実n次元数ベクトル空間における基底―トピック一覧 |
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・基底の定義/基底であるための必要十分条件/基本ベクトルは基底の一例/基底の存在/座標ベクトル |
※実n次元数ベクトル空間関連ページ:実n次元数ベクトル空間の定義/線形結合/一次独立・一次従属/線形結合と線形独立・従属の関係/次元/部分ベクトル空間 ※上位概念:一般のベクトル空間における基底/体上の数ベクトル空間における基底/実ベクトル空間における基底/ 実n次元数ベクトル空間の部分空間の基底 ※線形代数目次・総目次 |
定義:実n次元数ベクトル空間における基底 basis | |||
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) Rn:実n次元数ベクトル空間 +:実n次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実n次元数ベクトル空間Rnに定められているスカラー乗法 u1, u2, …, ul:l個の実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、 u11, u12, …, u1n∈Rとして、u1=( u11, u12, …, u1n ) ∈Rn u21, u22, …, u2n∈Rとして、u2=( u21, u22, …, u2n ) ∈Rn : : ul1, ul2, …, uln∈Rとして、ul=( ul1, ul2, …, uln ) ∈Rn なお、個数lが有限個であること、個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。 v:実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn ) したがって、v∈Rn 。 a1, a2, …, al :スカラー。a1, a2, …, al ∈R |
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定義 |
「l個の実n次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が 実n次元数ベクトル空間Rnの基底basisである」 とは、 { u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことを言う。 条件P1:u1, u2, …, ul が線形独立となること。 条件P2:u1, u2, …, ul の一次結合として、Rnに属す任意の実n次元数ベクトルを表せること。 ( ∀v∈Rn) ( ∃a1,a2,…,al ∈R) ( v = a1u1+a2u2+…+alul ) なお、この2条件は、次の条件と同値。 条件Q:u1, u2, …, ulの一次結合としてRnに属す任意の実n次元数ベクトルを一意的に表せる。 ※グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)は、 この定義の必要十分条件(→基底であるための必要十分条件)を、基底の定義としている。 |
[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26); ※関連事項:基底であるための必要十分条件 ※活用例:座標ベクトル |
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証明 |
(証明:条件P1;P2⇔命題Q) ・条件P1;P2⇒条件Q 永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(pp.17-8); ・条件Q⇒条件P1;P2 永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.2(p.18); |
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※ | 実n次元数ベクトル空間Rnの基底(の定義を満たすRnの部分集合)は、複数セット存在しうる。 | ||
※ | 上位概念:一般のベクトル空間の有限集集合が基底であるということ、体上の数ベクトル空間の有限集合が基底であるということ。 | ||
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定理:実n次元数ベクトル空間の基底であるための必要十分条件 | ||
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要旨 |
実n次元数ベクトル空間Rnの基底は、 どれも、「n個の線形独立な実n次元数ベクトル」である。 ※「n個の線形独立な実n次元数ベクトル」を基底の定義とするテキストもある。[グリーン『計量経済分析I』定義2.6(p.26)] ※正則行列であるための必要十分条件―基底の観点も見よ。 |
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) Rn:実n次元数ベクトル空間 +:実n次元数ベクトル空間Rnに定義されているベクトルの加法 スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実n次元数ベクトル空間Rnに定められているスカラー乗法 u1, u2, …, ul:l個の実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、 u11, u12, …, u1n∈Rとして、u1=( u11, u12, …, u1n ) ∈Rn u21, u22, …, u2n∈Rとして、u2=( u21, u22, …, u2n ) ∈Rn : : ul1, ul2, …, uln∈Rとして、ul=( ul1, ul2, …, uln ) ∈Rn なお、個数lが有限個であること、個数lが、Rnのnと等しくなくてもよいことに注意。 v:実n次元数ベクトル。 具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn ) したがって、v∈Rn 。 a1, a2, …, al :スカラー。a1, a2, …, al ∈R |
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[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・グリーン『計量経済分析I』定義2.3(p.24);定義2.6(p.26); |
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詳細 |
