R上の区間塊の長さを一般化した集合関数が、有限加法族の上で完全加法的な測度となるための必要十分条件の証明　
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[準備]　　
・舞台設定
　R　　　　　：実数の全体の集合。すなわち、R＝{ x| −∞ < x < ＋∞ }　
　集合系(族)E：　R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族)。
　　　　　　　　　　　　※区間塊Eは、Rの部分集合だから、EはRの部分集合系(族)となっている。
　f (x)　　　　：　R上の実数値関数(つまり、f: R→R)で、R上単調増加関数。以下のΨに組み込まれる。
　Ψ(I) 　　　：　直線の長さの一般化である集合関数Ψ。
　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　(i)　I=(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、　Ψ(I) = f (b)−f (a)　　　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　Ψ (φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　それ以外ならば、Iに含まれる任意の区間J=(a', b']　(ただし−∞< a'< b'<＋∞)に対して、　
　　　　　　　　　　Ψ (I) = sup { Ψ ( J ) }= sup { f (b')−f (a') }
　　　　　　　　　※f (x)= xとしてf (x)を組み込んだΨ(I)が、一般に「左半開区間Iの長さ」と呼ばれるもの。　
・集合関数μの定義　
　Eに属す、すべてのEは、区間塊であるから、　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　の5タイプの区間の有限個の直和として表す（＝互いに素な有限個の上記５タイプの区間へ分割する）
　ことができる。　　
　すなわち、
　Eに属す、すべてのEには常に、
　　　1以上の或る自然数nが存在して、
　　　E= I₁＋…＋I_n　（ただし、I₁,…,I_nは、上記5タイプいずれかの区間）
　と表せる。　　　※自然数nは1以上とわざわざことわったのは、E= I₁というケースも当然ありうるという意味。
　そこで、直線の長さの一般化である集合関数Ψを用いて、　
　　　μ(E)=Ψ(I₁)＋Ψ(I₂)＋…＋Ψ(I_n)
　と、関数μを定義する。　
　このうち特に、f (x)= x　として Ψ (I)= b−aとした際のμ(E)は、きれぎれの直線Eの長さの和となる。
[本題]　
　Rで定義された上記の実数値E-集合関数μが、有限加法族E上の完全加法的測度となるための必要十分条件は、
　Ψ(I)に組み込まれている単調増加関数f (x)がR上右連続であることである。
　すなわち、以下の命題P⇔命題Q。
　　　　　命題P: Rで定義された上記の実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度。
　　　　　命題Q:Ψ(I)に組み込まれている単調増加関数f (x)がR上右連続。　　
※長さは、f (x)= xとしたときのΨ(I), μ(E)だったが、f (x) = xはR上右連続だから、
　　　　R上の区間塊(きれぎれの直線)Eの長さは、有限加法族(R上の区間塊E上)の完全加法的測度となる。

