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基本行列elementary matrixの性質 

  (舞台設定)
K:(例:有理数をすべてあつめた集合Q実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C) 
A:K上の(m,n)型行列 
Qn ( i, j ):K上のn次基本行列type2   
      ・i<j である場合の基本行列Qn ( i, j )の例
          

(本題1) 

 K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
 (m,n)型行列A列基本変形type2を施したことになる。 
※本当?  
    
     
  であるから、 

  AQn ( i, j )    ∵行列積の定義  

 

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(本題2) 

 K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 2:Qn ( i, j )をかけると、
 (m,n)型行列A行基本変形type2を施したことになる。 
※本当?  
    
     

  であるから、 

  Qn ( i, j ) A     ∵行列積の定義    

  

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(本題3) 

 n次基本行列type 2:Qn ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2:Qn ( i, j )。 
※本当? 
 Qn ( i, j )の左からQn ( i, j )をかけてもQn ( i, j )の右からQn ( i, j )をかけても単位行列となることを示す。 

 Qn ( i, j )Qn ( i, j )    ∵行列積の定義   

 

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