関数の左極限と数列の収束の関連性についての定理

以下の命題Pと命題Qは互いに言い換え可能（つまりP⇔Q）。
命題P: x0におけるf(x)の左極限はA。
　　　すなわち、f(x)→A (x→x0−0)

　　　あるいは、

　lim　f(x)　＝ A

x→x0−0
　　　　　　　　
命題Q:　・xn→x0 　(n→∞)　　(つまりx0に収束する)
　　　　　　　　　　　　　　　　　※x0は後出の数列 { xn }の第0項という意味ではないので注意
　　　　　　かつ、
　　　　・任意のn∈N についてxn＜x0
　　　　を満たす限りで任意につくった(どんな)数列{ xn }={ x1 , x2, x3,…}に対しても、
　　　　f (xn) →A　(n→∞)　　(つまり数列 { f ( xn ) }={ f ( x1 ) , f ( x2 ), f ( x3 ),…}がAに収束する)
cf. 普通の極限/右極限の場合、これらを包括して。

※利用例：関数の左連続性を数列の収束へ言い換え、コーシーの判定条件(十分性の証明)、 　
※杉浦『解析入門I 』p.53における普通の極限・片側極限を包括した定理を自力でカスタマイズしたものなので
　　要確認。

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→[トピック一覧：1変数関数の収束・極限値]　
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[証明：Ｐ⇒Ｑ]

 
仮定P：　f(x)→A (x→x0−0)　　　　…(1)
　　　　xn→x0（ n→∞ ）　　　　　…(2)
　　　　任意のn∈N についてxn＜x0　…(3)
本論：
(step1)仮定(1)の確認。
左極限の定義に従うと、(1)はすなわち、
任意の正数εに対して、
　　　　　　　「−δ＜ x−x0 ＜0 ならば、| f(x)−A|＜ε　　　」
　　　すなわち「　x∈ ( x0 −δ, x0)ならば、　f(x) ∈ ( A−ε,A＋ε)　」
　　　を成り立たせる、ある正の実数δが存在するということ。…(4)
(step2)仮定(2)(3)の確認。
数列の収束の定義に従うと、(2)はすなわち、
任意の（どんな小さな）正の実数ε’に対して（でも）、
　　　　　　 「　n≧Nならば、　| xn −x0|＜ε’　」
　　すなわち、「　n≧Nならば、　　xn ∈ ( x0−ε’, x0＋ε’)　」
を成り立たたせるある（十分大きな）自然数Nが存在する　
ということだが、ただし(3)より、xn ∈ (f(x)の定義域)∩{ x |x＜x0}　なので、
任意の（どんな小さな）正の実数ε’に対して（でも）、
　　　　　　 「　n≧Nならば、　−ε’＜xn −x0＜0　」
　　すなわち、「　n≧Nならば、　　xn ∈ ( x0−ε’, x0 )　」
を成り立たたせるある（十分大きな）自然数Nが存在する　…(5)
となる。　
(step3)
ε’はどんな正の実数でもいいというので、
ε’として(4)で定まるδをとっても、(5)はそのまま成り立つ。
　　　　すなわち、
　　　　　　　(4)で定まった如何なるδに対してであろうとも、
　　　　　　　「　n≧Nならば、　−δ＜xn −x0＜0　」　　　　　
　　　　　　　を成り立たたせるある（十分大きな）自然数Nが存在する　　…(6)
　　　　ということ。
(step4)
　 (6)で定まった自然数N以上の項についてみると、　　　
　　　　　　　　−δ＜xn −x0＜0　　
　が成り立つ。
　ならば、(4)より、(6)で定まった自然数N以上の項については、
　はじめに決めた任意の正数εに対して　　
　　　　　　　　| f(xn)−A|＜ε　　
　が成り立つといえる。
(step5)仕上げ
　数列の収束の定義から、これを以下の様に表現してよい。
　　f(xn) →A　　（ n→∞ ）　

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[証明：Q⇒P]

