証明：
一次写像f：V→V'にたいして、Kerf は、V'の部分ベクトル空間。
(
舞台設定)
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
V ：K上のベクトル空間
V' ：K上のベクトル空間
f：V→V'：K上のベクトル空間VからK上のベクトル空間V'への一次写像
(命題)
一次写像f：V→V'にたいして、Ker f は、Vの部分ベクトル空間となる。
(証明) [志賀『線形代数30講』21講(p.133)]
Ker f がVの部分ベクトル空間であることを示すには、
次の三点を示せば十分。∵部分ベクトル空間になるための必要十分条件
1. Ker fは、Vの空でない部分集合。
2. 任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、v1 +v2 ∈Ker f
[ Ker fは「Vに定められているベクトルの加法」について閉じている]
3. 任意のベクトルv∈Ker fとスカラーc∈Kに対して、cv∈ Ker f
[ Ker fは「Vに定められているスカラー乗法」について閉じている]
step1: Ker fは、V'の空でない部分集合
・「K上のベクトル空間」の定義―条件I-2-2により、
あらゆる「K上のベクトル空間」は、零ベクトルを備えたものとして定義されている。
したがって、V にもV'にも、零ベクトルは備わっている。…(1-1)
・一次写像f：V→V'は、f ( 〇 ) =〇 を満たす。（∵）…(1-2)
・(1-1) (1-2)より、fは、〇∈Vを〇∈V' に写すことがわかる。
したがって、〇∈Ker f
Ker fには、少なくとも、〇∈V'が含まれているから、Vの空でない部分集合である。
step2: Ker fは「Vに定められているベクトルの加法」について閉じている
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f は、
Ker f の定義により、 f ( v1 ) =f ( v2 ) =０ を満たす。…(2-1)
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f は、
一次写像f の定義―要件1:ベクトル和の保存により、
f ( v1 ) + f ( v2 )=f ( v1 +v2 )を満たす。…(2-2)
・(2-1) (2-2)より、
任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f は、f ( v1 +v2 )=０ を満たす。…(2-3)
・任意のベクトル v1, v2 ∈Ker f は、Ker f の定義によって、v1,v2 ∈Vでもある。
したがって、 v1 +v2 ∈V …(2-4)
∵ VはK上のベクトル空間だから、ベクトル空間の定義―条件I-1によって。
・(2-3) (2-4)より、
任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、f ( v1 +v2 )=０ かつ v1 +v2 ∈V 。
つまり、任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、
v1 +v2は、fによる像がV'上の零ベクトルとなる「Vに属すベクトル」
になっている。
このことは、Ker fの定義により、次のように、言い換えられる。
任意のベクトル v1, v2 ∈Ker fに対して、v1 +v2 ∈Ker f
step3: Ker fは「Vに定められているスカラー乗法」について閉じている
・任意のベクトル v∈Ker f は、Ker f の定義により、
f ( v ) =０ を満たす。…(3-1)
・任意のベクトル v∈Ker f と、任意のスカラーc∈Kは、
一次写像f の定義―要件2:スカラー積の保存により、
f ( cv ) = c f ( v )を満たす。…(3-2)
・(3-1) (3-2)より、
任意のベクトル v∈Ker f と、任意のスカラーc∈Kは、
f ( cv ) = c f ( v )= c０
= ０ ∵零ベクトルのスカラー倍
を満たす。 …(3-3)
・任意のベクトル v∈Ker f は、Ker f の定義によって、v∈Vでもある。
したがって、任意のベクトル v∈Ker fと、任意のスカラーc∈Kにたいして、
cv∈V …(3-4)
∵ VはK上のベクトル空間だから、ベクトル空間の定義―条件II-1によって。
・(3-3) (3-4)より、
任意のベクトル v∈Ker fと、任意のスカラーc∈Kにたいして、
cv は、fによる像がV'上の零ベクトルとなる「Vに属すベクトル」になっている。
このことは、Ker fの定義により、次のように、言い換えられる。
任意のベクトルv∈Ker fとスカラーc∈Kに対して、cv∈ Ker f