論理から集合へ　：　トピック一覧

	[文献] 　・中谷『論理』 5.2-A(pp.105-6)
	・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.36-8)

　【言葉でざっくり】

　　「『性質・条件Pを満たさない』という性質・条件の真理集合」は、
　　「『性質・条件Pの真理集合』の補集合」に一致。

　【記号で】

　　・Ωを議論領域とする述語・命題関数P(x)について、

　　　　{ x∈Ω | ¬ P(x) } ＝ { x∈Ω | P(x) }^c   　[中谷(5-5)(p.106)]　

　　　　書き下すと、「議論領域Ωにおける『性質・条件Pを満たさない』という性質・条件の真理集合」は、
　　　　　　　　　　　　　　　「『議論領域Ωにおける性質・条件Pの真理集合』の普遍集合Ωにおける補集合」に一致。

　　※このとき、 ¬ P(x) も、Ωを議論領域とする述語・命題関数となる点に注意。　

　　※なぜ？

　　　・便宜上、A＝ { x∈Ω | P(x) }  とおく。
　　　・　 ¬ P(x')　は、　x' A＝{x∈Ω|P(x)} と、互いに言い換えてよいから（∵）、
　　　　　 { x'∈Ω | ¬ P(x') } ＝ { x'∈Ω |  x'A } 　
　　　・　A^cの定義より、 A^c ＝ { x'∈Ω |  x'A } 。　
　　　・上記二点より、{ x'∈Ω | ¬ P(x') } ＝ { x'∈Ω |  x'A }  ＝ A^c 　。

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章-翻訳語としての集合(p.2４);-共通部分と和集合(pp.36-8) 　・中谷『論理』 5章命題関数と集合-5.1真理集合(5-3)(p.101);5.2-A(pp.105-6)

　【設定】

　　P(x) を、Ωを議論領域とする述語・命題関数とする。

　【本題】

　　以下の表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】　 ¬ P(a)　 　　　　　「aはPでない」「aは性質Pをもたない」「aは条件Pを満たさない」

　　　【表現2】　a { x∈Ω | P(x) }　　「aは《性質・条件Pを 満たすものを全部あつめた集合》に属さない」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　「aは《性質・条件Pの 真理集合》に属さない」　

　　　【表現3】　a∈ { x∈Ω | ¬P(x)  }  　「aは『《性質・条件Pを満たさない》の真理集合』に属す」

　　　【表現4】　a∈ {  x∈Ω | P(x)  } ^c 　「aは『性質・条件Pの真理集合の普遍集合Ωにおける補集合』に属す」

　　　※なぜ？　表現1と表現2:　 P(a) と a∈{ x∈Ω | P(x) }　を互いに言い換えていいから(∵)、その対偶も成り立つ。
　　　　　　　　表現1と表現3： Q(a)とa∈ { x | Q(x) }　は互いに言い換えてよい （∵）。
　　　　　　　　　　　　　　　 Q(x)の中身が¬P(x)  であっても、このことは成り立つので、¬P(a)とa∈ { x | ¬P(x) }　は互いに言い換えてよい。
　　　　　　　　表現3と表現4 :¬P(x)の真理集合より、 { x∈Ω | ¬ P(x) } ＝ { x∈Ω | P(x) }^c だから、a∈ { x∈Ω | ¬P(x)  } と a∈ {  x∈Ω | P(x)  } ^c とは互いに言い換えてよい。
　　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-C(p.111)

　・「『性質・条件Pかつ性質・条件Q』の真理集合」は、
　　「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の共通部分」に一致。

　・記号で表すと、

　　{ x | P(x) かつ Q(x) } ＝ { x | P(x) }∩{ x | Q(x) }   　[中谷(5-17)(p.111)]　