仮定Q：・f(xn) →A（ n→∞ ）　　　　　　　　…(1)
　　　　ただし、数列 { xn }は、
　　　　　　　xn→x0（ n→∞ ）　　　　　　　…(2)
　　　　　　　任意のn∈N についてxn＜x0 　…(3)
　　　　　を満たす限りで任意の数列(をどのようにとってもよい)。
結論P：　　f(x)→A (x→x0−0)　　　　　　　　…(4)
（方針）：Q⇒Pを示すのに、その対偶、すなわち「Pが不成立」⇒「Qが不成立」を示す。
　結論P「(4): f(x)→A (x→x0−0)」が成り立たないなら、
　仮定Q「(1): f(xn)→A（ n→∞ ）（{ xn }は、(2)(3)を満たす限りで任意の数列）」も成り立たない、　
　ことを示す。
本論：
(step1) 「Pが成り立たない」「(4)が成り立たない」という仮定の確認。[中内『ろんりの練習帳』118-122。]
「 (4): f (x)→A (x→x0−0)が成り立たない」と仮定する。
この仮定は、左極限の定義を用いて正確にとらえると、
　　任意の（どんな）正の実数ε0に対して（でも）、
　　　　　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
　　　　　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　　」
　　を任意のxについて成り立たせる、ある正の実数δが存在するということ
の否定、すなわち、¬ ( ( ∀ε0 ＞0 ) ( ∃δ＞0 ) ( ∀x ) ( −δ< x−x0＜0 ⇒ | f (x)−A|＜ε0) )　となる。
　＊　＊　＊　
これは、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　　」
　　を任意のxについて成り立たせる、ある正の実数δが、
　　任意の（どんな）正の実数ε0に対して（でも）、存在するとは限らない
ということを意味するので、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )　ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　　」
　　を任意のxについて成り立たせる正の実数δを存在させないような正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する
と書き換えられる。
厳密に言えば、前の論理式を、¬ ( ∀ A(x) x P(x) )と(∃A(x) x) (¬P(x) )が言い換え可能であることを用いて、　　
 ( ∃ε0＞0 ) ¬ ( ( ∃δ＞0 ) ( ∀x ) (−δ< x−x0＜0 ⇒ | f (x)−A|＜ε0 ) )
と書き換えられる、となる。
　＊　＊　＊　
「…を成り立たせる正の実数δを存在させない」というのは、「どんな風に正の実数δをとっても…を成り立たせない」といっても同じことなので、先の命題は、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0, A＋ε0)　　」
　　を任意の(すべての)xについて成り立たせることを、
　　どんな風に正の実数δをとっても成り立たせない正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する」
と書き換えられる。
厳密に言えば、前の論理式を、¬ ( ∃A(x) x P(x) )と(∀A(x) x) (¬P(x) )が言い換え可能であることを用いて、
 ( ∃ε0 ＞0 ) ( ∀δ＞0 ) ¬ ( ( ∀x ) ( −δ< x−x0＜0 ⇒ | f (x)−A|＜ε0 ) )
と書き換えられる、となる。
　＊　＊　＊　
「『…を任意の（すべての）xについて成り立たせること』を成り立たせない」というのは、「…を成り立たせないxが少なくとも一つ存在する」といっても同じことなので、先の命題は、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0, A＋ε0)　　」
　　を成り立たせないxを、どんな風に正の実数δをとろうが、少なくとも一つ存在させる
　　正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する」
と書き換えられる。
厳密に言えば、前の論理式を、¬ ( ∀ A(x) x P(x) )と(∃A(x) x) (¬P(x) )が言い換え可能であることを用いて、
 ( ∃ε0＞0 ) ( ∀δ＞0 ) ( ∃ x ) ¬ ( −δ< x−x0＜0 ⇒ | f (x)−A|＜ε0 )
と書き換えられる、となる。
　＊　＊　＊　
　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0ならば、　| f(x)−A|＜ε0　」
すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )ならば、　f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　　」
を成り立たせない、とは、
　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0なのに　| f(x)−A|＜ε0　でない」
すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )なのに　　f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　でない」
という命題が成立することであるから、
先の命題は、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0なのに、　| f(x)−A|＜ε0　でない」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 ) なのに、　f(x) ∈ ( A−ε0, A＋ε0)　でない」
　　を成り立たせるxを、どんな風に正の実数δをとろうが、少なくとも一つ存在させる
　　正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する
と書き換えられる。
厳密に言えば、前の論理式を、¬(A⇒B)とA∧¬(B)が書き換え可能であることを用いて、
