定義：列を掃き出す　sweep out　〜を要(かなめ)として列を掃き出す　　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(p.48);]　　
(舞台設定)
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：(m,n)型実行列　
　　　　　　　　
a_pq ：Aの( p, q ) 成分。ただし、０でないとする。　　　
(本題)
「(m,n)型実行列Aの( p, q ) 成分を要として、実行列Aの第q列を掃き出す」とは、　
以下の手順で行基本変形を組み合わることによって、　　　
実行列Aの第q列について、( p, q ) 成分a_pqを1とし、第q列のそれ以外のすべての成分を０にすること
をいう。　　　
　[手順1]　　　
　　　　　
　　　　の第p行を、a_pq^−１倍して、　　
　　　　　
　　　　すなわち　
　　　　　
　　　　とする。　　　
　　　　この操作は、行基本変形type3であるから、　　　
　　　　この操作によって得られた実行列は、R_m( p, a_pq^−１)A 　という行列積に等しい。　
　[手順2]　
　　　手順1によって得られた実行列　　
　　　　　　
　　　の第i行（ただし、第p行をのぞく）に、第p行の−a _{i q}倍を加えて、
　　　　
　　　すなわち　
　　　　　　
　　　とする。　　　　
　　　この操作は、行基本変形type1であるから、　
　　　この操作の結果生じた実行列は、P_m ( i, p,−a _{i q} )R_m( p, a_pq^−１)A 　という行列積に等しい。　
　[手順3]　第p行をのぞく、すべての行を第i行として、手順2を施して、

　すなわち　

　とする。
　これは　　　
　　　　　　　
　　　　　　
　　という行列積に等しい。　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§4(p.48)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。該当箇所見当たらず。