で微分可能。 かつ 1変数実数値関数y2 =f2 ( t ) は、x0で微分可能。 かつ : : かつ 1変数実数値関数ym =fm ( t ) は、x0で微分可能。 2. 上記の命題P,命題Qが成り立つならば、「x0における 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym) =(f1 ( t ), f2 ( t ),…, fm ( t ))=f (t)の微分係数」 は、 1変数関数 f1, f2,…, fmの「x0における微分係数」を並べた実m次元数ベクトル に等しい。 つまり、命題P,命題Qが成り立つならば、 f ' (x0) = ( f1' ( x0 ), f2' ( x0 ),…, fm ' ( x0 ) ) |
・杉浦『解析入門』U§1命題1.1(p.83):証明付. |
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定義:区間I上で微分可能 |
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とは、 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)が、 区間Iの各点で微分可能であることをいう。 ただし、Iの端点がIに属しているとき、そこでは片側微分係数をもつだけでよい。 |
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定義:導関数 derivative |
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区間I上で微分可能であるとき、 x0∈Iにおける微分係数 ![]() ![]() の値(実m次元数ベクトルになる)は、 x0によって変わってくるから、x0の関数。 x0をxと書き直したI上の 1変数m値ベクトル値関数f’(x)を f(x)の導関数derivativeと呼ぶ。 (記法) y=f(x)の導関数の表記の例 f’(x)、 ![]() ![]() ![]() |
[ 文献]・杉浦『解析入門I』U§1定義1 (p.82). |
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定義:右微分可能 differentiable from right・右微分係数 |
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実数x0について、 右極限 ![]() ![]() (値は、実m次元数ベクトルになる) が存在するとき、 「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)は、t= x0で右微分可能である」という。 この極限値を「右(方)微分係数」と呼び、 f’(x0+0)、f’+(x0) などと書く。 |
[ 文献]・杉浦『解析入門I』U§1定義3 (p.87). ※ 類概念:1変数関数の微分可能・微分係数/右連続/右極限 |
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定義:左微分可能 differentiable from left・左微分係数 |
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1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)と、 実数x0について、 左極限 ![]() ![]() (値は、実m次元数ベクトルになる) が存在するとき、 「 1変数m値ベクトル値関数 (y1,y2,…,ym)= f (t)は、t= x0で右微分可能である」 という。 この極限値を「左(方)微分係数」と呼び、 f’(x0−0)、 f’−(x0)と書く。 |
[ 文献]・杉浦『解析入門I』U§1定義3 (p.87). ※ 類概念:1変数関数の微分可能・微分係数/左連続/左極限 |
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定義:片側微分係数 |
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左微分係数、右微分係数の総称。 |
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