包含関係・部分集合「￢ A⊃B」「￢ B⊂A」の言い換え　　　


【言い換え1】　「A含まれないB」「B含まれないA」は、「Ac含まれないBc」「Ac∪B≠Ω」「A∩Bc ≠ φ」「A－B ≠ φ」と互いに言い換え可。

【言い換え2】　 「A含まれないB」「B含まれないA」は、「A∪B≠B」「A∩B≠A」と互いに言い換え可。

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「￢A⊂B」「￢B⊃A」の言い換え可能表現　



【文献：証明付】
　・中谷『論理』 5.3-B-(1)(p.125):証明付;5.3-B-練習問題4-1(３)(p.125):証明(p.183)→証明 : A⊃Bについて。
　・彌永『集合と位相I』 問題1.9(1)(pp.22-23): A⊃Bについて。

【文献：証明なし】
　・彌永『数の体系（上）』（p.29）証明なし: A⊃Bについて。
　・黒崎『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(1) (p.26): A⊃Bについて。
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題1.1.6 (p.15): A⊃Bについて。

　・井関『集合と論理』2.2(p.56):証明なし : A⊃Bについて。

・下記表現は、いずれも互いに言い換え可能。

　【表現1】　A含まれないB　ないし　B含まれないA
　　　　　　　「AはBの部分集合でない」　「BはAを含まない」　
　【表現1l】　￢ ∀ω∈A ( ω∈ B )
　　　　　　　　「Aに属す全ての元は、Bに属す」ということはない。
　【表現2】　・Ac含まれないBc　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》を含まない。　
　　　　　　ないし
　　　　　　・Bc含まれないAc　　　《Bの補集合》は《Aの補集合》の部分集合でない。
　　　　　
　【表現3】　Ac∪B ≠ Ω　
　　　　　　　《集合Aの補集合》と《集合B》を併せても、Ω全体にならない。
　【表現4】　A∩Bc ≠ φ　
　　　　　　　《集合A》と《集合Bの補集合》は交わる。
　【表現4-】　A－B ≠  φ 　　

　【表現５】　∃ω∈A (ωの元ではない B )　
　　　　　　　　Bに属さない《Aの元》は存在する。

※　どうして、言い換えていいの？
　
　【ポイント】

　　・「ならば⇒」には、三つの同義表現がある。　[→「ならば⇒」の同義異表現]
　　・「A含まれないB」ないし「B含まれないA」は、「⇒ならば」をつかって、定義された。
　　・「ならば⇒」に三つの同義表現があることを反映して、「⇒ならば」で定義された「A含まれないB」ないし「B含まれないA」についても、三通りの同義表現がつくれることになる。それが、上記諸表現。　

　【詳細】
　






【表現1】　A含まれないB　　AはBの部分集合でない
　ないし　B含まないA　　BはAを含まない　
　　【例】　原子力村含まれない東大　　原子力村は東大の部分集合ではありません。
　　　　　東大含まない原子力村　　東大は原子力村を含まない。　　





  










　　　　【表現1】と【表現1L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「A含まれないB」ないし「B含まないA」の定義に従って。
















【表現1'】　　￢(A⊂B)　　AはBの部分集合でない
　　ないし　￢(B⊃A)　　BはAを含まない　　
　　【例】　￢(原子力村⊂東大)　原子力村は東大の部分集合ではありません。
　　　　　￢(東大⊃原子力村)　東大は原子力村を含まない。















  　　　　　　　【表現1】と【表現1L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　「A⊂B」ないし「B⊃A」の定義に従って。
















【表現1L】　￢ ∀ω∈Ω ( ω∈ A ⇒ ω∈ B )
　　　　　「Ωのすべての元は、Aに属すならば、Bに属す」ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ( ω∈原子力村 ⇒ ω∈東大 )
　　　　　「人は誰しも、原子力村に属すならば、東大に属す」ってことはない。





⇔

【どうして？】





【表現1l】　￢ ∀ω∈A ( ω∈ B )
　　　　　　　　「Aに属す全ての元は、Bに属す」ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈原子力村 ( ω∈東大  )
　　　　　「原子力村に属す全ての人が、東大に属す」ということはない。













　　「∀ω∈A　P(ω)」は、「∀ω（ω∈A⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて








【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　　「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから。　