[証明：命題P⇒命題Q]　伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(p.19);
(仮定) 命題P「Rで定義された上記の実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度」　
　　　　　が成り立つと仮定する。
　　　　すなわち、
　　　　　　　　1. すべての項が、R上の有限加法族Eに属す
　　　　　　　　2. すべての項が、互いに素である、
　　　　　　　　3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
　　　　　　を満たす任意の「可算無限個の集合列」E₁,E₂,…をとれば、
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　が、Rで定義された上記の実数値E-集合関数μについて成り立つと仮定する。　　
(設定0)
　　定数　a　：　R上の任意の一点。　
(設定1)　
　　設定0で決めた定数aから、以下の数列をつくる。
　　数列{ λ_n }：λ _n→ a 　(n→∞)　かつ　a＜…＜λ_n＜…＜λ₂＜λ₁
　　　　　　　　　を満たす限りで任意の数列　
(設定2)　
　　設定1で決めた数列{ λ_n }から、以下の左半開区間をつくる。　
　　I₁=(λ₂, λ₁], I₂=(λ₃, λ₂], I₃=(λ₄, λ₃],…, I_n=(λ_n+1, λ_n], …　　　　
　　I =(a, λ₁]　　
Step1:　設定2でつくった左半開区間列の性質の検討
　設定2より、I, I₁, I₂ ,…, I_n ,…はすべて、R上の区間塊のひとつだから、
　　　　I, I₁, I₂ ,…, I_n ,…∈E　　　
　　　　　　　なお、Eは、有限加法族。（∵）　…(1)
　設定2より、　I= I₁+ I₂+…+ I_n+…　つまり、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(2)
　(1)と(2)より、I₁+ I₂+…+ I_n+…= I∈E　　　…(3)
　以上から、
　設定2でつくった左半開区間の列I₁, I₂ ,…, I_n ,…は、
　　　　　　　　1. すべての項が、R上の有限加法族Eに属す　　　　　　　　　　　　　　∵(1)　
　　　　　　　　2. すべての項が、互いに素である、　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵設定2 　
　　　　　　　　3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す　　∵(3)　
　を満たす可算無限個の集合列であるといえる。　…(4)　
Step2:　設定2でつくった左半開区間列と、仮定下での上記実数値E-集合関数μの性質
　設定2でつくった左半開区間の列I₁, I₂ ,…, I_n ,…は、(4)の性質をもつので、
　Rで定義された上記の実数値E-集合関数μについての(仮定)より、
　下記の等式が成立する。
　　　　　　　　　　　　　　…(5)　
Step3:　　等式(5)が意味すること。
　等式(5)の左辺=μ(I) 　　　　∵(2)　　
　　　　　　　=μ(　(a, λ₁]　)　　∵設定2　
　　　　　　　=Ψ((a, λ₁])= f (λ₁)−f (a)　　∵実数値E-集合関数μの定義　
　等式(5)の右辺=μ(I₁)+μ(I₂)+μ(I₃)+…+μ(I_n−1)+μ(I_n)+…
　　　　　　　=μ( (λ₂, λ₁])+μ( (λ₃, λ₂])+μ( (λ₄, λ₃])+…+μ((λ_n, λ_n−1]) +μ((λ_n＋1, λ_n]) +…　∵設定2
　　　　　　　={ f (λ₁)−f (λ₂) }+{ f (λ₂)−f (λ₃) }+{ f (λ₃)−f (λ₄) }+…+{ f (λ_n−1)−f (λ_n) }+{ f (λ_n)−f (λ_n＋1) } +…　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵実数値E-集合関数μの定義　
　　　　　　　= f (λ₁) +{−f (λ₂) + f (λ₂)}+{−f (λ₃) + f (λ₃)}+…
　　　　　　　　
　となっているから、結局等式(5)は、
　　
　を意味していることになる。
　よって、
　　
　すなわち、f (λ_n) →f (a) (n→∞)　　　　
　つまり、f (λ₁), f (λ₂), f (λ₃),…は、f (a)に収束する。　　…(6)
Step4: 　　(6)が意味すること。　
　　設定1より、(6)が意味するのは、
　　λ_n→ a 　(n→∞)　かつ　a＜…＜λ_n＜…＜λ₂＜λ₁
　　を満たす限りで任意の数列{λ_n }={λ₁,λ₂,λ₃,…}に対して、
　　　　　　　　　 (つまり、aに収束し、かつ、全項がaより大なる任意の単調減少列に対して)
　　　f (λ_n) →f (a) (n→∞)　　つまり、f (λ₁), f (λ₂), f (λ₃),…は、f (a)に収束する
　　ということである。　　　　…(7)
　　右連続性の単調減少列の収束への言い換え定理、
　　　ないしは、
　　数列の収束の観点からの狭義単調増加関数の右連続性の十分条件より、
　　(7)は、点aでf (x)が右連続であることを意味している。…(8)　
Step5: 　　(8)が意味すること。　
　　設定0より、(8)が意味するのは、
　　　R上の任意の一点aでf (x)が右連続であること、
　　　　　　　　すなわち、f (x)がR上右連続であること。　　
以上より、命題Pの仮定下で、命題Q「f (x)がR上右連続」が成り立つことを示せた。　

[証明：命題Q⇒命題P]　　　　　　伊藤『ルベーグ積分』I-§4有限加法的測度:定理4.2(pp.19-22)　

