1変数関数についての定積分の性質　：　トピック一覧

・閉区間上可積ならそれに含まれる任意の閉区間で可積/区間加法性　
・定数の定積分/線形性/可積関数の積の可積性/可積関数の合成関数の可積性/可積関数の逆数の可積性
・積分の単調性/積分に関する三角不等式/積分の第一平均値定理
※1変数関数の定積分関連ページ：定積分の定義←→原始関数/向き付き定積分/積分関数/解析学の基本定理/置換積分・部分積分
※1変数関数の積分関連ページ：非有界関数の広義積分/無限区間の広義積分/スチルチェス積分
※多変数関数の積分関連ページ：矩形上の2変数関数の積分/一般集合上の2変数関数の積分　
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定理：

閉区間I=[a,b]で有界な関数f(x)をそこで積分可能とすると、
閉区間I=[a,b]に含まれる任意の閉区間で積分可能である。
【証明】 杉浦『解析入門』212;吹田新保『理工系の微分積分学』107参照。

定理：区間加法性

　関数f(x)が閉区間[a,b]および[b,c](a<b<c)で積分可能とすると、[a,c]でも積分可能となって，
　
　cf. 向き付き定積分の区間加法性
　【応用例】　不定積分の連続性　
　【文献】　杉浦『解析入門』221:区間をk等分⇔小平『解析入門I』158-9=和達『微分積分』92-3⇔吹田新保『理工系の微分積分学』107:部分から和へ=神谷浦井『経済学のための数学入門』331:連続を仮定・具体的に展開;高木『解析概論』97:証明なし;. 青本『微分と積分1』130.　

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定理：定数の定積分

 
【文献】杉浦『解析入門』209;和達『微分積分』91.　
【証明】
　閉区間I=[a,b]上の分割⊿、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点{ζk }に関するf(x)=cのリーマン和を求める。
　分割⊿の取り方、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点ζkの取り方によらず、常に、
　　　　f (ζk)=c　(k=1,2,…,n)　　　　…①
　ゆえに、リーマン和は、分割⊿の取り方、代表点ζkの取り方によらず、常に
　=Σc⊿xk　　　∵①
　　　　　　　　= cΣ⊿xk　= c ( b - a )　
　分割の幅|⊿|を小さくしてもこれは変わらないので、これが、関数f(x)のI上の定積分となる。

定理：線形性

[小平『解析入門I』158-9; 杉浦『解析入門』209; 高木『解析概論』97;吹田新保『理工系の微分積分学』107; 神谷浦井『経済学のための数学入門』335.]

　閉区間[a,b]で有界な関数 f , g がそこで積分可能なら、　
　任意の定数α、βに対して、
　　
（証明）
step1:
　仮定でf,gは閉区間[a,b]で積分可能とされたので、
　閉区間I=[a,b]上の分割⊿、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点{ζk }に関する
　f,gのリーマン和R[f ;⊿; {ζk }]、R [g ;⊿; {ζk }]は、
　分割の幅|⊿|→0で収束する。つまり、分割の幅|⊿|→0で
　
step2:
　閉区間I=[a,b]上の分割⊿、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点{ζk }に関する
　h(x)=αf(x)+βg(x)のリーマン和を求める。
　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　∵α、βは定数
　　　　　　　=αR[f ;⊿; {ζk }]+βR [g ;⊿; {ζk }]　∵リーマン和の定義　
step3: 分割の幅|⊿|→0としたときの、h(x)=αf(x)+βg(x)のリーマン和を検討する。
　分割の幅|⊿|→0とすると、
 　R[h ;⊿; {ζk }] =αR[f ;⊿; {ζk }]+βR [g ;⊿; {ζk }]　∵step2
　　　　　　　　　　　∵step1
　ゆえに、関数 f , g が閉区間[a,b]で積分可能なら、h(x)=αf(x)+βg(x)もそこで積分可能であり、
　分割の幅|⊿|→0としたときのそのリーマン和の収束先（すなわち定積分）は、　
　　
　となる。
　すなわち、
　
　

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定理：積分可能な関数の積

[高木『解析概論』98.=杉浦『解析入門』221.⇔吹田新保『理工系の微分積分学』107;.]

