体上の行列の定義　：　トピック一覧

定義：体上の行列[行･列･成分･型･記号]
定義：同じ型の行列･行列の型の一致/等号　
定義：正方行列/矩形行列/零行列/行列単位　
定義：転置行列/対称行列/交代行列

【体上の行列関連ページ】
　・正方行列に関する様々な定義　
　・行列の和･スカラー倍の定義　
　・行列積の定義/行列の積の性質　
　・逆行列･正則行列･特異行列の定義　
　・転置行列の性質/行列の代数系　
　・行列の階数　

【体として実数体を指定した具体例】
　・実行列の定義　
　

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定義：体上の行列matrix　　

【舞台設定】
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
a_ij：体Kの元　

【本題】　
・体 K上の行列とは、「体Kの元」a_ij を、縦・横に並べて、長方形に配列したもの。
　次のように、大型の丸括弧・亀甲括弧・鍵括弧などで括って表すのが普通。
　


a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
：	：		：
a_m1	a_m2	…	a_mn


a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
：	：		：
a_m1	a_m2	…	a_mn


a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
：	：		：
a_m1	a_m2	…	a_mn

・行rowとは、行列の横の並びを指す。


第１行→	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
第２行→	a₂₁	a₂₂	…	a_2n
	：	：
第i行→	a_i1	a_i2		a_in
	：	：		：
第m行→	a_m1	a_m2	…	a_mn

　
・列columnとは、行列の縦の並びを指す。
　上記の例では、
　第1列とは、


	a₁₁
	a₂₁
	：
	a_m1

　第2列とは、


	a₁₂
	a₂₂
	：
	a_m2

　　　　　　
　第n列とは、


	a_1n
	a_2n
	：
	a_mn

　のこと。
　
・行列の(i, j)成分 element,entry,component とは、
　行列の第i行第j列におかれた「体Kの元」a_ij のことを指す。
　　上記の例では、
　　　(1,1)成分とは、行列の第1行第1列におかれた「体Kの元」a₁₁ のこと、　　　
　　　(1,2)成分とは、行列の第1行第2列におかれた「体Kの元」a₁₂ のこと、
　　　　：　
　　　(m,n)成分とは、行列の第m行第n列におかれた「体Kの元」a_mn のこと、
　　となる。　

・m×n行列m×n matrix・m行n列行列・(m,n)行列・(m,n)型行列matrix of (m,n)-type とは、
　mn個の「体Kの元」を、m行n列に並べた行列のことをいう。　　

　たとえば、


		a₁₁	a₁₂
		a₂₁	a₂₂

　は、2×2行列ないし(2,2)型行列、


		a₁₁	a₁₂
		a₂₁	a₂₂
		a₃₁	a₃₁

　は、2×3行列ないし(2,3)型行列。
　また、
　n次元横ベクトルは、1×n行列ないし(1,n)型行列。
　n次元縦ベクトルは、n×1行列ないし(n,1)型行列。　　

【記号】　

・行列を書くたびに、成分をすべて書き出すのは、余りにわずらわしいので、
　はじめに、　


	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n
	：	：		：
	a_m1	a_m2	…	a_mn

　などと定義したうえで、あとは、この英大文字で表すのが普通。

・行列Aの(i,j)成分を、A_ijと表す。

・行列Aの(i,j)成分をa_ijと一般的に表せることを、A=(a_ij)と略記する。　　

【例】　
　・単位行列I=(δ_ij)　　
　・m×n行列A=(a_ij), B=(b_ij)にたいして、A＋B=(a_ij＋b_ij)　
　・k∈K, A=(a_ij)にたいして、kA =(ka_ij)　　

【具体例】
　・体 Kとして実数体を指定した際の「体 K上の行列」→実行列　　　

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列A(pp.219-220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.23)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1-1〇(p.31)
　・藤原『線形代数』2.1(p.21)]

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定義：同じ型の行列、行列の型の一致　　

・「行列Aの型と行列Bの型が一致する」、「行列Aと行列Bは同じ型の行列である」とは、
　行列Aも行列Bも、両方とも、(m,n)型行列であること、

　すなわち、　
　　行列Aの行数と、行列Bの行数とが、一致し、
　　なおかつ、
　　行列Aの列数と、行列Bの列数とが、一致すること
　をいう。

【文献】
　『岩波数学辞典』83行列(p.220)
　『高等学校代数幾何』(p.77)

【体として実数体を指定した具体例】
　・実行列の型の一致　

定義：行列のあいだの等号　

・「行列Aと行列Bが等しい」「行列A=行列B」とは、
　　AとBの型が一致し、かつ、Aの成分とBの成分がすべて一致することをいう。　

・つまり、A=Bとは、

　Aの行数もBの行数もともにm、Aの列数もBの列数もともにnで一致して、


	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n
	：	：		：
	a_m1	a_m2	…	a_mn


	b₁₁	b₁₂	…	b_1n
B=	b₂₁	b₂₂	…	b_2n
	：	：		：
	b_m1	b_m2	…	b_mn

　　　　　　　　　　　
　と、表せて、

　なおかつ　　

　　　i=1,2,…,m、　j=1,2,…n に対して、a_ij=b_ij　

　であることを指す。

【体として実数体を指定した具体例】
　・実行列のあいだの等号　

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列(pp.219-220)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.31)
　・藤原『線形代数』2.1(p.22)]