(補助定理A)　
　Step1:　下記5タイプいずれかのかたちをする限りで任意の区間を、Iとおく。　　　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　Step2:　μ(I)をとる。　
　　　　　　μ(I)=Ψ(I)だから、　　　　　
　　　　　　　(i)　I=(a, b]　(ただし−∞< a< b<＋∞)ならば、　μ(I)= Ψ (I) = f (b)−f (a)　　　
　　　　　　　(ii)　I=φならば、　μ(I)= Ψ (φ) = 0　　
　　　　　　　(iii)　それ以外ならば、Iに含まれる任意の区間J=(a', b']　(ただし−∞< a'< b'<＋∞)に対して、　
　　　　　　　　　　μ(I)=Ψ (I) = sup { Ψ ( J ) }= sup { b'−a' }　
　Step3:　μ(I)よりも小さい任意のαをとる。　
　　　　※疑問：I=φの場合、μ(I)=0だけど、このケースも考えているのだろうか？　　
　Step4:　以下の条件を満たす有界な左半開区間J=(a, b](ただし−∞< a< b<＋∞)が、すくなくとも一つは存在する。
　　　　条件1：Jの閉包がIに含まれること。
　　　　条件2：μ(J)＞α　
(補助定理B)　
　Step1:　任意のR上の区間塊を、Eとおく。
　Step2:　すぐ上で定めた区間塊Eの長さμ(E)をとる。　
　Step3:　区間塊Eのμ(E)よりも小さい任意のαをとる。　
　　　　※疑問：I=φの場合、μ(I)=0だけど、このケースも考えているのだろうか？　　
　Step4:　以下の条件を満たす有界な区間塊Fが、すくなくとも一つは存在する。
　　　　条件1：Fの閉包がEに含まれること。
　　　　条件2：μ(F)＞α　
(補助定理C)　[志賀『ルベーグ積分30講』第5講(pp.35-7)の論法も参照せよ。]
・下記5タイプいずれかのかたちである限りで任意の区間からなる列を、I₁,I₂,I₃,…とおく。　　　
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
・任意の区間塊を、Eとおく。
・　E⊂I₁∪I₂∪I₃∪…ならば、μ(E)≦μ(I₁)＋μ(I₂)＋μ(I₃)＋…　　　
　　　　　　　　　ならば、　
Step1: {I_n}をちょっと広げた左半開区間列{I^*_n}を定義



　
Step2: {I*_n}をちょっと広げた開区間列{I* ^'_n}を定義



Step3: Iをちょっと縮めてつくった閉矩形I'を定義
　

Step4: 開矩形列{I^*'_k}は閉矩形I'の開被覆



Step5:
I'は閉矩形だから有界閉集合。
よって、ハイネ・ボレルの被覆定理より、I'はR²上のコンパクト集合となって、
I'の任意の開被覆は、有限部分被覆をもつ。
(4-3)より、開矩形列{I^*'_k}もI'の開被覆のひとつだから、有限部分被覆をもつ。
つまり、
　　
　を満たす有限の自然数Nが存在する。…(5-1)　
ゆえに、
　　…(5-2)　


・μ(I₁)=　Ψ(I₁)
　　　=　[ I₁=(a₁, b₁]　(ただし−∞< a< b<＋∞) のケース]　 f (b₁)−f (a₁)　　　　
　　　　　[ I₁=φ　のケース]　　　0　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　
・任意の区間塊を、Eとおく。
Step2:
・　　　　