　閉区間[a,b]で有界な関数 f , gがそこで積分可能なら、積 f g も積分可能。
 
 Cf.広義積分可能な関数の積は広義積分可能であるとは限らない。　

（証明）
[step0]
　f,gは閉区間[a,b]で有界であるから、
　閉区間[a,b]上の任意のxについて、|f(x) |≦C、|g(x) |≦Cを満たす非負の定数Cが存在する。…①
[step1]
　x,yを、閉区間[a,b]上の任意の値とすると、
　| f(x) g(x) －f(y) g(y) |=| f(x) g(x) －f(y) g(x) +f(y) g(x)－f(y) g(y) |
　　　　　　　　　　　　=| ( f(x)－f(y) ) g(x) +f(y) ( g(x)－g(y) ) |
　　　　　　　　　　　≦| ( f(x)－f(y) ) g(x) |+| f(y) ( g(x)－g(y) ) |　∵絶対値の性質
　　　　　　　　　　　　=|g(x) |・| (f(x)－f(y) |+|f(y) |・|g(x)－g(y) |　∵絶対値の性質
　　　　　　　　　　　≦C|f(x)－f(y) |+ C|g(x)－g(y) |　∵①
　　　　　　　　　　　　=C{|f(x)－f(y) |+|g(x)－g(y) |}
　つまり、| f(x) g(x)－f(y) g(y) |≦C{|f(x)－f(y) |+|g(x)－g(y) |}　(∀x,y∈[a,b]) …②
[step2]
　閉区間[a,b]の分割⊿によって生じた各小区間Ik (k=1,2,…,n) における関数fgの振幅をωk( fg, Ik ) 、関数fの振幅をωk( f, Ik )、関数gの振幅をωk( g, Ik )と置く。すなわち、
　　ωk( fg, Ik )≡sup f(x) g(x)－inff(y)g (y) =sup| f(x)g(x)－f(y)g (y) |, x,y∈Ik⊂[a,b]
　　　　ここで、f(x) g(x)がIk におけるsup f(x) g(x)となるときのxをx1、
　　　　　　　　f(y) g (y)がIk におけるinf f(y) g (y) となるときのyをy1とおくと、
　　　　ωk( fg, Ik )=| f(x1)g(x1)－f(y1)g (y1) |…③
　　ωk( f , Ik ) ≡sup f(x)－inff(y)=sup|f(x)－f(y) |, 　 x,y∈Ik⊂[a,b]
　　　　ここで、f(x)がIk におけるsup f(x)となるときのxをx2、
　　　　　　　　f(y)がIk におけるinf f(y) となるときのyをy2とおくと、
　　　　ωk( f, Ik )=| f(x2)－f(y2) |　　　　　…④
　　ωk( g, Ik ) ≡sup g(x)－infg(y)=sup|g(x)－g(y) |, 　 x,y∈Ik⊂[a,b]
　　　　ここで、g(x)がIk におけるsup g(x)となるときのxをx3、
　　　　　　　　g(y)がIk におけるinfg (y) となるときのyをy3とおくと、
　　　　ωk( g, Ik )=| g(x3)－g (y3) |　　　　…⑤
[step3]
　閉区間[a,b]上の任意のx,yについて②が成り立つということは、
　分割⊿によって生じた小区間Ik上の任意のx,yについても②が成り立つ。(∵Ik ⊂[a,b])
　それであれば、③で考えた特定の2点 x1、y1もIk⊂[a,b]に含まれるのだから、
　x1、y1についても②が成り立つ。つまり、
　　ωk( fg, Ik )=| f(x1)g(x1)－f(y1)g (y1) |≦C{|f(x1)－f(y1) |+|g(x1)－g(y1) |}
　この右辺の|f(x1)－f(y1) |、|g(x1)－g(y1) |について、④⑤より、
　　　　|f(x1)－f(y1) |≦ωk( f, Ik )=| f(x2)－f(y2) |、|g(x1)－g(y1) |≦ωk( g, Ik )=| g(x3)－g (y3) |
　となることから、
　　ωk( fg, Ik )=| f(x1)g(x1)－f(y1)g (y1) |≦C{|f(x1)－f(y1) |+|g(x1)－g(y1) |}≦C{ωk( f, Ik )+ωk( g, Ik )}
　要するに、ωk( fg, Ik )≦C{ωk( f, Ik )+ωk( g, Ik )}　…⑥
[step4]　
　　　∵⑥
　　　　　　　　　　　=CΣ{ωk( f, Ik )+ωk( g, Ik )}⊿xk　
　　　　　　　　　　　=CΣ{ωk( f, Ik ) ⊿xk +ωk( g, Ik ) ⊿xk }　
　　　　　　　　　　　=C{Σωk( f, Ik ) ⊿xk +Σωk( g, Ik ) ⊿xk }
　要するに、
　　∵⑦
　f,gが閉区間[a,b]で積分可能なら、リーマンの可積分条件より、
　　
　よって、f,gが閉区間[a,b]で積分可能なら、
　分割の幅|⊿|→0で、⑦の右辺→0、よって⑦の左辺: Σωk( fg, Ik )⊿xk→0。
　これは関数の積fg についてのリーマンの可積分条件に他ならない。