【表現2L】　￢ ∀ω∈Ω ( ωの元ではない B ⇒ ωの元ではない A )
　　　　　「Ωのすべての元は、Bに属さないならば、Aに属さない」ってことはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ( ωの元ではない 東大 ⇒ ωの元ではない 原子力村 )　
　　　　　「なんぴとも、東大に属さずんば、原子力村に属さず」ってことはない。





⇔


【どうして？】






【表現2S】　￢ { x∈Ω | xの元ではないB }  ⊂ { x∈Ω |  xの元ではないA } 
　　　　　　　「《Bに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は、
　　　　　　　　　　　「《Aに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」の部分集合ではない。
　　【例】　￢ { x∈人類 | xの元ではない東大  }  ⊂ { x∈人類 |  xの元ではない 原子力村 }
　　　　　　　　《東大に属さない人の集合》は、
　　　　　　　　　　　　《原子力村に属さない人の集合》の部分集合ではない。




⇔

【どうして？】






【表現2】　￢ Bc⊂Ac　
　　　　　　　　　《Bの補集合》は《Aの補集合》の部分集合ではない。
　　【例】　￢ 東大c⊂原子力村c　
　　　　　　　　　　《東大の補集合》は《原子力村の補集合》の部分集合ではない。





　補集合の定義　：　Ac ＝ { x∈Ω | x属さないA } 、 Bc ＝ { x∈Ω | x属さないB }　　　　
 ⇔


【どうして？】






【表現2】　 Bc含まれないAc　　　　
　　　　　　《Bの補集合》は《Aの補集合》の部分集合ではない。
　　【例】　 東大c含まれない原子力村c　
　　　　　　《東大の補集合》は《原子力村の補集合》の部分集合ではない。





「A含まれないB」ないし「B含まれないA」の定義から。




【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　「∀a∈Ω(P(a)⇒Q(a))」「{x∈Ω|P(x)}⊂{x∈Ω|Q(x)}」は言換可（∀x (⇒)の集合表現参照）。　














【表現3L】　￢ ∀ω∈Ω ( ωの元ではないA または ω∈B )
　　　　　　「Ωのすべての元は、Aに属さないか、Bに属す」ってことはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 (  ωの元ではない 原子力村 または ω∈ 東大 )
　　　　　　「《原子力村に属さない》《東大に属す》の少なくとも一方に
　　　　　　　人は誰しも該当する」
　　　　　　　ということはない。





⇔

【どうして？】






【表現3S】　￢ （　{ x∈Ω |  xの元ではないA または x∈B }  ＝ Ω　）
　　　　　　「《Aに属さない、または、Bに属す》を満たす《Ωの元》の集合」は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ω全体に等しいということはない。　　
　　　【例】　￢ （　{ x∈人類 |  xの元ではない原子力村 または x∈東大 }  ＝ 人類　）　
　　　　　　《原子力村に属さない》《東大に属す》の少なくとも一方を満たす人を集めても、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人類全体にはならない。





⇔

【どうして？】






【表現3s】　￢ （　 { x∈Ω |  xの元ではないA }　∪　 { x∈Ω |   x∈B } ＝ Ω　）　
　　　　　　　　「Aに属さない《Ωの元》の集合」と「Bに属す《Ωの元》の集合」を併せても、
　　　　　　　　　　Ω全体にならない。

　　【例】　￢ （　{ x∈人類 |  xの元ではない原子力村 }　∪　{ x∈人類 | x∈東大 }  ＝ 人類　）
　　　　　　　　「原子力村に属さない人の集合」と「東大に属す人の集合」を併せても、
　　　　　　　　　　　人類全体にはならない。





⇔


【どうして？】






【表現3'】　￢ （　　Ac ∪B＝ Ω　）　
　　　　　　　　　　《Aの補集合》と集合Bを併せても、Ω全体にならない。
　　【例】　￢ （　 原子力村c 　∪　東大　＝　人類　）　
　　　　　　　　　　　　《原子力村の補集合》と東大を併せても、
　　　　　　　　　　　　人類全体にならない。





補集合の定義より、{ x∈Ω | x属さないB } ＝ Bc　だから。
 ⇔


【どうして？】
≠
の定義






【表現3】　　Ac ∪B ≠ Ω　　
　　　　　　　《Aの補集合》と集合Bを併せても、
　　　　　　　　Ω全体にならない。
　　【例】　 原子力村c 　∪　東大　≠　人類　）　
　　　　　　　《原子力村の補集合》と東大を併せても、
　　　　　　　　　　　　　　　　人類全体にならない。