　※なぜ？
　
　　　　・便宜上、　A＝{ x | P(x) } 、　B＝{ x | Q(x) }　とおく。

　　　　・ P(x') と x'∈A＝{x|P(x)} とは、互いに言い換えてよく（∵）、　
　　　　　Q(x') と x'∈B＝{x|Q(x)} とは、互いに言い換えてよいから（∵）、　
　　　　　　　{ x' | P(x') かつ Q(x') } ＝ { x' | x'∈A かつ x'∈B }  。

　　　　・∩の定義より、{ x | x∈Aかつx∈B }  ＝ A∩B 。

　　　　・以上から、{ x | P(x) } ∩ { x | Q(x) } ＝ A∩B ＝ { x | x∈Aかつx∈B } ＝ { x | P(x) かつ Q(x) } 　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6)
	・中谷『論理』 5.2-C(p.111)

　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　　　【表現1】

　　　　　aは、性質・条件Pを満たし、かつ、性質・条件Qも満たす。

　　　　　すなわち、

　　　　　P(a) かつ Q(a)　

　　　　　（ただし、P(a)は、命題関数P(x)にaを代入してつくった命題、　Q(a)は、命題関数Q(x)にaを代入してつくった命題）

　　　【表現2】

　　　　　aは 「『性質・条件Pかつ性質・条件Q』の真理集合」に属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 

　　　【表現3】

　　　　　aは 「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の共通部分」に属す。

　　　　　a∈ ( { x | P(x) }　∩ { x | Q(x) } )　　　　　　

　　　【表現4】

　　　　　aは、『性質・条件Pの真理集合』に属し、かつ、『性質・条件Qの真理集合』にも属す。
　　　　　すなわち、
　　　　　　a∈ { x | P(x) }　かつ　a∈ { x | Q(x) }　

　　　※なぜ？

　　　　・表現1と表現2：「P(a) かつ Q(a)」と「a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）

　　　　・表現2と表現3：P(x)かつQ(x)の真理集合より、{ x | P(x) かつ Q(x) } ＝ { x | P(x) } ∩ { x | Q(x) } だから、
　　　　　　　　　　　　　「a∈ { x | P(x) かつ Q(x) } 」 と 「a∈( { x | P(x) } ∩ { x | Q(x) } ) 」とは互いに言い換えてよい。

　　　　・表現１と表現4 : P(a) と a∈ { x | P(x) } 、 Q(a) と a∈ { x | Q(x) }　は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6) 　・中谷『論理』 5.2-B(pp.107-8);D(p.115)

　・「『性質・条件P または 性質・条件Q』の真理集合」は、
　　　「『性質・条件Pの真理集合』と『性質・条件Qの真理集合』の合併」に一致。

　・記号で表すと、

　　 { x | P(x) または Q(x) } ＝ { x | P(x) }∪{ x | Q(x) }　[中谷(5-11)(p.108)]

　※なぜ？　

　　・便宜上、　A＝{ x | P(x) } 、　B＝{ x | Q(x) }　とおく。

　　・ P(x') と x'∈A＝{x|P(x)} とは、互いに言い換えてよく（∵）、　
　　　Q(x') と x'∈B＝{x|Q(x)} とは、互いに言い換えてよいから（∵）、　
　　　　　{ x' | P(x') または Q(x') } ＝ { x' | x'∈A または x'∈B }  。

　　・∪の定義から、
　　　　 { x' | x'∈A または x'∈B } ＝  A∪B 。　　　　　

　　・以上から、　　
　　　　 { x | P(x) または Q(x) } ＝ { x' | x'∈A または x'∈B }  ＝ A∪B ＝ { x | P(x) }∪{ x | Q(x) }　

	[文献] 　・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.2４-6)
	・中谷『論理』 5.2-B(pp.107-8);D(p.115)

　以下の4表現は、同一のことがらを表すので、互いに言い換えてよい。

　【表現1】

　　aは、性質・条件Pを満すか、または、性質・条件Qを満たす。
　　すなわち、
　　　　P(a) または Q(a)　（ただし、P(a)は、命題関数P(x)にaを代入してつくった命題、　Q(a)は、命題関数Q(x)にaを代入してつくった命題）

