1.収束列の符号を反転した数列の極限

・数列{an}が収束列ならば、
　その符号を逆転した数列{−an}も収束列。

・数列{an}が実数αに収束するならば、
　数列{−an}は、実数−αに収束する。
　
　記号を用いて表現すると、

　　　　　an→α (n→∞)  ⇒　−an→−α (n→∞) 
　

 　
 　



　　　　　 lim an＝α 　⇒　 lim −an＝−α＝ − lim an
n→∞ n→∞ n→∞


　※なぜ？→証明
　※数列{an}が収束しない場合→詳細　




[文献]
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(p.69)
　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.8(pp.47-8)
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』2章例2.3(pp.16-17):定数倍、符号反転、逆数。証明付。

　
　


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証明：「収束列の符号を反転した数列の極限」

【step1:仮定の分析】


　数列の収束の定義より、

　仮定「an→α (n→∞)」とは、

　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　 　　『n≧Nならば、　| an −α|＜ε』を満たす
　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | an−α|＜ε)

　を意味する。　

　つまり、




　　ご活用の際には、
　　下記文献にアクセスして自ら確認されることをおすすめします。
　　まだまだ至らないので…。

[文献]
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(p.69)

　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』2章例2.3(pp.16-17):定数倍から導出。
　


　仮定「an→α (n→∞)」　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | an−α|＜ε) 　…(1)

【step2:結論の分析】


　数列の収束の定義より、

　結論「−an→−α (n→∞)」とは、

　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　 　　『n≧Nならば、　| −an −(−α)|＜ε』を満たす
　　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | −an −(−α)|＜ε)

　を意味する。　

　つまり、

　　結論「−an→−α (n→∞)」　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | −an −(−α)|＜ε) 　…(2)

【step3】


　| an−α|＝|−an−(−α))|　…(３)
　である。　

　なぜなら、
　　| an−α|＝|−(an−α)|　　∵絶対値の性質　
　　　　　＝|−an＋α|　　
　　　　　＝|−an−(−α))|　　

【step4】

 
　・(3)を用いて、(1)を見直すと、
　　　　仮定an→α (n→∞)」の定義は、
　　　　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　 　　『n≧Nならば、　| an −α|＝|−an−(−α))|＜ε』を満たす」
　　　　となっていること、
　　　　論理記号で書くと、
　　　　　仮定「an→α (n→∞)」　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | an−α|＝|−an−(−α))|＜ε) 　
　　　　となっていることに気づく。
　・つまり、
　　　　仮定an→α (n→∞)」の定義
　　　　　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　　　　　 　　『n≧Nならば、　| an −α|＜ε』を満たす」
　　　　は、
　　　　　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　 　　『n≧Nならば、　|−an−(−α))|＜ε』を満たす」
　　　　と表現しても、その意味はかわらない。

　　論理記号で書くと、

　　仮定「an→α (n→∞)」　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | an−α|＜ε) 　
　　　　　　　　　　　　　　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ |−an−(−α))|＜ε) 　…(４)

【step5】


　・(2)を用いて(4)を見直すと、
　　仮定「an→α (n→∞)」　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ | an−α|＜ε) 　
　　　　　　　　　　　　　　⇔　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒ |−an−(−α))|＜ε) 　
　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　結論「−an→−α (n→∞)」　
　　となっていることに気づく。
　
　・これは、
　　　　仮定an→α (n→∞)」の定義
　　　　　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　　　　　 　　『n≧Nならば、　| an −α|＜ε』を満たす」
　　　　は、
　　　　　　「任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、
　　　　　　 　　『n≧Nならば、　|−an−(−α))|＜ε』を満たす」
　　　　と表現しても、
　　　　　　「−an→−α (n→∞)」。
　　　　と表現しても、その意味はかわらない
　　ということに他ならない。

　要するに、
　　「an→α (n→∞)」　⇔　「−an→−α (n→∞)」　

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