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基本行列elementary matrixの性質　　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
(舞台設定)
　R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
　A：実行列　
　P_n ( i, j, c_i,j )：実数体R上のn次基本行列type 1　　　　　
　　　　　　　・j<i　である場合の基本行列P_n ( i, j, c_i,j )の例
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　・i<j　である場合の基本行列P_n ( i, j, c_i,j )の例
　　　　　　　　　　　　

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(本題1)　　
　(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1: P_n ( i, j, c_i,j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
※この点は、「体上のn次基本行列type 1」一般についても成り立つ。→詳細　　
※なぜ？　　　
　・j<i　である場合　　
　　　　　
　　　　　
　　であるから、　
　　A P_n ( i, j, c_ij )　　　　　　
　　　　　
　　　　　　∵行列積の定義　
　・i<j　である場合　　
　　　　
　　　　
　　であるから、　
　　A P_n ( i, j, c_ij )　　　　　　
　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　

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(本題2)　　
　(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1：P_m ( i, j, c_i,j )をかけると、　　
　(m,n)型実行列Aに行基本変形type1を施したことになる。　　
※この点は、「体上のn次基本行列type 1」一般についても成り立つ。→詳細　　
※なぜ？　　　　
　・j<i　である場合　　
　　　　　
　　　　　
　　であるから、　
　　P_m ( i, j, c_ij ) A 　　　　　　　
　　　　　
　　　　　　∵行列積の定義　
　・i<j　である場合　　
　　　　
　　　　
　　であるから、　
　　P_m ( i, j, c_ij ) A 　　　　　　
　　　　　　
　　　　　∵行列積の定義　

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(本題3)　　
　n次基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1：P_n ( i, j,−c_i,j )。　
※この点は、「体上のn次基本行列type 1」一般についても成り立つ。→詳細　　
※本当？　　
P_n ( i, j, c_i,j )の左からP_n ( i, j,−c_i,j )をかけても、P_n ( i, j, c_i,j )の右からP_n ( i, j,−c_i,j )をかけても、
単位行列となることを示す。　　
・j<i　である場合　　
　P_n ( i, j, −c_i,j )P_n ( i, j, c_i,j ) 　　
　　　
　　　　　∵行列積の定義　
　　=I_n　　　∵実数の性質より、-c_ij+c_ij=0　
　P_n ( i, j, c_i,j ) P_n ( i, j, −c_i,j ) 　　
　　　
　　　　　∵行列積の定義　
　　=I_n　　　　∵実数の性質より、c_ij-c_ij=0　
・i<j　である場合　　
　P_n ( i, j, −c_i,j ) P_n ( i, j, c_i,j ) 　　
　　　
　　　　∵行列積の定義　　
　　=I_n　　∵実数の性質より、c_ij-c_ij=0　　　
　P_n ( i, j, c_i,j ) P_n ( i, j, −c_i,j )　　
　　
　　　　∵行列積の定義　
　　=I_n　　　　∵実数の性質より、-c_ij+c_ij=0　 　　

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