小行列式の定義

・定義：小行列/正方小行列/(i,j)小行列　
・定義：小行列式/ (i,j)小行列式

※行列式/主小行列式
※線形代数目次・総目次

定義：実行列の(i,j)小行列

定義1

「 m行n列行列
　　
　の(i,j)小行列」
とは、
m行n列行列Aから、第i行と第j列を、取り去った行列、
すなわち、
Aの{第１行,…,第(i−１)行,第(i＋１)行,…第m行}
Aの{第１列,…,第(j−１) 列,第(j＋１) 列,…第n列}
が交差する成分を並べた(m−1)行(n−1)列の行列
のこと。

[文献-線型代数]
・砂田『行列と行列式』§3.3a定義3.35 (p. 114)：第(i,j)小行列式
・佐武『線型代数学』�U§3 (p.57):n-1次小行列式
[文献-数理経済]
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.4(p.179) :いくつかの行と列を取り去った正方行列;
・グリーン『計量経済分析』2.4.6(p.33):i行とj列を除いて得られる行列

※

もとの行列Aが正方行列であるならば、
Aの(i,j)小行列も正方行列となり[正方小行列]、
行列式を定義できるが、これを(i,j)小行列式という。

例

について、
・(2,3)小行列
　
・(2,2)小行列
　
・ (2,1)小行列
　
・(1,3)小行列
　
・(1,2)小行列
　
・(1,1)小行列
　

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定義：実行列の部分行列submatrix・小行列

定義1

「 m行n列行列
　　
　の小行列・部分行列」
とは、
　Aのm個の行から選んだs個の行{第i₁行, 第i₂行,…第i_s行}
　　　ただし、1≦i₁<i₂<…<i_s≦ m（トビがあってよい）
　Aのn個の列から選んだt個の列{第j₁列, 第j₂列,…第j_t列}
　　　ただし、1≦j₁<j₂<…<j_t≦n（トビがあってよい）
　が交差する成分を並べたs行t列行列
　　
のこと。

※関連事項：正方小行列/小行列式


[文献-全般]
・『岩波数学辞典』84行列式Ｄ (p.224);
[文献-線型代数]
・佐武『線型代数学』�V§4 (p.106:r次小行列式)
・草場『線形代数』2.12定義2.4(p.66);
・永田『理系のための線型代数の基礎』2.4(p.73):小行列式;

[文献-解析]
＊松坂『解析入門4』16.2-E(p.51)フォーマルな定式化。
[文献-数理経済]
・西村『経済数学早わかり』２章§2.3(pp.58-61). ｋ次小行列、5.1(p.86)
＊二階堂『経済のための線型代数』I§4-6(p.46)。正方行列でなくてもよい。特に正方小行列については、行列式が定義され、これを小行列式という。

定義2

「 m行n列行列Aの小行列・部分行列」とは、
　　 m行n列行列Aから、いくつかの行と、いくつかの列を、取り去った行列
のこと。

[文献-数理経済]
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.4(p.179) :いくつかの行と列を取り去った正方行列;

※

正方行列となる小行列[→正方小行列]については、行列式を定義できるが、これを小行列式という。

※

正方小行列を、小行列として定義するテキストも多い。

例

2行3列の行列
　　
の小行列・部分行列は、
以下の21通り。[→二階堂『経済のための線型代数』I§4-6例6(pp.46-7)。]
(ex1-1) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列{第1列, 第2列,第3列}全てを選択した小行列
　　
(ex 1-2) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第2列}を選択・第３列を排除した小行列
　
(ex 1-3) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第3列}を選択・第2列を排除した小行列
　
(ex 1-4) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第2列, 第3列}を選択・第1列を排除した小行列
　
(ex 1-5) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 1-6) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 1-7) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第2列}を排除した小行列
　
(ex 2-1) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列{第1列, 第2列,第3列}全てを選択した小行列
　
(ex 2-2) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第1列, 第2列}を選択・第３列を排除した小行列
　
(ex 2-3) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第1列, 第3列}を選択・第2列を排除した小行列
　
(ex 2-4) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第2列, 第3列}を選択・第1列を排除した小行列
　
(ex 2-5) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第3列}を排除した小行列
　
(ex 2-6) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第3列}を排除した小行列
　

(ex 2-7) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第２列}を排除した小行列
　
(ex 3-1) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列{第1列, 第2列,第3列}全てを選択した小行列
　
(ex 3-2) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第1列, 第2列}を選択・第３列を排除した小行列
　
(ex 3-3) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第1列, 第3列}を選択・第2列を排除した小行列
　
(ex 3-4) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第2列, 第3列}・第1列を排除を選択した小行列
　
(ex 3-5) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 3-6) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 3-7) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第2列}を排除した小行列
　