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定義： n次正方行列square matrix

【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　a_ij：体Kの元　　

【簡潔な定義】

　n次正方行列square matrixとは、(n,n)型行列のこと。　　

【具体的な定義】

　体 K上のn次正方行列とは、
　　n²個の「体Kの元」 a_ij を、次のように、n行 n列に並べた行列のこと。


a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
：	：		：
a_n1	a_n2	…	a_nn

　　
　たとえば、


		a₁₁	a₁₂
		a₂₁	a₂₂

　　　
　は、2次正方行列である。

【関連事項】

　・正方行列についての属性：対角成分、対角和･トレース　　　　
　・正方行列の下位類型：対角行列、スカラー行列、単位行列　　
　・正方行列の代数系：n次全行列環　　

【体として実数体を指定した具体例】
　・実行列の正方行列　　

【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.23)
　・斎藤『線形代数入門』2章§2(p.40)
　・藤原『線形代数』2.1(p.21)

定義：矩形行列rectangular matrix　　

・正方行列にたいして、正方行列でない行列を、矩形行列rectangular matrixと呼ぶこともある。　
　[『岩波数学辞典』83行列(p.220);]

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定義：零行列　zero matrix　　

【舞台設定】

K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　

【本題】
・体K上の零行列とは、体Kにおける加法の単位元「０」をのみを並べた行列のことをいう。　
・(m,n)型零行列とは、体Kにおける加法の単位元「０」をm行n列に並べた行列のことをいう。
・(m,n)型零行列を、O_m,nあるいは単にOなどと表す。

※零行列との和の演算則、零行列との積の演算則　　　

【体として実数体を指定した具体例】
　実行列の零行列

【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32)
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)

定義：行列単位　　

【舞台設定】

K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　　
【本題】

・行列単位E_ijとは、
　　　( i, j )成分が「体Kにおける乗法の単位元『1』」、　　
　　　( i, j )成分以外の成分は、すべて「体Kにおける加法の単位元『０』」
　となる行列のことをいう。

【体として実数体を指定した具体例】
　　行列単位　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)

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定義：転置行列transposed matrix

【舞台設定】

　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A：体 K上の(m,n)型行列　　

【定義】
　
　(m,n)型行列Aの転置行列transposed matrixとは、
　Aの行を列とし、Aの列を行とした(n,m)型行列。　
　Aの( i, j )成分を( j,i )成分としてもつ(n,m)型行列と言ってもよい。

【記号】

　Aの転置行列を、^tA 、A'などと表す。　

【具体的には】


	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n
	：	：		：
	a_m1	a_m2	…	a_mn

　　　ならば、　


	a₁₁	a₂₁	…	a_m1
^tA =	a₁₂	a₂₂	…	a_m2
	：	：		：
	a_1n	a_2n	…	a_mn

　　　
【転置行列の性質】

　・転置行列の転置行列
　・行列和の転置行列
　・行列積の転置行列
　・転置行列と逆行列

【体として実数体を指定した具体例】

　・転置行列　

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.42)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.37)
　・藤原『線形代数』2.1(p.28)]

定義：対称行列symmetric matrix　

　・対称行列とは、自らの転置行列と等しい行列のことをいう。

　・つまり、


	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n
	：	：		：
	a_m1	a_m2	…	a_mn

　が対称行列symmetric matrixである　

　とは、　

A = ^tA =


a₁₁	a₂₁	…	a_m1
a₁₂	a₂₂	…	a_m2
：	：		：
a_1n	a_2n	…	a_mn

　である　

　ということであるが、

　これは、

A =


a₁₁	a₁₂	…	a_1n
a₂₁	a₂₂	…	a_2n
：	：		：
a_m1	a_m2	…	a_mn


a₁₁	a₂₁	…	a_m1
a₁₂	a₂₂	…	a_m2
：	：		：
a_1n	a_2n	…	a_mn

　であるということ、　

　すなわち、

　　Aの行数と列数が一致し(m=n、ゆえにAは正方行列)であり、
　　かつ、
　　Aの成分が対角線に対して対称であること(a_ij=a_ji)

　を意味する。　

【体として実数体を指定した具体例】

　実対称行列

【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.43)
　・藤原『線形代数』2.1(p.28)

定義：交代行列alternating matrix,歪対称行列skew-symmetric matrix, 反対称行列antisymmetric matrix　　　

【掲載文献一覧】
　・『岩波数学辞典』83行列B(p.220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.8(p.43);
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.37)
　・藤原『線形代数』2.1(p.28)

　　

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reference

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。

数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳）『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。

体上の行列の定義 ： トピック一覧

定義：体上の行列matrix

定義：同じ型の行列、行列の型の一致

定義：行列のあいだの等号

定義： n次正方行列square matrix

定義：矩形行列rectangular matrix

定義：零行列 zero matrix

定義：行列単位

定義：転置行列transposed matrix

定義：対称行列symmetric matrix

定義：交代行列alternating matrix,歪対称行列skew-symmetric matrix, 反対称行列antisymmetric matrix

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定義：同じ型の行列、行列の型の一致　　

定義：行列のあいだの等号　

定義：矩形行列rectangular matrix　　

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定義：行列単位　　

定義：対称行列symmetric matrix　

定義：交代行列alternating matrix,歪対称行列skew-symmetric matrix, 反対称行列antisymmetric matrix　　　