定理：積分可能な関数の逆数

　[杉浦『解析入門』221.;]

　関数 fが閉区間[a,b]で積分可能かつゼロをとらず、1/f が有界なら、　
　1/f は閉区間[a,b]で積分可能。
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定理：積分の単調性

　cf.向きのついた積分の単調性　

[杉浦『解析入門』209-210;吹田新保『理工系の微分積分学』108-9; 小平『解析入門I』158-160; 高木『解析概論』98;和達『微分積分』91.]　

〇1　関数 f  が閉区間[a,b]で積分可能で f (x) ≧0なら、
　　　　
　　　等号が成り立つのは、f が連続なら、つねに、f (x)＝0 である場合だけ。
　　　(つまり、1箇所でも f (x)>0の点があれば、左辺＞0)

　[高木『解析概論』97-98=小平『解析入門I』158-9=吹田新保『理工系の微分積分学』108.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔杉浦『解析入門』209-210:〇2の系とされる]
（前半の証明）
　閉区間I=[a,b]上の分割⊿、それによってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点{ζk }に関する
　fのリーマン和R[f ;⊿; {ζk }]は、どのように分割⊿、{ζk }をとろうが、f(x)≧0ならば、f(ζk)≧0なので、
　R[f ;⊿; {ζk }]≡Σf(ζk)⊿x k ≧0となる。
　分割の幅|⊿|→0でも、R[f ;⊿; {ζk }]≧0だから、fが閉区間[a,b]で積分可能ならば、
　
（後半の証明）f ( x0 ) > 0となる点が[a,b]上に一点でもあれば、∫f(x)>0となることを示す。
[仮定]
　仮定①：fは閉区間[a,b]で積分可能、
　仮定②：[a,b]上の一点x0でfは連続
　　すなわち、任意の正数εに対して、ある正数δをとると、
　　　　　　　| f(x)－f(x0) |＜ε（ | x－x0| ＜ δ ）が成り立つ。
　仮定③：仮定②で指定された一点x0でf ( x0 ) > 0
　仮定④：一点x0を除く[a,b]上でf(x)≧0
[準備]
　仮定②における任意の正数εとして、f ( x0 )/2 > 0(∵仮定③)をとってもよい。
　すると、ある正数δをとると、　| f(x)－f(x0) |＜f ( x0 )/2（ | x－x0| ＜ δ ）
　すなわち、f(x0)－f ( x0 )/2＜f(x)＜f(x0) ＋f ( x0 )/2（ x0－δ＜ x ＜ x0＋δ ）
　すなわち、開区間(x0－δ, x0＋δ)において、f ( x0 )/2＜f(x)＜3f ( x0 )/2
　以上から、
　つねにf(x)＞f ( x0 )/2 ＞0が成立している開区間(x0－δ, x0＋δ)が存在することが明らかとなった。
　次に、この開区間(x0－δ, x0＋δ)に含まれる任意の閉区間[c,d]におけるf(x)の定積分について、考える。
　
　　　　　　　　　∵[c,d]におけるfの下限をmとすると、
　　　　　　　　　　f ( x0 )/2＜m,　m(b-a)≦s[⊿]、s[⊿] ≦R [ f ;⊿;{ζk}]
　　　　　　　＞0　∵仮定③: f ( x0 ) > 0、仮定②:d－c > 0
　　　　　　　　…①
[本題]
　 ∵仮定①より区間加法性適用。
　　　　　　 　∵第1項≧0(∵仮定④)、第3項≧0(∵仮定④)
　　　　　　＞0　　　　　　　∵①

