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基本行列elementary matrixの性質　

  (舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
Qn ( i, j )：体K上のn次基本行列type2　　　
　　　　　　・i<j　である場合の基本行列Qn ( i, j )の例
　　　　　　　　　　

(本題1)　

　体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 2：Qn ( i, j )をかけると、
　(m,n)型行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
※本当？　　
　　　　
　　　　　
　　であるから、　

　　AQn ( i, j )　　　　∵行列積の定義　　

　
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(本題2)　

　体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 2：Qn ( i, j )をかけると、
　(m,n)型行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
※本当？　　
　　　　
　　　　　

　　であるから、　

　　Qn ( i, j ) A　　　　　∵行列積の定義　　　　

　　
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(本題3)　

　n次基本行列type 2：Qn ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2：Qn ( i, j )。　
※本当？　
　Qn ( i, j )の左からQn ( i, j )をかけても、Qn ( i, j )の右からQn ( i, j )をかけても、単位行列となることを示す。　

　Qn ( i, j )Qn ( i, j )　　　　∵行列積の定義　　　

　
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