矩形上の2重積分　double integral

V-3. 面積ゼロ,negligible,零集合
 
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V-3. 面積ゼロ,negligible,零集合

定義：negligible set

　 [Lang, Undergraduate Analysis, pp.473-474.;杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.1.b(pp.262-263.)]

・　R2上の点集合Aが negligble であるとは、

　集合Aを被覆する有限個の閉矩形列R1, R2,…, Rm のなかに、
　面積の合計を、どこまでも小さくできるものが存在することをいう。

・　すなわち、

　R2上の点集合Aが negligble であるとは、

　任意の正数εにたいして、
　　　A⊂ R1∪ R2∪…∪Rm　
　　　R1の面積＋R2の面積＋…＋Rmの面積＜ε　　
　の両方を満たす閉矩形列R1, R2,…,Rmが存在すること。


定理：面積ゼロの集合とnegligible setは同値　[杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.1(pp.262-263.)]

　R2上の点集合Aが面積ゼロであること
　　　すなわち、点集合Aを含む閉矩形Kにおいて、　∬KχAdxdy=0　
　と
　R2上の点集合Aがnegligible であることは

　同値。
　
(証明)　杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.1(pp.262-263.)

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定義：零集合　(ルベーグ外測度ゼロの集合)

　[杉浦『解析入門I』IV章§9定義1 (p.263.); 志賀『ルベーグ積分30講』p.18(R1上のみ)。]

　・R2上の点集合Aが零集合であるとは、
　　集合Aを被覆する可算無限個の閉矩形列 R1, R2, R3 ,  … に、
　　それらの面積の合計を、どこまでも小さくできるものが存在することをいう。

　・すなわち、
　　R2上の点集合Aが零集合であるとは、
　　任意の正数εにたいして、
　　　　A⊂ R1∪R2∪R3∪…　
　　　　R1の面積＋R2の面積＋R3の面積＋…＜ε　　
　　の両方を満たす閉矩形列 R1, R2, R3 ,  … が存在すること。
　
定理：零集合の和集合も零集合　

　[杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.2.3(pp.262-263.)]


定理：零集合の部分集合も零集合

　　　[杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.2.6(pp.262-263.)]


定理：negligibleならば、零集合

　　　　　　[杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.2.3(pp.262-263.)]

　R2上の点集合Aがnegligble　[ ⇔　点集合Aの面積がゼロ(∵)　]
　ならば、
　点集合Aは零集合。　
　　

定理：有界閉かつ零集合ならば、negligible　　　

　　　　　　 [杉浦『解析入門I』IV章§9 命題9.2.4(pp.262-263.)]

　R2 上の点集合Aが有界閉集合(⇔コンパクト)、かつ、零集合
　ならば、

　点集合Aはnegligble　[ ⇔　点集合Aの面積がゼロ(∵)　]　

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( reference )

・杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1980年、IV章§9(pp.261-264; 268-269.)
・志賀浩二『ルベーグ積分30講』朝倉書店、1990年、第３講直線上の完全加法性の様相(p.18)。
・Lang,Serge.Undergraduate Analysis(Undergraduate Texts in Mathematics),Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo,1983,Chapter 19. Multiple Integrals. (pp.468-482.)。