包含関係・部分集合「￢ A⊃B」「￢ B⊂A」の言い換え　　　


【言い換え1】　 「A含まれないB」「B含まれないA」は、「Ac含まれないBc」「Bc ∪A≠Ω」「B∩Ac ≠ φ」「B－A ≠  φ」と互いに言い換え可。　 　

【言い換え2】　 「A含まれないB」「B含まれないA」は、「A∪B≠A」「A∩B≠B」と互いに言い換え可。

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「￢A⊃B」「￢B⊂A」の言い換え可能表現　



【文献：証明付】
　・中谷『論理』 5.3-B-(1)(p.125):証明付;5.3-B-練習問題4-1(３)(p.125):証明(p.183)→証明 : A⊃Bについて。
　・彌永『集合と位相I』 問題1.9(1)(pp.22-23): A⊃Bについて。

【文献：証明なし】
　・彌永『数の体系（上）』（p.29）証明なし: A⊃Bについて。
　・黒崎『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(1) (p.26): A⊃Bについて。
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題1.1.6 (p.15): A⊃Bについて。

　・井関『集合と論理』2.2(p.56):証明なし : A⊃Bについて。

・下記表現は、いずれも互いに言い換え可能。

　【表現1】　A含まれないB　ないし　B含まれないA　
　　　　　　　「AはBを含まない」　「BはAの部分集合でない」　
　【表現1l】　￢ ∀ω∈B ( ω∈ A )
　　　　　　　　「Bに属す全ての元は、Aに属す」ということはない。
　【表現2】　Ac含まれないBc　　　
　　　　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》の部分集合でない。
　【表現3】　A∪Bc ≠ Ω　
　　　　　　　集合Aと《Bの補集合》を併せても、Ω全体にならない。
　【表現4】　Ac∩B ≠ φ　
　　　　　　　《Aの補集合》と集合Bは交わる。
　【表現4-】　B－A ≠  φ 　　

　【表現５】　∃ω∈B (ωの元ではない A )　
　　　　　　　　Aに属さない《Bの元》は存在する。


　　　

※　どうして、言い換えていいの？
　
　【ポイント】

　　・「ならば⇒」には、三つの同義表現がある。　[→「ならば⇒」の同義異表現]
　　・「A含まれないB」ないし「B含まれないA」は、「⇒ならば」をつかって、定義された。
　　・「ならば⇒」に三つの同義表現があることを反映して、「⇒ならば」で定義された「A含まれないB」ないし「B含まれないA」についても、三通りの同義表現がつくれることになる。それが、上記諸表現。　

　【詳細】
　






【表現1】　A含まれないB　　AはBを含まない
　ないし　B含まれないA　　BはAの部分集合でない　
　　【例】　原子力村含まれない東大　　原子力村は東大を含まない。
　　　　　東大含まれない原子力村　　東大は原子力村の部分集合ではありません。　





  










　　　　【表現1】と【表現1L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「A含まれないB」ないし「B含まれないA」の定義に従って。
















【表現1'】　　￢(A⊃B)　　AはBを含まない
　　ないし　￢(B⊂A)　　BはAの部分集合でない　　
　　【例】　￢(原子力村⊃東大)　原子力村は東大を含まない。
　　　　　￢(東大⊂原子力村)　東大は原子力村の部分集合ではありません」















  　　　　　　　【表現1】と【表現1L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　「A⊃B」ないし「B⊂A」の定義に従って。
















【表現1L】　￢ ∀ω∈Ω ( ω∈ B ⇒ ω∈ A )
　　　　　「Ωのすべての元は、Bに属すならば、Aに属す」ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ( ω∈ 東大 ⇒ ω∈原子力村 )
　　　　　「人は誰しも、東大に属すならば、原子力村に属す」ってことはない。





⇔

【どうして？】





【表現1l】　￢ ∀ω∈B ( ω∈ A )
　　　　　　　　「Bに属す全ての元は、Aに属す」ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈東大 ( ω∈ 原子力村 )
　　　　　「東大に属す全ての人が、原子力村に属す」というわけではないのです。













　　「∀ω∈B　P(ω)」は、「∀ω（ω∈B⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて








【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　　「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから。　














【表現2L】　￢ ∀ω∈Ω ( ωの元ではない A ⇒ ωの元ではない B )
　　　　　「Ωのすべての元は、Aに属さないならば、Bに属さない」ってことはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ( ωの元ではない 原子力村 ⇒ ωの元ではない 東大 )　
　　　　　「なんぴとも、原子力村に属さずんば、東大に属さず」ってことはない。