〇2　関数 f , g が閉区間[a,b]で積分可能で f (x) ≦ g (x)　なら、
　　　　
　　　等号が成り立つのは、関数 f , gが連続なら、つねに、f (x)＝g (x)　である場合だけ。　
　応用例:不定積分の連続性、　

[杉浦『解析入門』209-210⇔高木『解析概論』97.=小平『解析入門I』158-9=吹田新保『理工系の微分積分学』108=和達『微分積分』91: 〇1と関数の差の積分から導く.]

（証明1: 杉浦『解析入門』209-210）　　

　閉区間I=[a,b]上の分割⊿によってできた小区間Ik (k=1,2,…,n)の代表点{ζk }に関する
　f(x),g(x)のリーマン和は、　　
　　　
　仮定「f(x)≦g(x)」が満たされるならf(ζk)≦g(ζk)　だから、いかなる分割⊿、{ζk }をとったとしても、
　　　…②
　仮定「f,gが閉区間[a,b]で積分可能」が満たされるなら、　　分割の幅|⊿|→0とすると、
　　
　②より、

（証明2: 高木『解析概論』97.=小平『解析入門I』158-9=吹田新保『理工系の微分積分学』108=和達『微分積分』91.）

　仮定①：f,gが閉区間[a,b]で積分可能、仮定②： f(x)≦g(x)　とする。
　仮定②より、g(x)－f(x)≧0　…①
　積分可能な関数の和差も積分可能であるから（∵）、関数g(x)－f(x)は閉区間[a,b]で積分可能。…②
　①②より、〇1が成立し、
　
　　　等号が成り立つのは、g(x)－f(x)=0である場合だけ。
　よって（∵）、
　
　　　等号が成り立つのは、g(x) = f(x)である場合だけ。
　

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定理：積分に関する三角不等式

　cf.向きのついた積分の三角不等式
[高木『解析概論』97.=杉浦『解析入門』220;小平『解析入門I』158-9;]

fが閉区間[a,b]で(連続でなくとも)積分可能ならば、|f|も積分可能で、　
　　
　応用例:不定積分の連続性、
(証明)
前半：fが閉区間[a,b]で積分可能ならば、|f|も積分可能。
　　積分の三角不等式　　　
　(step1)　任意のx1, x2について、||f(x1) |－|f(x2) ||≦|f(x1)－f(x2) |　…①
　　　　　　　　　　　∵絶対値の性質　(直感的に考えたほうがよいかも)
　(step2)　①から、閉区間I=[a,b]上の分割⊿によって生じた小区間Ik (k=1,2,…,n)のどれをとっても、
　　　　　|f|のIk における振幅はfのIk における振幅以内に収まる。つまり、
　　※sup　
　だから、両者の間に①が成り立ち、ωk (Ik ; |f| )≦ωk ( Ik ; f )。
　よって、すべての小区間Ikにおいて、幅⊿xk( > 0)と振幅との積について、以下が成立。
　　ωk (Ik ; |f| )・⊿xk≦ωk ( Ik ; f ) ・⊿xk　　　　…②
　(step3)②より、⊿xk・ωkを全ての小区間について(k=1からnまで)足し合せた和について以下が成立。
　　　…③
　(step4)　仮定「fが閉区間[a,b]で積分可能」が満たされるならば、
　　　　　分割の幅|⊿|→0で、③の右辺→0。∵リーマンの可積条件　
　　　　　よって、このとき、③の左辺→0となり、
　　　　　|f|も閉区間[a,b]で積分可能　∵リーマンの可積条件
　注意：逆に、「閉区間[a,b]において、|f|が積分可能なら、fも積分可能」とは言えない。
後半：
　絶対値の性質「|x|≧x」より、| f(x)|≧f(x)。ゆえに、積分の単調性より、
　　　　　　　…①
　絶対値の性質「|x|≧－x」より、| f(x)|≧－f(x) 。ゆえに、積分の単調性より、
　　　　　　∵線形性
　　両辺に－1をかけて、－∫| f(x)|dx ≦∫f(x) dx　　…②
　①②をまとめて書くと、－∫| f(x)|dx ≦∫f(x) dx≦∫| f(x)|dx
　ゆえに、上の式の真中の項に絶対値をかけると、|∫f(x)dx|≦∫| f(x)|dx　(証明終わり)
　
　　[吹田新保『理工系の微分積分学』108]

