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基本行列elementary matrixの性質　

(舞台設定)
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：実行列　
Q_n ( i, j )：実数体R上のn次基本行列type2　　　
　　　　　　・i<j　である場合の基本行列Q_n ( i, j )の例
　　　　　　　　　　

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(本題1)　
　(m,n)型実行列Aに、右から「実数体R上のn次基本行列type2」：Q_n ( i, j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
※この点は、「体上のn次基本行列type2」一般についても成り立つ。→詳細　　
※本当？　　
　　　　
　　　　　
　　であるから、　
　　AQ_n ( i, j )　　　
　　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　　　　

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(本題2)　
　(m,n)型実行列Aに、左から「実数体R上のn次基本行列type2」：Q_n ( i, j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
※この点は、「体上のn次基本行列type2」一般についても成り立つ。→詳細　　
※本当？　　
　　　　
　　　　　
　　であるから、　
　　Q_n ( i, j ) A　　　
　　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　　　　

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(本題3)　
　「実数体R上のn次基本行列type2」Q_n ( i, j )は正則行列であって、
　その逆行列も、実数体R上のn次基本行列type2」Q_n ( i, j )。　
※この点は、「体上のn次基本行列type2」一般についても成り立つ。→詳細　　
※本当？　
　Q_n ( i, j )の左からQ_n ( i, j )をかけても、Q_n ( i, j )の右からQ_n ( i, j )をかけても、　
　単位行列となることを示す。　
　Q_n ( i, j )Q_n ( i, j )　
　　
　　　　　∵行列積の定義　　　

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