距離空間(R2,d)上の開集合の性質 　：　トピック一覧　　


・開集合どおしの共通部分は開集合　　　
・開集合どおしの合併は開集合　　　　　　　　　　　


【関連】
　・距離空間(R,d)上の開集合の性質/距離空間(Rn,d)上の開集合の性質　　

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定理：開集合どおしの共通部分も開集合　　　　　　　　　　　　　　　

【はじめによむべき説明】

　距離空間(R2,d)上の任意の2つの開集合O1, O2から重複部分O1∩O2をとると、　　　　　
　O1∩O2もまた距離空間(R2,d)上の開集合となる。　　

【きっちりした説明】

　距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系をOとおくと、
　　∀O1, O2∈O (O1∩O2∈O)




【文献】
　・松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.144);6章B(p.237);
　・志賀『位相への30講』第3項(pp.20-22)　
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
　・矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41)
　・小平『解析入門I』§1.6-c p.60.

　※　有限回∩を繰り返してもこれは成り立つが、無限回の繰り返しについては、成り立つこともあれば、成り立たないこともある[志賀『位相への30講』第3項(p.24)]。
　※　活用例：距離空間上の開集合と位相　　

【証明】

　[志賀『位相への30講』第3項(pp.20-23);斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.125);
　　矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41) ; 小平『解析入門I』p.60.]
設定
　O：　　距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系　
　O1, O2：　距離空間(R2,d)上の任意の開集合。つまり、O1,O2∈O　　
(i) O1∩O2=φのケース　
　空集合φは開集合の定義を満たすので(∵)、、O1∩O2=φ∈O　　　
(ii) O1∩O2≠φのケース　
Step1:
　任意のP∈O1∩O2にたいして、
　　　P∈O1　かつ　P∈O2　だから(∵∩の定義)、
　O1に含まれる「Pのε1近傍Uε1(P )」を、少なくとも一つ作れて、
　なおかつ、　
　O2に含まれる「Pのε2近傍Uε2(P )」を、少なくとも一つ作れる。　
　　　　　　 (∵O1,O2は距離空間(R2,d)上の開集合だから、開集合の定義にしたがって。)
　すなわち、　
　　 (∀P∈O1∩O2) ( (∃Uε1 (P) ) ( Uε1 (P)⊂O1 ) かつ (∃Uε2 (P) ) ( Uε2 (P)⊂O2 )) 　
　　
　　　
　　
Step2:　　
　Step1でつくった、
　O1に含まれる「Pのε1近傍Uε1(P )」とO2に含まれる「Pのε2近傍Uε2(P )」のうち、
　小さいほうが、O1∩O2に含まれる。　　
　すなわち、　、
　O1に含まれる「Pのε1近傍Uε1(P )」とO2に含まれる「Pのε2近傍Uε2(P )」との間で、
　ε1,ε2を比べて、小さいほうをεと呼ぶことにすると、
　　　Uε(P)⊂ O1∩O2　　　　　
　が成り立つ。　
　※たしかに、そうなるようだが、いまひとつスッキリしない。
　・O1に含まれる「Pのε1近傍Uε1(P )」、O2に含まれる「Pのε2近傍Uε2(P )」をどうとっても、
　　いずれか一方は、O1∩O2に含まれるという不思議。
　・距離をユークリッド距離に設定すれば、ε近傍Uε (P )はPを中心とした同心円のひとつ。
　　ところが、距離をユークリッド距離以外に設定しなおしていくと、
　　ε近傍Uε (P )は、円とは限らない。そのときも、結果は変わらないのか？　
Step3:　　　　
　Step1-2をまとめると、　　
　　任意のP∈O1∩O2に対し、O1∩O2に含まれるε近傍Uε(P)が少なくとも一つは作れることになる。　
　すなわち、
　(∀P∈O1∩O2) (∃Uε(P) ) ( Uε(P)⊂O1∩O2 )　
　つまり、任意の点P∈O1∩O2は、O1∩O2の内点。　
Step4:　　　　
　Step3より、　
　O1∩O2は、距離空間(R2,d)上の開集合であると言える(∵開集合の定義)。
　すなわち、　　　
　O1∩O2=φ∈O　　
　

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定理：開集合どおしの和集合も開集合　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【はじめによむべき説明】

　距離空間(R2,d)上の任意の開集合の和集合は、距離空間(R2,d)上の開集合となる。
　これは、距離空間(R2,d)上の開集合を無限個とってつくった和集合についても成り立つ。　　　

