矩形上の2重積分　double integral


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V. 閉矩形における重積分の性質


【文献】

　・杉浦『解析入門I』209-210;220-222: n変数関数全般;
　・吹田新保『理工系の微分積分学』191
　・高木『解析概論』p.332
　・小平『解析入門II』321-323
　・Lang, Undergraduate Analysis,471-482.


定理：区間加法性

　　　cf.1変数関数の定積分についての区間加法性　　
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　Kij :　Kを下図のように分割してできたmn個の小閉矩形を
　　　　　　Kij ={ (x ,y ) | xi−1≦x≦xi , yj−1≦y≦yj }=[ xi−1, xi ]×[ yj−1, yj ]　(i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )
　　　　　　　　ただし、x0= a, xm=b, y0= c, yn =d、
　　　で表すとする。
　　　　　
　f (x,y) :　ここでは、関数 f (x,y) として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
1.　 f (x,y) が閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　　 f (x,y) は、すべての小閉矩形Kij (i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )上でもリーマン積分可能となって、
　　　
　　※上式は、以下のように書いても同じ。
　　　　
2. 　 f (x,y) がすべての小閉矩形Kij (i=1,2,…,m,　j=1,2,…,n )上でリーマン積分可能ならば、
　　 f (x,y) は、閉矩形 K上でもリーマン積分可能となって、
　　　
　　※上式は、以下のように書いても同じ。
　　　　
　　[小平『解析入門II』321-323;詳細な証明付。吹田新保『理工系の微分積分学』191:簡単な証明付;
　　　　杉浦『解析入門I』220-222: n変数関数全般・詳細な証明付。;
　　　　高木『解析概論』332:矩形上に限定せず有界集合上の積分全般について。　]
(証明)　小平『解析入門II』321-323;杉浦『解析入門I』220-222.を参照せよ。　

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定理：線形性　

　　cf.1変数関数の定積分についての線形性、
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) , g (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
　h : 定数をh、h1、h2で表す。　　
（本題）
1.　f ( x ,y ) が閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　　h f ( x ,y )も閉矩形 K上リーマン積分可能となって、
　　　
　　※上式は、以下のように書いても同じ。
　　　　
2.　f ( x ,y ) , g (x ,y ) が閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　　f ( x ,y ) ± g (x ,y )も閉矩形 K上リーマン積分可能となって、
　　　
　　※上式は、以下のように書いても同じ。
　　　　
3.　f ( x ,y ) , g (x ,y ) が閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　　h1 f ( x ,y ) ± h2 g (x ,y )も閉矩形 K上リーマン積分可能となって、
　　　
　　※上式は、以下のように書いても同じ。
　　　　
[小平『解析入門II』321-323;吹田新保『理工系の微分積分学』191:証明なし;
　杉浦『解析入門I』209: n変数関数全般・証明付。;
　高木『解析概論』332:矩形上に限定せず有界集合上の積分全般について。]
(証明)　　　

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定理：可積分関数の積　

　　cf.1変数可積分関数の積も可積分
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) , g (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　f ( x ,y ) , g (x ,y ) がそれぞれ閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　その積f ( x ,y ) g (x ,y )も閉矩形 K上リーマン積分可能となる。
 [吹田新保『理工系の微分積分学』191:証明なし;杉浦『解析入門I』221:n変数関数全般・証明付。]
　　　
(証明)　　　


定理：積分の単調性　

　　cf.1変数関数の定積分についての単調性
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) , g (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　f ( x ,y ) , g (x ,y ) が閉矩形 K上リーマン積分可能で、
　閉矩形 Kにおいては常に、f ( x ,y ) ≧ g (x ,y )　が成り立つ　
　ならば、
　　　
　なお、　等号になるのは、f ( x ,y ) = g (x ,y )　である場合のみ。　
　　　
　　[小平『解析入門II』321-323;杉浦『解析入門I』209- 210:n変数関数全般・証明付。
　　　吹田新保『理工系の微分積分学』194;高木『解析概論』332:矩形上に限定せず有界集合上の積分全般。]
　　　　　
(証明)　　

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定理：積分の三角不等式　

　　cf.1変数の定積分についての三角不等式　
（舞台設定）
　K :　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f (x ,y ) :　ここでは、関数f (x ,y )として、Kの上で定義された有界関数のみを考える。
（本題）
　f ( x ,y ) が閉矩形 K上リーマン積分可能ならば、
　　　
　　　
　　[小平『解析入門II』321-323;詳細な証明付。杉浦『解析入門I』220-221: n変数関数全般・詳細な証明付。;
　　　吹田新保『理工系の微分積分学』194;高木『解析概論』332:矩形上に限定せず有界集合上の積分全般。]
　　　　　
(証明)　　　



定理：積分の第一平均値定理　

　　 [高木『解析概論』定理77-4(p.332):矩形上に限定せず有界集合上の積分全般;
　　　　杉浦『解析入門I』定理2.3(p.210): n変数関数全般・詳細な証明付。]
cf.1変数関数の場合
（舞台設定）
　K　　　:　Kは、R2上の閉区間(閉矩形) { (x ,y ) | a≦x≦b, c≦y≦d }=[a,b]×[c,d]を表すとする。
　f(x ,y )　：　ここでは、関数f(x ,y )として、Kで定義されたリーマン積分可能な有界関数のみを考える。
　m、M　：Kでのfの下限をm、上限をMであらわす。
　　　　　　　すなわち、Kにおいてm≦f(x ,y )≦M
（本題）
〇1
　
を満たすλが存在する。　
要するに、
　　　　　　　　
〇2
f(x ,y )がK上連続であるという条件を加えると、
　
を満たす点P( s , t )∈K (つまり、a≦s≦b, c≦t≦dなるs,t)が存在する。　
　
(証明)　杉浦『解析入門I』定理2.3(p.210)を参照せよ。　

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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
高木貞治『解析概論:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章90-92節pp.325-332. .
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、第7章1節(pp.189-196).
小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年、第7章(pp.317-330.)。連続関数に限定
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分』共立出版、2002年、第10章1節(pp.346-352.)。連続関数に限定。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、第3章3.8節I(pp. 106-108):矩形上ではなく、いきなり一般の積分範囲上。
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、pp.205-229:矩形上;pp.254-279:一般の積分範囲。（2重積分についてというよりもむしろ、主にn変数関数全般についてリーマン積分を論じている。）
Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,Mcgraw-Hill,1953-1976.
=ウォ−ルタ−・ルディン『現代解析学』共立出版、1971年、第9章9.28-: n変数関数。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、5章2節(pp.138-146.):。このテキストは、リーマン積分とルベーク積分の間という特殊な立場を進んで行っている気がする。ついていってよいのかどうか。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。
Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。