「l個の実n次元数ベクトルの有限集合{ u1, u2, …, ul }が実n次元数ベクトル空間Rnの基底である」 ことは、 { u1, u2, …, ul }が、次の2条件を満たすことと同値である。 条件R1:u1, u2, …, ulが線形独立となること。 条件R2:l=n であること。 |
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証明 |
・「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」を示す。 定理より、 「実n次元数ベクトル空間Rnにおいては、 n個の実n次元数ベクトルu1, u2, …, unが線形独立ならば、Rnの基底となる」 から、 { u1, u2, …, ul }が、条件R1,R2を満たす、 すなわち、{ u1, u2, …, ul=un} が(→R2)、線形独立となる(→R1) ならば、 { u1, u2, …, ul=un} は、Rnの基底の定義を満たす。 ・「{ u1, u2, …, ul }が基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1,R2を満たす」 を示す。 ・基底であるための条件P1と、条件R1はもともと同じ。 したがって、 「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R1を満たす」 ・Rnの次元に関する定理より、 { u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たすならば、l=n となる。 したがって、 「{ u1, u2, …, ul }がRnの基底の定義を満たす」⇒「{ u1, u2, …, ul }が条件R2を満たす」 |
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定理:基本ベクトルは基底の一例 | ||
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設定 |
R:実数体(実数をすべて集めた集合) Rn:実n次元数ベクトル空間 |
[文献] ・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(p.11); ・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.4(p.125); ・布川谷野中山『線形代数と凸解析』例2.4(pp.36-7) |
本題 |
実n次元数ベクトル空間Rnの基本ベクトルは、Rnの基底である。 |
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証明 |
・基本ベクトルe1, e2,…,enは線形独立(∵)。 ・基本ベクトルe1, e2,…,enの一次結合として、Rn に属す任意の実n次元数ベクトルを表せる。 実際、 任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Rn は、v=v1e1+v2e2+…+vnen と表せる。 |
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定理:基底の存在 | ||
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設定 | R:実数体(実数をすべて集めた集合) Rn:実n次元数ベクトル空間 |
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本題 | 実n次元数ベクトル空間Rnは、すべて、(少なくとも一セット以上の)基底を有す。 | |
証明 | 少なくとも、実n次元数ベクトル空間Rnの基本ベクトルは、Rnの基底であるから。 |
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定義:座標ベクトル | ||
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設定 | R:実数体(実数をすべて集めた集合) Rn:実n次元数ベクトル空間 |
[文献] ・松坂『解析入門4』18.1-A (p.84):数ベクトル空間限定; ・志賀『線形代数30講』8講:R2のケース「斜交座標」(p.51) ;10講:R3のケース(p.66) ※一般化:実ベクトルの座標ベクトル/ ※活用例:基底変換行列 |
定義 |
・「実n次元数ベクトルvの《Rnの基底 { u1, u2, …, un }》に関する座標ベクトル」とは、 実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnを、 「Rnの基底{ u1, u2, …, un}の一次結合」v =x1u1+x2u2+…+xnun として表した際の、 実数の組(x1,x2,…,xn)のことをいう。 |
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性質 |
・「実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの 《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》に関する座標ベクトル」は、 実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )それ自身である。 実際、 任意のv=( v1, v2, …, vn )∈Rn は、 v =v1e1+v2e2+…+vnen と表される。 |
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・「標準基底 { e1, e2, …, en }以外の《Rnの基底 { u1, u2, …, un }》に関する 実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの座標ベクトル」に、 基底変換の行列をかけると、 「実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Rnの 《Rnの標準基底 { e1, e2, …, en }》に関する座標ベクトル」 すなわち、 実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )それ自身 に変換される(→活用例:基底変換行列)。 |
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