【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　「∀x∈Ω P(x)」「{x∈Ω|P(x)}＝Ω」は言い換えてよいから。（∀x P(x)の集合表現参照）　　　　　　　
 　 {x|P(x)またはQ(x)}＝{x|P(x)}∪{x|Q(x)} だから（「P(x)またはQ(x)」の真理集合 参照）。 　　　　










【表現4L】　￢ ∀ω∈Ω ￢ ( ω∈A かつ ωの元ではないB )
　　　　　　「Ωのすべての元が、
　　　　　　　《Aに属し かつBに属さない》という行為をしない」
　　　　　　ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ￢ ( ω∈原子力村 かつ ωの元ではない 東大 )　
　　　　　　「人は誰しも、
　　　　　　　《原子力村には属しつつ、東大に属さない》という行為をしない」
　　　　　　ということはない。




⇔

【どうして？】






【表現4S】  ￢ （　{x∈Ω|x∈Aかつxの元ではないB }＝φ )
　　　　　　　「《Aには属すが、Bには属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空集合にならない
　　【例】　￢ （　 { x∈人類 | x ∈原子力村 かつ xの元ではない  東大 } ＝ φ　 )
　　　　　　　《原子力村には属すが、 東大には属さない》人を集ると、空集合にならない。





⇔

【どうして？】






【表現4s】  ￢ （　{ x∈Ω | x ∈A  } ∩ { x∈Ω | xの元ではない B } ＝ φ　 )
　　　　　　「Aに属す《Ωの元》の集合」と「Bに属さない《Ωの元》の集合」は互いに素でない。

　　【例】　￢ （　{ x∈人類 | x ∈原子力村  } ∩ { x∈人類 | xの元ではない東大 } ＝ φ　 )　
　　　　　　「原子力村に属す人の集合」と「東大に属さない人の集合」は互いに素でない。





{x|P(x)かつQ(x)}＝{x|P(x)}∩{x|Q(x)} だから（「P(x)かつQ(x)」の真理集合参照）。
⇔


【どうして？】






【表現4'】 　￢ （　A∩Bc ＝ φ　 )
　　　　　　　　　　　　集合Bと《Aの補集合》は互いに素でない。

　　【例】　￢ （　原子力村 ∩  東大c  ＝ φ　)
　　　　　　　　　　　　原子力村と《東大の補集合》は互いに素でない。





補集合の定義より、{ x∈Ω | x属さないB } ＝ Bc だから。　		 ⇔


【どうして？】
≠
の定義






【表現4】 　A∩Bc  ≠ φ　
　　　　　　　　　集合Aと《Bの補集合》は交わる。
　　【例】　原子力村 ∩  東大c  ≠ φ　　
　　　　　　　　　原子力村と《東大の補集合》は交わる。





⇔

【どうして？】
集合の差
－
の定義
から。






【表現4-】  　A－B ≠  φ 　 )
　
 　　【例】　原子力村－東大 ≠ φ






【表現4L】と【表現5L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　 全体否定の同義2表現だから。　 　「∀x∈Ω ￢P(x)」「{x∈Ω|P(x)}＝φ」は言い換えてよいから。（全体否定の集合表現参照）




　
 　







【表現5L】　　￢￢ ∃ω∈Ω (ω∈Aかつωの元ではない B )
　　　　　　　「Aに属し かつBに属さない」という「Ωの元」は皆無ではない。
　　【例】　　￢￢ ∃ω∈人類 ( ω∈原子力村 かつ ωの元ではない 東大 )　
　　　　　　　《原子力村には属しつつ、東大に属さない》人間は皆無ではない。





⇔
【どうして？】
二重否定






【表現5'】　　∃ω∈Ω (ω∈Aかつωの元ではないB )
　　　　　　　　　　　　　「Aに属し かつBに属さない」という「Ωの元」は存在する。
　　【例】　　∃ω∈人類 ( ω∈原子力村 かつ ωの元ではない 東大 )　
　　　　　　　　　　　《原子力村には属しつつ、東大に属さない》人間はいる。





⇔

【どうして？】






【表現5】　　∃ω∈A (ωの元ではないB )　　Bに属さない「Aの元」は存在する。
　　【例】　　∃ω∈原子力村 ( ωの元ではない東大 )
　　　　　　　　　　原子力村には《東大に属さない者》がいる。





「∃ω∈A　P(ω)」 という記号が、「∃ω（ω∈A　かつ　P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから






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