一般の有界集合上の2重積分
double integral
V
. 有界集合上の重積分の性質
前ページ:
定義
/
可積分条件
/
可積分条件
(続)
次ページ:性質
2
/
累次積分
/
一般リーマン和
→
総目次
【文献】
・杉浦『
解析入門
I』IV章§9(
pp
.257-259.)
・吹田新保『
理工系の微分積分学
』194
定理:線形性
【文献】
・杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.)証明付
・吹田新保『
理工系の微分積分学
』194:証明ナシ
(舞台設定)
A : Aは、
R
2
上の
有界な
点集合
を表すとする。
f (x ,y ) , g (x ,y ) : ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Aの上で定義された
有界
関数のみを考える。
h : 定数を
h
、
h
1
、
h
2
で表す。
(本題)
1. f ( x ,y ) が
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
ならば
、
h f ( x ,y )も
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
となって、
2. f ( x ,y ) , g (x ,y ) が
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
ならば
、
f ( x ,y ) ± g (x ,y )も
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
となって、
3. f ( x ,y ) , g (x ,y ) が
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
ならば
、
h
1
f
(
x ,y
)
±
h
2
g
(
x ,y
)
も
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
となって、
(1.証明) [杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257
.
)]
設定:Aを含む
閉矩形
Kをひとつとる。つまり、
閉矩形
K
⊃
A.
仮定:f (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定1
本題: 仮定1 を
定義
にしたがって、書き下すと、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定1'
仮定1'と
閉矩形上の重積分の線形性
より、
hf
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
も
閉矩形K上可積分
。
これを、一般有界集合上の重積分
定義
を用いて言いなおすと、
hf (x ,y )は、A上
リーマン積分可能
となる。
∵一般有界集合上の重積分
定義
にしたがって閉矩形上の重積分に帰着。
∵
閉矩形上の重積分の線形性
∵一般有界集合上の重積分
定義
。
(2.証明) [杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257
.
)]
設定:Aを含む
閉矩形
Kをひとつとる。つまり、
閉矩形
K
⊃
A.
仮定:f (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定1
g (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定2
(step1) 仮定1、仮定2を
定義
にしたがって、書き下すと、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形
K
上可積分
…仮定
1'
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定2'
仮定1'、仮定2'と
閉矩形上の重積分の線形性
より、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
±
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
も
閉矩形
K
上可積分
。
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
±
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
) = {
f
(
x ,y
)
±
g
(
x ,y
) }
χ
A
(
x ,y
)
だから、
{
f
(
x ,y
)
±
g
(
x ,y
) }
χ
A
(
x ,y
)
は、
閉矩形K上可積分
となり、
これを、一般有界集合上の重積分
定義
を用いて言いなおすと、
f (x ,y )±g (x ,y )は、A上
リーマン積分可能
となる。
(step2)
∵一般有界集合上の重積分
定義
にしたがって閉矩形上の重積分に帰着。
∵
閉矩形上の重積分の線形性
∵一般有界集合上の重積分
定義
。
定理:可積分関数の積
[杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.)証明付;吹田新保『
理工系の微分積分学
』194:証明ナシ]
(舞台設定)
A : Aは、
R
2上の
有界な
点集合
を表すとする。
f (x ,y ) , g (x ,y ) : ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Aの上で定義された
有界
関数のみを考える。
(本題)
f ( x ,y ) , g (x ,y ) がそれぞれ
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
ならば
、
その積 f ( x ,y ) g (x ,y )も
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
となる。
(証明) [杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257
.
)]
設定:Aを含む
閉矩形
Kをひとつとる。つまり、
閉矩形
K
⊃
A.
仮定:f (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定1
g (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定2
本題: 仮定1、仮定2を
定義
にしたがって、書き下すと、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定1'
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定2'
仮定1'、仮定2'と
閉矩形上可積分な関数の積も閉矩形上可積分
だから、
{
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
) }{
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)}
も
閉矩形K上可積分
。
{
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
) }{
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)} =
f
(
x ,y
)
g
(
x ,y
)
χ
A
2
(
x ,y
) =
f
(
x ,y
)
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
だから、
f
(
x ,y
)
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
は、
閉矩形K上可積分
となり、
これを、一般有界集合上の重積分
定義
を用いて言いなおすと、
f (x ,y )g (x ,y )は、A上
リーマン積分可能
となる。
→[
トピック一覧:有界集合上の二重積分
]
→
総目次
定理:積分の単調性
[杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.);吹田新保『
理工系の微分積分学
』194:証明ナシ]
(舞台設定)
A : Aは、
R
2
上の
有界な
点集合
を表すとする。
f (x ,y ) , g (x ,y ) : ここでは、関数f (x ,y ) , g (x ,y )として、Aの上で定義された
有界
関数のみを考える。
(本題)
f ( x ,y ) , g (x ,y ) がそれぞれ
有界な
点集合
A上
リーマン積分可能
で、
有界な
点集合
Aにおいては常に、f ( x ,y ) ≧ g (x ,y ) が成り立つ
ならば
、
なお、 等号になるのは、f ( x ,y ) = g (x ,y ) である場合のみ。
(証明)
設定:Aを含む
閉矩形
Kをひとつとる。つまり、
閉矩形
K
⊃
A.
