行列の基本変形「掃き出す」 　：　トピック一覧：掃き出す　



・定義：行を掃き出す

・定義：列を掃き出す　


【関連ページ】

　・行列の基本変形

　・基本行列　　

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定義：行を掃き出す　sweep out　〜を要(かなめ)として行を掃き出す　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(p.48)]
(舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
　　　　　　　　
apq ：Aの( p, q ) 成分。ただし、０でない成分とする。　　　
(本題)
「(m,n)型行列Aの( p, q ) 成分を要として、行列Aの第p行を掃き出す」とは、　
以下の手順で列基本変形を組み合わることによって、　　　
行列Aの第p行について、( p, q ) 成分apqを1とし、第p行のそれ以外のすべての成分を０にすること
をいう。　　　
　[手順1]　　　
　　　　　
　　　　の第q列を、apq−１倍して、　　
　　　　　
　　　　すなわち　
　　　　　
　　　　とする。　　
　　　　この操作は、列基本変形type3 であるから、
　　　　この操作によって得られた行列は、ARn( q, apq−１)　という行列積に等しい。　
　　　　　　　　
　[手順2]　
　　　手順1によって得られた行列　　
　　　　　
　　　の第j列（ただし、第q列をのぞく）に、第q列の−apj倍を加えて、
　　　　　　
　　　すなわち　
　　　　　
　　　とする。　　　　
　　　この操作は、列基本変形type1であるから、　
　　　この操作の結果生じた行列は、ARn( q, apq−１) Pn ( q, j,−apj )という行列積に等しい。　
　[手順3]　第q列をのぞく、すべての列を第j列として、手順2を施して、
　　
　　すなわち　
　　
　　　とする。
　　　これは　　　
　　　　　　　
　　　という行列積に等しい。　

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定義：列を掃き出す　sweep out　〜を要(かなめ)として列を掃き出す　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(p.48);]　　
(舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
　　　　　　　　
apq ：Aの( p, q ) 成分。ただし、０でないとする。　　　
(本題)
「(m,n)型行列Aの( p, q ) 成分を要として、行列Aの第q列を掃き出す」とは、　
以下の手順で行基本変形を組み合わることによって、　　　
行列Aの第q列について、( p, q ) 成分apqを1とし、第q列のそれ以外のすべての成分を０にすること
をいう。　　　
　[手順1]　　　
　　　　　
　　　　の第p行を、apq−１倍して、　　
　　　　　
　　　　すなわち　
　　　　　
　　　　とする。　　　
　　　　この操作は、行基本変形type3であるから、　　　
　　　　この操作によって得られた行列は、Rm( p, apq−１)A 　という行列積に等しい。　
　[手順2]　
　　　手順1によって得られた行列　　
　　　　　　
　　　の第i行（ただし、第p行をのぞく）に、第p行の−a i q倍を加えて、
　　　　
　　　すなわち　
　　　　　　
　　　とする。　　　　
　　　この操作は、行基本変形type1であるから、　
　　　この操作の結果生じた行列は、Pm ( i, p,−a i q )Rm( p, apq−１)A 　という行列積に等しい。　
　[手順3]　第p行をのぞく、すべての行を第i行として、手順2を施して、

　すなわち　

　とする。
　これは　　　
　　　　　　　
　　　という行列積に等しい。　
 

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§4(p.48)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。該当箇所見当たらず。