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定理：積分の第1平均値定理 first mean value theorem

[吹田新保『理工系の微分積分学』108; 小平『解析入門I』160;杉浦『解析入門』209; 高橋『経済学とファイナンスのための数学』85; 和達『微分積分』91-2.]　

　cf.(微分の)平均値定理、2変数関数の積分の第1平均値定理、　

　応用例：不定積分の微分，微分積分学の基本定理、

〇1.　f(x)が閉区間[a,b]で積分可能で　m≦f(x)≦M　なら、
　　　
　　を満たすλが存在する。
　　要するに、
　　　　
〇2.　f(x)が閉区間[a,b]で連続なら、（このとき必ず積分可能である）
　　　
　　を満たすζが存在する。
※この左辺を、関数f(x)の閉区間[a,b]における平均値mean valueと呼ぶ。[小平『解析入門I』160;]

（証明：〇1）

　
　　なぜなら、m ( b－a )≦s[⊿]≦R [ f ;⊿;{ζk}]≦S[⊿]≦M( b－a )　(∵∵)
　　　　あるいは、ｍ≦f(x)≦Mから∫mdx≦∫f(x) dx≦∫Mdxとして(∵積分の単調性)
　両辺を(b-a)(>0)で割って、
　…①
　λ＝不等式①の真中の辺とおいて、証明終わり。

（証明：〇2）

　f(x)が閉区間[a,b]で連続なので、最大値最小値定理より、f(x)には[a,b]における最大値・最小値が必ず存在する。この最大値をf(β)=M、最小値をf(α)=mとおく。M=mの場合は、命題は明らかに成立。以下では、m＜Mの場合を検討する。すなわち、m≦f(x) ≦M。…②
　②より、〇1.が成り立つ。
 　f(x)が閉区間[a,b]で連続なので、α<βなら[α,β] (⊂[a,b])、β<αなら[β,α] (⊂[a,b])においても、中間値の定理が成立し、f(x)は、f(α)=mとf(β)=Mの間の任意の実数cを値に取る。
　すなわち、、ｍ＜c＜Mを満たす任意のcに対し、f (ζ)=cとなるζが、α<βなら(α,β)、β<αなら(β,α)に少なくとも一つ存在する。　　
　〇1.の
　
　は、m＜λ＜Mを満たすので、λをcの一つとして扱ってよい。
　すなわち、f (ζ)=λとなるζが、
　　　　　α<βなら(α,β)⊂[a,b]、
　　　　　β<αなら(β,α)⊂[a,b]に少なくとも一つ存在する。
すなわち、
　　　
　　を満たすζが存在する。
　
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（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、204項積分論(pp.530-533)→ルベーク積分。
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.106-109.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.80-82.
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年 pp.158-161。あらかじめ閉区間上の連続関数に限定して議論を進めている。
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.209-211: n次元一般での定義;229-247:1変数関数の積分に特殊な性質（原始関数、…）。
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 97-100.
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』岩波書店、1995年、126-130.軽く説明。
高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.1-11: ルベーク積分の前段階として単関数を用いて定義；pp.115-117。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、p.115.
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.91-93.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp. 335-336.