　E⊂I₁∪I₂∪I₃∪…ならば、μ(E)≦μ(I₁)＋μ(I₂)＋μ(I₃)＋…　　　
　　　　　　　　　ならば、　　
(本題)　
Step1:設定　
　下記を満たす限りで任意のR上の区間塊列を、E₁ , E₂ , E₃ ,…とおく。
　　　　　条件1. すべての項が、互いに素である、
　　　　　条件2. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合（互いに素だから直和とも言える）もR上の区間塊である、
　条件2により区間塊となるE₁＋E₂＋E₃＋…を、Eとおく。　
Step2:　μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　を示す　
・E₁ , E₂ , E₃ ,…の各々は、R上の区間塊と設定したのだから、R上の区間塊の定義より、
　互いに素な有限個の下記5typeいずれかの区間I_njの直和として表される。
　　　　　　type 1: 左半開区間(a, b]={ x | a<x≦b }　(ただし−∞< a< b<＋∞),
　　　　　　type 2: (−∞, b]={ x | x≦b }　(ただし−∞< b<＋∞)、
　　　　　　type 3: (a , ∞)={ x | a<x }　(ただし−∞< a <＋∞)、
　　　　　　type 4: (−∞, ∞)=実数全体の集合R　
　　　　　　type 5: 空集合φ 　
　すなわち、
　ある有限の自然数k₍₁₎が存在して、E₁=I₁₁+ I₁₂+ I₁₃+…+I_{1 k (1)}　
　ある有限の自然数k₍₂₎が存在して、E₂=I₂₁+ I₂₂+ I₂₃+…+I_{2 k (2)}　
　ある有限の自然数k₍₃₎が存在して、E₃=I₃₁+ I₃₂+ I₃₃+…+I_{3 k (3)}　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　　　　　　　　：　
　と表せる。…(2-1)　
・μは有限加法的測度の一例であるから（∵μの性質3を見よ）、
　　　　有限加法的測度の性質であるところの有限加法性を満たす。　
　ゆえに、(2-1)より、　　
　μ(E₁)=μ( I₁₁)+μ( I₁₂)+μ(I₁₃)+…+μ( I_{1 k (1)} )　
　μ(E₂)=μ( I₂₁)+μ( I₂₂)+μ( I₂₃)+…+μ( I_{2 k (2)} )　
　μ(E₃)=μ( I₃₁)+μ( I₃₂)+μ( I₃₃)+…+μ( I_{3 k (3)} )　
　　：　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　：　
　　：　　　　　　　：　
　　　　　　　　　　　　…(2-2)　
・(2-1)より、
　E= E₁＋E₂＋E₃＋…={ I₁₁+ I₁₂+ I₁₃+…+I_{1 k (1)}}＋{ I₂₁+ I₂₂+ I₂₃+…+I_{2 k (2)}}＋{ I₃₁+ I₃₂+ I₃₃+…+I_{3 k (3)}}＋…
　これは、補助定理Cの条件:E⊂I₁₁∪I₁₂∪I₁₃∪…∪I_{1 k (1)} ∪I₂₁∪I₂₂∪I₂₃∪…∪I_{2 k (2)} ∪I₃₁∪I₃₂∪I₃₃∪…∪I_{3 k (3)} ∪…を満たす。　
　したがって、補助定理Cより、
　μ(E)≦μ( I₁₁)+μ( I₁₂)+μ(I₁₃)+…+μ( I_{1 k (1)} )
　　　　　　+μ( I₂₁)+μ( I₂₂)+μ( I₂₃)+…+μ( I_{2 k (2)} )
　　　　　　　　＋μ( I₃₁)+μ( I₃₂)+μ( I₃₃)+…+μ( I_{3 k (3)} )
　　　　　　　　　　＋…　　　　　　　　
　この不等式の右辺は、(2-2)より、μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…と書きかえられるから、
　μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　　
Step3:　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　を示す　
　・E₁＋E₂＋E₃＋…=Eと設定しておいたから、
　　　任意の自然数pに対して、E⊃ E₁＋E₂＋…＋E_p　　　…(3-1)　
　　　(つまり、E=「E₁ , E₂ , E₃ ,…の無限個の直和」だから、Eは「E₁ , E₂ , E₃ ,…の有限個の直和」を内に含む)　　　　
　・μは有限加法的測度の一例であるから（∵μの性質3を見よ）、
　　　　有限加法的測度の性質であるところの単調性・有限加法性を満たす。　　…(3-2)　
　・任意の自然数pに対してE⊃ E₁＋E₂＋…＋E_p　(3-1)と、μの単調性(3-2)より、
　　任意の自然数pに対して、μ(E)≧μ(E₁＋E₂＋…＋E_p)　が成り立つ。　
　　ゆえに、μの有限加法性(3-2)より、
　　任意の自然数pに対して、μ(E)≧μ(E₁＋E₂＋…＋E_p)=≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋…＋μ(E_p)　が成り立つ。　
　つまり、　　　　　　　　　　　　
　　　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋…＋μ(E_p)　　　
　p→∞の極限をとれば、
　　　μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…　　　
　　　　　[と、書いてあるが、p→∞の極限をとっても、有限加法性とか保持されるのかなあ]
Step4: μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となる。
　　　Step2：μ(E)≦μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…、
　　　かつ
　　　Step3：μ(E)≧μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…
　　　だから、μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となる。　
Step5:　μ(E)＝μ(E₁)＋μ(E₂)＋μ(E₃)＋…となることは、
　　　　Rで定義された実数値E-集合関数μが、有限加法族E上の完全加法的測度であることを意味する。　　　
　R上の区間塊として考えられ得るものすべてを集めてきた集合系(族) Eは、有限加法族である(∵)。　　　
　したがって、Step1で設定した任意のR上の区間塊列　E₁ , E₂ , E₃ ,…は、
　　　　　条件1. すべての項が、R上の有限加法族Eに属す
　　　　　条件2. すべての項が、互いに素である、
　　　　　条件3. すべての項の(可算無限個にわたる)和集合unionも有限加法族Eに属す
　を満たす限りで任意の『集合Rの可算無限個の部分集合列』E₁ , E₂ , E₃ ,…であり、
　これに対して、Step4が成り立つ、すなわち　　　　
　　　
　が成り立つから、
　Rで定義された実数値E-集合関数μは、有限加法族E上の完全加法的測度である。
　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
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