証明：収束列の商の極限[数学についてのwebノート]

収束列の極限値どおしの演算に関する公式

・「どの項も0にならない数列{a_n}が実数α≠0に収束」
　かつ　
　「数列{b_n}が収束列」
　ならば、
　それらの商の数列{b_n/a_n}も収束列。

・どの項も0にならない「数列{a_n}が実数α≠0に収束」
　かつ
　「数列{b_n}が実数βに収束」ならば、
　それらの商の数列{ b_n/a_n}は、実数β/αに収束する。

　記号を用いて表現すると、

　　　　「『∀n∈N (a_n≠0)』かつ『a_n →α (n→∞)』かつ『α≠0』かつ『b_n →β (n→∞)』」　⇒ 　「b_n/a_n→β/α (n→∞)」
　　　　ないし

(∀n∈N) (a_n≠0) かつ

＝α≠0　 ⇒　

lim

^n→∞

＝

lim	b_n
^n→∞

lim	a_n
^n→∞

　※なぜ？→証明

lim	a_n
^n→∞

＝α、

lim	b_n
^n→∞

＝β、∀n∈N (a_n≠0), α≠0　とする。

lim

^n→∞

＝

lim	b_n
^n→∞

＝

lim	b_n
^n→∞

・

lim

^n→∞

　　　　　　　　　＝ β・(1/α)　　　　　∵収束列の逆数の極限　
　　　　　　　　　　＝ β/α　　　　
　　　　　　　　　


	[文献] 　・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.8(pp.47-8):証明詳。商の証明は逆数。　・杉浦『解析入門I』定理2.5(3)(p.14):証明付　・松坂『解析入門1』2.1-E-定理3(b)(p.63):証明付　・小平『解析入門I』1.19(2) (p.33):証明付　・笠原『微分積分学』1.2命題1.8(iii)(p.11）：証明付　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理2(4)(pp.8-9):証明付　・『高等学校　微分・積分』p.9. 証明なし　・赤『実数論講義』§5.3定理5.3.1(iv)(p.123)証明付　・高木『解析概論』定理5(4)(p.7):証明付　・青本『微分と積分1』命題1.16(p.13):証明は数列の具体例についてのみ。　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.1.7(p.91):証明略。　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.３命題3(p.53)：証明略。順序体一般において。　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.2(p.6)和差積商。証明付。商の証明は逆数。　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』演習問題2-3(p.18):和差積商。