仮定:f (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定1
g (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定2
Aにおいては常に、f ( x ,y ) ≧ g (x ,y ) …仮定3
本題: 仮定1、仮定2を
定義
にしたがって、書き下すと、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定1'
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定2'
仮定1'、仮定2'、仮定3から、
閉矩形
K上、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
≧
g
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
…仮定3'
仮定1'、仮定2'、仮定3'と
閉矩形上の積分の単調性
から、
これを、一般有界集合上の重積分
定義
を用いて言いなおすと、
→[
トピック一覧:有界集合上の二重積分
]
→
総目次
定理:積分の三角不等式
[杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.)証明付;吹田新保『
理工系の微分積分学
』194:証明ナシ]
(舞台設定)
A : Aは、
R
2
上の
有界な
点集合
を表すとする。
f (x ,y ) : ここでは、関数f (x ,y )として、Aの上で定義された
有界
関数のみを考える。
(本題)
f ( x ,y ) がA上
リーマン積分可能
ならば
、
(証明) [杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257
.
)]
設定:Aを含む
閉矩形
Kをひとつとる。つまり、
閉矩形
K
⊃
A.
仮定:f (x ,y )がA上
リーマン積分可能
…仮定1
本題: 仮定1を
定義
にしたがって、書き下すと、
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
が
閉矩形K上可積分
…仮定1'
仮定1'と
閉矩形上の積分の三角不等式
から、
一般有界集合上の重積分
定義
を用いて左辺を言いなおすと、
ここで、
|
f
(
x ,y
)
χ
A
(
x ,y
)
|
=
|
f
(
x ,y
)
|
・
|
χ
A
(
x ,y
)
|
=
|
f
(
x ,y
)
|
χ
A
(
x ,y
)
(
∵
)を用いて右辺を書きかえると、
一般有界集合上の重積分
定義
を用いて右辺を言いなおすと、
→[
トピック一覧:有界集合上の二重積分
]
→
総目次
定理:積分の第一平均値定理
[杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.)証明付;高橋『
経済学とファイナンスのための数学
』定理3.8.1(p. 108)。]
(舞台設定)
A : Aは、
R
2
上の
有界な
点集合
を表すとする。
f(x ,y ) : ここでは、関数f(x ,y )として、Aで定義された
リーマン積分可能
な
有界
関数のみを考える。
m、M :Aでのfの
下限
をm、
上限
をMであらわす。
すなわち、Aにおいてm≦f(x ,y )≦M
(本題)
〇1
Aが
面積確定
ならば
、
を満たすλが存在する。
要するに、
〇2
f(x ,y )がA上連続であるという条件を加えると、
を満たす点P( s , t )
∈
Kが存在する。
(証明) [杉浦『
解析入門
I』IV章8節定理8.3(p.257.)]
(reference)
日本数学会編集『
岩波数学辞典(第三版)
』 岩波書店、1985年、202項積分法(pp.520-525)→リーマン積分、
杉浦光夫『
解析入門
I』東京大学出版会、1980年、pp.257-259.(n変数関数全般について)
吹田・新保『
理工系の微分積分学
』学術図書出版社、1987年、第7章3節(p. 194).
高木貞治『
解析概論
:改訂第3版』岩波書店、1983年、第8章92節p. 332.
高橋一『
経済学とファイナンスのための数学
』新世社、1999年、第3章3.8節I(p. 108)。
黒田成俊『21世紀の数学1:
微分積分
』共立出版、2002年、第10章2節(p. 354.)。「このように定義された積分について線形性等の性質が成り立つのも今までと同様である」の一分だけで片付けている。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:
微分積分
』岩波書店、1988年、pp.138-9. アイデアだけ。厳密な議論なし。
小形正男『理工系数学のキーポイント7:
多変数の微分積分
』岩波書店、1996、87-89. アイデアだけ。厳密な議論なし。