　【表現2】

　　aは 「『性質・条件Pまたは性質・条件Q』の真理集合」に属す。

　　すなわち、a∈ { x | P(x) または Q(x) } 

　【表現3】

　　aは 「 { x | P(x) } と { x | Q(x) } の合併」に属す。

　　すなわち、a∈ ( { x | P(x) } ∪ { x | Q(x) } )　　　　　　

　【表現4】

　　aは、{ x | P(x) }に属すか、または、集合{ x | Q(x) }に属す。

　　すなわち、
　　　　　　a∈ { x | P(x) }　または　a∈ { x | Q(x) }　　　　　　

　※なぜ？

　　・表現1と表現2：「P(a) または Q(a)」と「a∈ { x | P(x) または Q(x) } 」は互いに言い換えてよい。 （∵）

　　・表現2と表現3：「P(x)またはQ(x)」の真理集合より、 { x | P(x) または Q(x) } ＝  { x | P(x) } ∪ { x | Q(x) } 　だから、
　　　　　　　　　　「a∈ { x | P(x) または Q(x) } 」と「a∈ ( { x | P(x) } ∪ { x | Q(x) } )」とは互いに言い換えてよい。

　　・表現１と表現4：「a∈ { x | P(x) }」と「P(a)」、「a∈ { x | Q(x) }」と「Q(a)」は、互いに言い換えてよい（∵）。　

	[文献] 　・中谷『論理』 5.4A条件文の真理集合(pp.126-7)　 　・本橋『新しい論理序説』3.3(pp.44-56)
	・竹内『集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために』は記述なし。

　【言葉で】

　　議論領域をΩとし、変項xを主語とする述語・命題関数
　　　　「xが性質・条件Pを満たすならば、xは性質・条件Qを満たす」
　　の真理集合は、　　
　　
　　「『普遍集合Ωにおける《性質・条件Pの真理集合》の補集合』と『性質・条件Qの真理集合』との合併」
　　に一致。


　【記号で】
　
　　 {  x∈Ω | P(x) ⇒ Q(x) }　＝　{  x∈Ω | ¬P(x)  または  Q(x) }　＝　{  x∈Ω | ¬P(x) }   ∪ {  x∈Ω | Q(x) } 　＝　{  x∈Ω | P(x) } ^c  ∪ {  x∈Ω | Q(x) } 　
　　

　　※なぜ？→中谷

	[文献] 　・中谷『論理』 5.4A条件文の真理集合(pp.127-8)

　【言葉で】

　　議論領域をΩとし、変項xを主語とする述語・命題関数
　　　　「xが性質・条件Pを満たすならば、xは性質・条件Qを満たす」
　　の真理集合は、　　
　　
　　「《性質・条件Pの真理集合》と《性質・条件Qの真理集合》の共通部分」
　　と
　　「『普遍集合Ωにおける《性質・条件Pの真理集合》の補集合』と『普遍集合Ωにおける《性質・条件Pの真理集合》の補集合』の共通部分」
　　との合併　

　　に一致。


　【記号で】
　
　　 {  x∈Ω | P(x) ⇔ Q(x) }　＝　{  x∈Ω | P(x) ⇒ Q(x) }　∩　{  x∈Ω | Q(x) ⇒ P(x) }
　　　　　　　　　　　　　　＝（ {  x∈Ω | P(x) } ^c ∪ {  x∈Ω | Q(x) } ） ∩ （ {  x∈Ω | Q(x) } ^c ∪ {  x∈Ω | P(x) } ）　 　
　　　　　　　　　　　　　　　＝（ {  x∈Ω | P(x) } ∩ {  x∈Ω | Q(x) } ） ∪ （ {  x∈Ω | P(x) } ^c ∩ {  x∈Ω | Q(x) } ^c ）　 　
　　

　　※なぜ？→中谷