行列の標準形  

(舞台設定)

K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
A:K上の(m,n)型行列 

(主張の確認)

K上の(m,n)型行列Aは、どのようなものでも、基本変形のみを用いて、次の形の標準形に変形できる。  
   行列の標準形  
 この標準形は、(1,1)成分, (2,2)成分, …, (r,r)成分というr個の成分だけが1、  
     そのほかの成分はすべて0   
 という行列。


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(証明) 


[斎藤『線形代数入門』2章§4定理4.2(pp.50-51);砂田『行列と行列式』§4.2定理4.11(pp.144).] 

次の手順にしたがうことで、基本変形だけで、あらゆる行列を標準形に至らせることができる。 
K上の(m,n)型行列Aがm>nである場合に、Aを標準形に至らせる手順   
Step0:  
 K上の(m,n)型行列Aが、零行列であるか否かをチェック。 
  (i) (m,n)型行列Aが、零行列であるケース     
    →Aは、もともと、標準形である。1になっている成分の個数(rankA)=0]。 
  (ii) (m,n)型行列Aが、零行列ではないケース 
      →step1へ進む。   
Step1:         
  Step1-1:下図のように、(m,n)型行列Aの(1,1)成分が0であるならば、
         
      列の入れ替えを行う列基本変形type2 と、
      行の入れ替えを行う行基本変形type2 だけを用いて、
      (m,n)型行列Aの(1,1)成分に、非0を持ってくる。 
  Step1-2:(m,n)型行列Aの(1,1)成分を要として第1行を掃き出す。  
      それから、(m,n)型行列Aの(1,1)成分を要として第1列も掃き出す。 
      その結果、次のかたちが得られる。  
             
      ※具体的には?→詳細     
      ※「掃き出す」とよばれる変形は、基本変形のみの組み合わせであることに注意。 
  Step1-3:(m,n)型行列Aから、第1行第1列を取り去った残りの(m−1,n−1)型行列が、
      零行列であるか否かをチェック。  
        (i) (m−1,n−1)型行列零行列であるケース     
            →Aは標準形に到達。1になっている成分の個数(rankA)=1。 
             確かに、基本変形だけで標準形に到達している。 
             
        (ii) (m−1,n−1)型行列零行列ではないケース 
            →step2へ進む。   
Step2:     
  Step2-1:下図のように、(m,n)型行列Aの(2,2)成分が0であるならば、 
          
         列基本変形type2を用いた、第2列第3列第n列との入れ替え 
         行基本変形type2を用いた、第2行第3行第m行との入れ替え 
      だけによって、   
      Aの(2,2)成分に非0を持ってくる。
  Step2-2:(m,n)型行列Aの(2,2)成分を要として第2行を掃き出す
      それから、(m,n)型行列Aの(2,2)成分を要として第2列も掃き出す。 
      すると、次のかたちが得られる。 
         
      ※具体的には?→詳細  
      ※「掃き出す」とよばれる変形は、基本変形のみの組み合わせであることに注意。
  Step2-3:(m,n)型行列Aから、第1行・第2行第1列・第2列を取り去った残りの(m−2,n−2)型行列が、
      零行列であるか否かをチェック。  
        (i) (m−2,n−2)型行列零行列であるケース     
              
            →Aは標準形に到達。1になっている成分の個数(rankA)=2。 
             確かに、基本変形だけで標準形に到達している。  
        (ii) (m−2,n−2)型行列零行列ではないケース 
            →step3へ進む。   
Step3:         
 : 
 :   
 :    
Step (n-1):  
  Step (n-1)-1:(m,n)型行列Aの( n−1,n−1)成分が0であるならば、  
           
        列基本変形type2を用いた、第(n-1)列第n列との入れ替え   
        行基本変形type2を用いた、第(n-1)行第n行第m行との入れ替え  
        だけによって、      
        Aの( n−1,n−1)成分に、非0を持ってくる。 

  Step(n-1)-2:(m,n)型行列Aの( n−1,n−1)成分を要として第(n-1)行を掃き出す。  
        それから、(m,n)型行列Aの( n−1,n−1)成分を要として第(n-1)列も掃き出す。 
           
      ※具体的には?→詳細 
      ※「掃き出す」とよばれる変形は、基本変形のみの組み合わせであることに注意。

  Step(n-1)-3:(m,n)型行列Aから、
        第1行〜第(n-1)行第1列〜第(n-1)列を取り去った残りの(m−n+1,1)型行列が、  
        零行列であるか否かをチェック。  
        (i) (m−n+1,1)型行列零行列であるケース     
           
            →Aは標準形に到達。1になっている成分の個数(rankA)=n-1。 
             確かに、基本変形だけで標準形に到達している。  
        (ii) (m−n+1,1)型行列零行列ではないケース 
            →stepnへ進む。   
Step n:  
  Step n-1:(m,n)型行列Aの( n,n)成分が0であるならば、
              
       行基本変形type2を用いた、第n行第(n+1)行第m行との入れ替え   
       だけによって、   
       Aの( n,n)成分に、非0を持ってくる。 

  Step n-2:(m,n)型行列Aの( n,n)成分を要として第n列を掃き出す
      ※具体的には?→詳細 
      ※「掃き出す」とよばれる変形は、基本変形のみの組み合わせであることに注意。
      すると、次の標準形に到達する。  
              
      1になっている成分の個数(rankA)=n。 
      確かに、基本変形だけで標準形に到達している。 


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