( ∃ε0＞0 ) ( ∀δ＞0 ) ( ∃ x ) ( −δ< x−x0＜0 かつ ¬( | f (x)−A|＜ε0 ) )
と書き換えられる、となる。
　＊　＊　＊　
　「　| f(x)−A|＜ε0　でない」すなわち「f(x) ∈ ( A−ε0,A＋ε0)　でない」は、もちろん、
　「　| f(x)−A|≧ε0　である」すなわち「f(x) ( A−ε0,A＋ε0)　」　のことだから、
先の命題は、
　　　　　　「　−δ＜ x−x0 ＜0なのに、　| f(x)−A|≧ε0　」
　　すなわち「　x∈ ( x0−δ, x0 )なのに、　f(x) ( A−ε0,A＋ε0)　」
　　を成り立たせるxを、どんな風に正の実数δをとろうが、少なくとも一つ存在させる
　　正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する」
と書き換えられる。
厳密に言えば、
 ( ∃ε0＞0 ) ( ∀δ＞0 ) ( ∃ x ) (−δ< x−x0＜0 かつ ( | f (x)−A|≧ε0 ) ) …(5)
　＊　＊　＊　
先の命題は、
　　| f(x)−A|≧ε0　すなわち　f(x) ( A−ε0,A＋ε0)　
　　を成り立たせるx∈( x0−δ, x0 )を、どんな風に正の実数δをとろうが、少なくとも一つ存在させる
　　正の実数ε0が(少なくとは一つは)存在する
と書き換えられる。
厳密に言えば、前の論理式を、( ∃A(x) x ) P(x)と∃x ( A(x) ∧ P(x) )が書き換え可能であることを用いて、　　
 ( ∃ε0＞0 ) ( ∀δ＞0 ) ( ∃ x∈( x0−δ, x0 ) ) (| f (x)−A|≧ε0)
と書き換えられる、となる。
　これは、
　δを調整して( x0−δ, x0 )をどうとっても、
　( A−ε0 , A＋ε0)の範囲からf(x)を飛び出させるx∈( x0−δ, x0 )を少なくとも一つ存在させるε0が存在する
　ことを、意味している。
以上、「P『(4): f (x)→A (x→x0−0)』が成り立たない」という仮定の正確な意味を書き下していった。
(step2) 「Pが成り立たない」「(4)が成り立たない」という仮定のもとで、ある数列が存在する。
「Pが成り立たない」「(4)が成り立たない」という仮定は、(5)で示したように、
ε0をうまく選べば、「−δ< x−x0＜0 かつ | f (x)−A|≧ε0 」を満たすxが、その具体的な値などは不明であるもののとにかく、δをどんな正数にしようとも、確かに存在することを意味していた。
すると、このε0のもとで、「−δ< x−x0＜0 かつ | f (x)−A|≧ε0」を満たすxばかりをあつめて並べた数列というのも、δ>0が何であれ、存在することになる。
δはどんな正数でもよいというのだから、たとえば、δ=1/n(nは1以上の自然数)としても、このことは成り立つ。
つまり、
(5)が存在を保証する一定の正数ε0のもとで、
　　各自然数n≧1に対して、
　　　　「−1/n ＜ xn−x0＜0」すなわち「xn ∈ ( x0−1/n, x0 )」を満たし、…(6)
　　　　　かつ
　　　　「| f(xn)−A|≧ε0」すなわち「f(xn ) ( A−ε0 , A＋ε0)」を満たす　　…(7)
　　ようなxnが存在する。
厳密にいえば、「(4)が成り立たない」という仮定のもとでは、(5)はδ>0を任意として成立するのだから、
　　(5)にδ=1/n(自然数n≧1)を入れて、
　　　　　　　　　　　 ( ∃ε0＞0 ) ( ∃ xn ) ( −1/n < xn−x0＜0かつ ( | f (xn)−A|≧ε0 ) )
　　　　　　すなわち、 ( ∃ε0＞0 ) ( ∃ xn ∈( x0−1/n, x0 ) ) (| f (xn)−A|≧ε0)
　　としても「(4)が成り立たない」という仮定のもとで成り立つことになる。　　
だから、(5)が存在を保証する一定の正数ε0のもとで、(6) (7)を満たすxnを選んできて、
それを、x1, x2,…xn,…というように並べてつくった数列 { xn }というのも存在することになる。
(step3) 「Pが成り立たない」「(4)が成り立たない」という仮定のもとで存在する「ある数列」が「Qが成り立たない」ことを証明する。
(5)が存在を保証する一定の正数ε0のもとで、(6) (7)を満たすx1, x2,…xn,…を並べた数列 { xn }は、
(6)より(2)(3)を満たしている。
しかし、そのfによる像 f (x1), f (x2),…f (xn),…を並べた数列{ f (xn) }は(7)より
　　(1): f (xn)→A（ n→∞ ）
　　すなわち、任意の正の実数εに対して、
　　　　　　　　　　　　 「　n≧Nならば、　| f (xn) −A |＜ε　」
　　　　　　　を成り立たたせるある自然数Nが存在する　(→数列の収束の定義)
を満たさない。
数列{ f (xn) }は、(5)が存在を保証する一定の正数ε0のもとで、| f (xn) −A |≧ε0となるxnをわざわざ選んできて並べた数列であるが、このような数列を存在させるε0が現に存在する以上、
上記の「任意の正の実数εに対して」は言えない。
　＊　＊　＊　
Qは、(2)(3)を満たす全ての数列に対して(1)が成立することを主張する命題であるから、
(2)(3)を満たすのに(1)が成立しないという反例が一つでもあれば、否定される。
(5)が存在を保証する一定の正数ε0と、
そのε0のもとで(6) (7)を満たすx1, x2,…xn,…を並べた数列 { xn }の存在は、そのような反例となる。
　＊　＊　＊　
以上から、Q⇒Pの対偶、すなわち、
　結論P「(4): f(x)→A (x→x0−0)」が成り立たないなら、
　仮定Q「(1): f (xn)→A（ n→∞ ）（{ xn }は、(2)(3)を満たす限りで任意の数列）」も成り立たない、　
が示された。
ゆえに、Q⇒P、すなわち、
　仮定Q「(1): f (xn)→A（ n→∞ ）（{ xn }は、(2)(3)を満たす限りで任意の数列）」が成り立てば、
　結論P「(4): f(x)→A (x→x0−0)」も成り立つ、
が示されたことになる。

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（reference）

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