⇔


【どうして？】






【表現2S】　￢ { x∈Ω | xの元ではない A }  ⊂ { x∈Ω |  xの元ではない B } 
　　　　　　　「《Aに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は、
　　　　　　　　　　　「《Bに属さない》を満たす《Ωの元》の集合」の部分集合ではない。
　　【例】　￢ { x∈人類 | xの元ではない 原子力村 }  ⊂ { x∈人類 |  xの元ではない 東大 }
　　　　　　　　《原子力村に属さない人の集合》は、
　　　　　　　　　　　　《東大に属さない人の集合》の部分集合ではない。




⇔

【どうして？】






【表現2】　￢ Ac⊂Bc　
　　　　　　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》の部分集合ではない。
　　【例】　￢ 原子力村c⊂東大c　
　　　　　　　　　　《原子力村の補集合》は《東大の補集合》の部分集合ではない。





　補集合の定義　：　Ac ＝ { x∈Ω | x属さないA } 、 Bc ＝ { x∈Ω | x属さないB }　　　　
 ⇔


【どうして？】






【表現2】　 Ac含まれないBc　　　　
　　　　　《Aの補集合》は《Bの補集合》の部分集合ではない。
　　【例】　 原子力村c含まれない東大c　
　　　　　《原子力村の補集合》は《東大の補集合》の部分集合ではない。





「A含まれないB」ないし「B含まれないA」の定義から。




【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能  【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　「∀a∈Ω(P(a)⇒Q(a))」「{x∈Ω|P(x)}⊂{x∈Ω|Q(x)}」は言換可（∀x (⇒)の集合表現参照）。　














【表現3L】　￢ ∀ω∈Ω (  ωの元ではない B または ω∈ A )
　　　　　　「Ωのすべての元は、Bに属さないか、Aに属す」ってことはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 (  ωの元ではない 東大 または ω∈ 原子力村 )
　　　　　　「《東大に属さない》《原子力村に属す》の少なくとも一方に
　　　　　　　人は誰しも該当する」
　　　　　　　ということはない。





⇔

【どうして？】






【表現3S】　￢ （　{ x∈Ω |  xの元ではない B または x∈ A }  ＝ Ω　）
　　　　　　「《Bに属さない、または、Aに属す》を満たす《Ωの元》の集合」は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ω全体に等しいということはない。　　
　　　【例】　￢ （　{ x∈人類 |  xの元ではない 東大 または x∈ 原子力村 }  ＝ 人類　）　
　　　　　　《東大に属さない》《原子力村に属す》の少なくとも一方を満たす人を集めても、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人類全体にはならない。





⇔

【どうして？】






【表現3s】　￢ （　 { x∈Ω |  xの元ではない B }　∪　 { x∈Ω |   x∈ A } ＝ Ω　）　
　　　　　　　　　「Bに属さない《Ωの元》の集合」と「Aに属す《Ωの元》の集合」を併せても、
　　　　　　　　　　Ω全体にならない
　　【例】　￢ （　{ x∈人類 |  xの元ではない 東大 }　∪　{ x∈人類 | x∈ 原子力村 }  ＝ 人類　）
　　　　　　　　　「東大に属さない人の集合」と「原子力村に属す人の集合」を併せても、
　　　　　　　　　　　人類全体にはならない。





⇔


【どうして？】






【表現3'】　￢ （　　Bc ∪A＝ Ω　）　
　　　　　　　　《Bの補集合》と集合Aを併せても、Ω全体にならない。
　　【例】　￢ （　 東大c 　∪　原子力村　＝　人類　）　
　　　　　　　　《東大の補集合》と原子力村を併せても、人類全体にならない。





補集合の定義より、{ x∈Ω | x属さないB } ＝ Bc　だから。
 ⇔


【どうして？】
≠
の定義






【表現3】　　Bc ∪A ≠ Ω　　
　　　　　　　《Bの補集合》と集合Aを併せても、
　　　　　　　　Ω全体にならない。
　　【例】　 東大c 　∪　原子力村　≠　人類　）　
　　　　　　　《東大の補集合》と原子力村を併せても、
　　　　　　　　　　　　　　　　人類全体にならない。