【きっちりした説明】

　距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系をOとおくと、
　　∀Oλ∈O (λ∈Λ) にたいして、
∪
 Oλ
λ∈Λ

　∈O　

　※このことは、実用的には、
　　　∀O1, O2 , O3 ,…∈O にたいして　　O1∪O2∪O3∪…∈O　
　　が成り立つと押さえておいたので、十分。　　



　【文献】
　　・松坂『集合・位相入門』4章§1D(p.146)
　　・志賀『位相への30講』第3項(pp.20-22)
　　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』第四章§5項目4.5.3(p.126)
　　・矢野『距離空間と位相構造』1.3.2開集合命題4.15(p.41)
　　・小平『解析入門I』§1.6-c (p.59).

　※活用例：距離空間(R2,d)上の開集合と位相　
　
【証明】　
 
設定
　O：　　距離空間(R2,d)上の開集合をすべてあつめた集合系　
　Oλ (λ∈Λ)：　距離空間(R2,d)上の任意の開集合のみからなる集合族。
　　　　　　　　　　∀Oλ∈O (λ∈Λ)
　　　　　　　　なお、添数集合Λも、任意。
　　　　　　　　したがって、
　　　　　　　　距離空間(R2,d)上の任意の開集合のみからなる無限集合列
　　　　　　　　　　∀O1, O2 , O3 ,…∈O
　　　　　　　　を、∀Oλ∈O (λ∈Λ)は、
　　　　　　　　添数集合Λを自然数とした一例として、包摂する。
(i) =φのケース　　※実用的には、O1∪O2∪O3∪…=φのケースと理解すればよい　
　空集合φは開集合の定義を満たすので(∵)、
　　=φ∈O　　　
　　※実用的には、上記の理由から、O1∪O2∪O3∪…=φ∈O　となることを理解できればよい。　　
(ii) ≠φのケース　　※実用的には、O1∪O2∪O3∪…≠φのケースと理解すればよい　
Step1:
任意のP∈にたいして、
　　　P∈Oλ'　　　
を満たす添数集合Λの元λ'が少なくとも一つ存在する。
　　　　(∵集合族の和集合の定義)　　　
　※実用的には、
　　　任意のP∈O1∪O2∪O3∪…にたいして、　
　　　P∈Oλ' となるOλ' が無限集合列{ O1, O2 , O3 ,…}のなかに少なくとも一つ存在する（∵∪の定義）
　　と押さえておいたのでよい。
Step2:
Oλ'は距離空間(R2,d)上の開集合だから、
開集合の定義より、
　　Uε(P)⊂Oλ'　　
を満たすPのε近傍Uε(P)が少なくとも一つ存在する。　　
Step3:
　Oλ'⊂　　
　であるから、Step2で存在が保証されたPのε近傍Uε(P)は、
　Uε(P)⊂Oλ⊂'　　
　を満たす。　
Step4:
以上をまとめると、
　任意のP∈にたいして、
　　　　Uε(P)⊂Oλ⊂'　　
　を満たす、Pのε近傍Uε(P)が少なくとも一つ存在することになる。
　　　　※実用的には、
　　　　　∀P∈O1∪O2∪O3∪…にたいして、　　　
　　　　　　　　Uε(P)⊂Oλ⊂（O1∪O2∪O3∪…）を満たすUε(P)が少なくとも一つ存在する　
　　　　　と理解しておいたのでよい。　
　つまり、　　　　　
　∀P∈ にたいして、
　　　　Uε(P)⊂　　　
　を満たす、Pのε近傍Uε(P)が少なくとも一つ存在する。
　　　　※実用的には、
　　　　　∀P∈O1∪O2∪O3∪…にたいして、　　　
　　　　　　　　Uε(P)⊂（O1∪O2∪O3∪…）を満たすUε(P)が少なくとも一つ存在する　
　　　　　と理解しておいたのでよい。　
　この命題は、
　　
　が開集合であることの定義にほかならない。（∵開集合の定義）　
　　　　※実用的には、上記の命題が、
 　　　　　O1∪O2∪O3∪…が開集合であることの定義と一致する　
　　　　　と理解しておいたのでよい。
　

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Reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目14位相空間、項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 1章距離空間1.3.2開集合(pp.40-41)
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第4章§5項目4.5.3(p.125)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。4章§1D(p.144)問題3(p.151);6章B(p.237);
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第3講(pp.22-23)。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年。 II.位相第2章位相空間§2.1閉包写像と位相空間-§2.3近傍(pp.173-190)
小平邦彦『解析入門I』岩波書店、2003年、p.60.