実行列の基本変形

[トピック一覧:実行列の基本変形]
・定義:行列の列に関する基本変形[type1/2/3]行列の行に関する基本変形[type1/2/3]  
・定理:  
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定義:行列の列に関する基本変形elementary transformation
 [永田『理系のための線形代数の基礎1.7(p.39);藤原『線形代数2-3(pp.37-46);志賀『線形代数3020(p.129)
  斎藤『線形代数入門2章§4(pp.46-48);ホフマン・クンツェ『線形代数学I1.3(pp.6-7)
  砂田『行列と行列式』§4.2(b)行列の基本変形(p.143).]
(舞台設定)
R実数をすべて集めた集合実数体) 
A(m,n)型実行列 
(本題)
(m,n)型実行列A列に関する基本変形とは、次の3つのtypeの変形のこと。 
・列基本変形type 1 
 ・
(m,n)型実行列Aある列スカラー倍したものを、A他の列加える。 
  つまり、 
   
(m,n)型実行列 
     Image1306.gif 
   の第
i (1i n)スカラーc(cR)したものを、第j(1jn, ji)に加えて 
     Image1318.gif 
   とする変形。 
 ・
(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1Pn ( i, j, c )をかけると、
  
(m,n)型実行列A列基本変形type1を施したことになる。 
 
本当?→証明  

・列基本変形type 2  
 ・
(m,n)型実行列Aある列と、A他の列を、入れかえる。 
  つまり、  
   
(m,n)型実行列 
     Image1295.gif 
   の第
i(1in)を、第j(1jn, ji)と、入れかえて、 
     Image1319.gif 
   とする変形。 
 ・
(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 2Qn ( i, j )をかけると、
  
(m,n)型実行列A列基本変形type2を施したことになる。   
  
本当?→証明    

・列基本変形type 3  
 ・
(m,n)型実行列Aある列スカラー倍する(ただし、以外)。 
  つまり、  
   
(m,n)型実行列 
     Image1332.gif 
   の第
i (1in)を、スカラーc(cR、ただし、c)、 
     Image1333.gif 
   とする変形。 
 ・
(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 3Rn ( i, c )をかけると、
  
(m,n)型実行列A列基本変形type3を施したことになる。
 
本当?→証明   


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定義:行列の行に関する基本変形elementary transformation
 [永田『理系のための線形代数の基礎1.7(p.39);砂田『行列と行列式』§4.2(b)行列の基本変形(p.143).]
(舞台設定)
R実数をすべて集めた集合実数体) 
A(m,n)型実行列 
(本題)
(m,n)型実行列A行に関する基本変形とは、次の3つのtypeの変形のこと。 
・行基本変形type 1 
 
(m,n)型実行列Aある行スカラー倍したものを、A他の行加える。 
 つまり、  
   
(m,n)型実行列 
     
Image1321.gif 
   の第
j(1jn)スカラーc(cR)したものを、第i(1in, ij)に加えて 
     Image1322.gif 
   とする変形。
 ・
(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1Pm ( i, j, c )をかけると、
  
(m,n)型実行列A行基本変形type1を施したことになる。 
 
本当?→証明  

・行基本変形type 2 
 ・
(m,n)型実行列Aある行と、A他の行を、入れかえる。 
  つまり、  
   
(m,n)型実行列 
     
Image1321.gif 
   の第
i(1in)を、第j(1jn, ji)と、入れかえて、 
     Image1323.gif 
   とする変形。 
 ・
(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 2Qm ( i, j )をかけると、
  
(m,n)型実行列A行基本変形type2を施したことになる。 
 
本当?→証明     

・行基本変形type 3  
 ・
(m,n)型実行列Aある行スカラー倍する(ただし、以外)。 
  つまり、  
   
(m,n)型実行列 
     
Image1334.gif 
   の第
i (1in)を、スカラーc(cR、ただし、c)、 
     
Image1335.gif 
   とする変形。 
 ・
(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 3Rm ( i, c )をかけると、
  
(m,n)型実行列A行基本変形type3を施したことになる。 
 
本当?→証明  


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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト

永田雅宜『
理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)
斎藤正彦『
線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§4行列の基本変形・階数(pp.46-48)
砂田利一『現代数学への入門:
行列と行列式2003年、§4.2(b)行列の基本変形(p.143).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2線形代数』岩波書店、1996年、2-3行列の基本変形と階数(pp.37-46)
ホフマン・クンツェ『
線形代数学I』培風館、1976年、1.3行列と行基本変形(pp.6-7)
志賀浩二『数学
30講シリーズ:線形代数30』朝倉書店、1988年、11講消去法と基本変形(pp.71-74);19講正則行列と基本行列(pp.121-125);20講基本変形(p.129)
佐武一郎『
線形代数学(44)』裳華房、1987年、該当箇所見当たらず。

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