【表現1L】と【表現2L】【表現3L】【表現4L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　「ならば⇒」の同義異表現だから。 　　「∀x∈Ω P(x)」「{x∈Ω|P(x)}＝Ω」は言い換えてよいから。（∀x P(x)の集合表現参照）　　　　　　　
 　 {x|P(x)またはQ(x)}＝{x|P(x)}∪{x|Q(x)} だから（「P(x)またはQ(x)」の真理集合 参照）。 　　　　










【表現4L】　￢ ∀ω∈Ω ￢ ( ω∈B かつ ωの元ではない A )
　　　　　　「Ωのすべての元が、
　　　　　　　《Bに属し かつAに属さない》という行為をしない」
　　　　　　ということはない。
　　【例】　￢ ∀ω∈人類 ￢ ( ω∈東大 かつ ωの元ではない 原子力村 )　
　　　　　　「人は誰しも、
　　　　　　　《東大には属しつつ、原子力村に属さない》という行為をしない」
　　　　　　ということはない。




⇔

【どうして？】






【表現4S】  ￢ （　{x∈Ω|x∈Bかつxの元ではないA }＝φ )
　　　　　　　「《Bには属すが、Aには属さない》を満たす《Ωの元》の集合」は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空集合にならない
　　【例】　￢ （　 { x∈人類 | x ∈東大 かつ xの元ではない  原子力村 } ＝ φ　 )
　　　　　　　《東大には属すが、 原子力村には属さない》人を集ると、空集合にならない。





⇔

【どうして？】






【表現4s】  ￢ （　{ x∈Ω | x ∈B  } ∩ { x∈Ω | xの元ではない A } ＝ φ　 )
　　　　　　「Bに属す《Ωの元》の集合」と「Aに属さない《Ωの元》の集合」は互いに素でない。
　　【例】　￢ （　{ x∈人類 | x ∈東大  } ∩ { x∈人類 | xの元ではない  原子力村 } ＝ φ　 )　
　　　　　　「東大に属す人の集合」と「 原子力村に属さない人の集合」は互いに素でない。





{x|P(x)かつQ(x)}＝{x|P(x)}∩{x|Q(x)} だから（「P(x)かつQ(x)」の真理集合参照）。
⇔


【どうして？】






【表現4'】 　￢ （　B∩Ac ＝ φ　 )　　集合Bと《Aの補集合》は互いに素でない。
　　【例】　￢ （　東大 ∩  原子力村c  ＝ φ　)
　　　　　　　　　　　　　東大と《原子力村の補集合》は互いに素でない。





補集合の定義より、{ x∈Ω | x属さないA } ＝ Ac　だから。　		 ⇔


【どうして？】
≠
の定義






【表現4】 　B∩Ac  ≠ φ　
　　　　　　　　集合Bと《Aの補集合》は交わる。
　　【例】　東大 ∩  原子力村c  ≠ φ　　
　　　　　　　　　東大と《原子力村の補集合》は交わる。





⇔

【どうして？】
集合の差
－
の定義
から。






【表現4-】  　B－A ≠  φ 　 )
　
 　　【例】　東大－原子力村 ≠ φ






【表現4L】と【表現5L】は互いに言い換え可能　【どうして？】　 全体否定の同義2表現だから。　 　「∀x∈Ω ￢P(x)」「x∈Ω|P(x)}＝φ」は言い換えてよいから。（全体否定の集合表現参照）




　
 　







【表現5L】　　￢￢ ∃ω∈Ω (ω∈Bかつωの元ではない A )
　　　　　　　「Bに属し かつAに属さない」という「Ωの元」は皆無ではない。
　　【例】　　￢￢ ∃ω∈人類 ( ω∈東大 かつ ωの元ではない 原子力村 )　
　　　　　　　《東大には属しつつ、原子力村に属さない》人間は皆無ではない。





⇔
【どうして？】
二重否定






【表現5'】　　∃ω∈Ω (ω∈Bかつωの元ではない A )
　　　　　　　　　　　　　「Bに属し かつAに属さない」という「Ωの元」は存在する。
　　【例】　　∃ω∈人類 ( ω∈東大 かつ ωの元ではない 原子力村 )　
　　　　　　　　　　　《東大には属しつつ、原子力村に属さない》人間だっているのです。





⇔

【どうして？】






【表現5】　　∃ω∈B (ωの元ではない A )　　Aに属さない「Bの元」は存在する。
　　【例】　　∃ω∈東大 ( ωの元ではない 原子力村 )
　　　　　　　　　　東大にだって《原子力村に属さない者》はいるのです。





「∃ω∈A　P(ω)」 という記号が、「∃ω（ω∈A　かつ　P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから







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