※

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定義：行列の正方部分行列・正方小行列

[文献-数理経済]
・二階堂『経済のための線型代数』I§4-6(p.46)。

定義

「 m行n列行列Aの正方小行列」
とは、
Aの小行列のなかでも、特に、正方行列になるもののことをいう。

つまり、
「 m行n列行列
　　
　の正方小行列」
とは、
　Aのm個の行から選んだs個の行{第i₁行, 第i₂行,…第i_s行}
　　　ただし、1≦i₁<i₂<…<i_s≦ m（トビがあってよい）
　Aのn個の列から選んだs個の列{第j₁列, 第j₂列,…第j_s列}
　　　ただし、1≦j₁<j₂<…<j_s≦n（トビがあってよい）
　が交差する成分を並べたs行s列正方行列
　　
のこと。

※

正方小行列については、行列式を定義できるが、これを小行列式という。

例

2行3列の行列
　　
の正方小行列は、
以下の9通り。[→二階堂『経済のための線型代数』I§4-6例6(pp.46-7)。]
(ex 1-2) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第2列}を選択・第３列を排除した小行列
　
(ex 1-3) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第3列}を選択・第2列を排除した小行列
　
(ex 1-4) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第2列, 第3列}を選択・第1列を排除した小行列
　
(ex 2-5) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第3列}を排除した小行列
　
(ex 2-6) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第3列}を排除した小行列
　
(ex 2-7) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第２列}を排除した小行列
　
(ex 3-5) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 3-6) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第３列}を排除した小行列
　
(ex 3-7) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第2列}を排除した小行列
　

→[トピック一覧：行列式]
→線形代数目次・総目次

定義：正方行列の ( i, j )小行列式

定義1

「正方行列A
　　
　の(i,j)小行列式」
とは、
「正方行列Aの(i,j)小行列の行列式」のことをいう。

[文献-線型代数]
・砂田『行列と行列式』§3.3a定義3.35 (p. 114)：第(i,j)小行列式
・佐武『線型代数学』�U§3 (p.57):n-1次小行列式
[文献-数理経済]
・神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.4(p.179) :いくつかの行と列を取り去った正方行列;
・グリーン『計量経済分析』2.4.6(p.33):i行とj列を除いて得られる行列

→[トピック一覧：行列式]
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定義：行列の小行列式 minor, subdeterminant, minor determinant

設定

[文献-全般]
・『岩波数学辞典』84行列式Ｄ (p.224);
[文献-線型代数]
・佐武『線型代数学』�V§4 (p.106:r次小行列式)
・草場『線形代数』2.12定義2.4(p.66);
・永田『理系のための線型代数の基礎』2.4(p.73):小行列式;
[文献-解析]
＊松坂『解析入門4』16.2-E(p.51)フォーマルな定式化。
[文献-数理経済]
・西村『経済数学早わかり』２章§2.3(pp.58-61). ｋ次小行列、5.1(p.86)
＊二階堂『経済のための線型代数』I§4-6(p.46)。正方行列でなくてもよい。特に正方小行列については、行列式が定義され、これを小行列式という。

定義

「 m行n列行列
　　
　の小行列式」
とは、
Aの正方小行列の行列式のことをいう。

※

2行3列の行列
　　
のすべての正方小行列と小行列式。 [→二階堂『経済のための線型代数』I§4-6例6(pp.46-7)。]
(ex 1-2) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第2列}を選択・第３列を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁
(ex 1-3) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第1列, 第3列}を選択・第2列を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₁a₂₃−a₁₃a₂₁
(ex 1-4) Aの2個の行{第1行, 第2行}全てを選択、Aの3個の列から{第2列, 第3列}を選択・第1列を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₂a₂₃−a₁₃a₂₂
(ex 2-5) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第3列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₁　　
(ex 2-6) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第3列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₂　
(ex 2-7) Aの2個の行から{第1行}を選択・{第2行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第２列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₁₃　　
(ex 3-5) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第1列}を選択・{第2列,第３列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₂₁　　
(ex 3-6) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第2列}を選択・{第1列,第３列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₂₂　　
(ex 3-7) Aの2個の行から{第2行}を選択・{第1行}を排除、Aの3個の列から{第3列}を選択・{第1列,第2列}を排除した小行列
　
　　　　　　　　　　　　　　　　小行列式＝a₂₃　　

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