「集合Aは集合Bと交わるが、集合Bを含まない」「集合Bは、集合Aと交わるが、集合Aの部分集合でない」

「集合Aは、集合Bと交わるが、集合Bを含まない」「集合Bは、集合Aと交わるが、集合Aの部分集合ではない」の同値条件一覧

【表現1】	・「A∩B ≠ φ」かつ「AB」	集合Aは、集合Bと交わっているけれど、Bを含むわけではない。
	ないし
	・「B∩A ≠ φ」かつ「BA」	集合Bは、集合Aと交わるが、Aの部分集合でない。
【表現2】	・「AB」かつ「 ABc 」	集合Aは、集合Bを部分集合として含まないし、《Bの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。
	ないし
	・「BA」かつ「BAc 」	集合Bは、Aの部分集合でも、《Aの補集合》の部分集合でもない。
【表現3】	「∃ω∈B ω∈A」かつ「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」	集合Bには《集合Aに属す元》が存在するが、「すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属す」のではない。
【表現4】	「B∩A ≠ φ」かつ「B∩Ac  ≠ φ」	集合Bは、集合Aとも《Aの補集合》とも交わる。
【表現5】	「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω A )」	Aに属す「Bの元」も、Aに属さない「Bの元」も存在する。
【表現5'】	「∃ω∈B ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω∈Ac )」	Aに属す「Bの元」も、《Aの補集合》に属す「Bの元」も存在する。
【表現6】	「A≠φ かつ AB かつ A⊂B」 または 「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」

	どうして、 　　　　　　【表現1】〜【表現5】を 　　　　　　言い換えてもいいの？		【表現３】　「∃ω∈B　ω∈A」かつ「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」 　　　　　集合Bには《集合Aに属す元》が存在するが、 　　　　　「すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属す」のではない。 　　【例】　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「¬ ∀ω∈東大 ( ω∈ 原子力村 )」　 　　　　　　東大に《原子力村に属してる者》がいるのは確かですが、 　　　　　　東大所属者の全員が原子力村に属しているわけではないのです。
			【どうして？】　交わるの同義表現(3-1') : 「B∩A ≠ φ」⇔「∃ω∈B　ω∈A」 、　「AB」「BA」の同値表現1l：「AB」「BA」⇔「¬ ∀ω∈B ( ω∈ A )」
	【表現4】　「B∩A ≠ φ」かつ「B∩Ac  ≠ φ」 　 　　　　　　集合Bは、《集合A》《集合Aの補集合》 の両方と交わる。 　　【例】　「東大∩原 子力村≠ φ」かつ「東大∩原 子力村c  ≠ φ」 　　　　　　東大は、原子力村だけでなく《原子力村の補集合》 とも交わっているので す。	⇔ 【どうして？】	【表現1】 　・「A∩B ≠ φ」かつ「AB」　集合Aは、集合Bと交わっているけれど、Bを含むわけではない。 　ないし 　・「B∩A ≠ φ」かつ「BA」　集合Bは、集合Aと交わるが、Aの部分集合でない。 【例】 　・「原子力村∩東大 ≠ φ」かつ「原子力村東大」 　　　　　　　原子力村は、東大と交わっているけど、東大を含んでるわけじゃない。 　ないし 　・「東大∩原子力村 ≠ φ」かつ「東大原子力村」 　　　　　東大は、確かに原子力村と交わっておりますが、原子力村の部分集合ではございません。	⇔ 【どうして？】	【表現２】 　・「AB」かつ「 ABc 」　　　集合Aは、集合Bを部分集合として含まないし、《Bの補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 　ないし 　・「BA」かつ「BAc 」　　　　集合Bは、Aの部分集合でも、《Aの補集合》の部分集合でもない。 【例】 　・「原子力村東大」かつ「 原子力村東大c 」　原子力村は、東大を部分集合として含まないし、《東大の補集合》に部分集合として含まれるのでもない。 　ないし 　・「東大原子力村」かつ「東大原子力村c 」　　東大は、原子力村の部分集合でも、《原子力村の補集合》の部分集合でもありません。
	「AB」「BA」の同値表現４：「AB」「BA」⇔「Ac∩B ≠ φ」
【どうして？】　交わるの同義表現:「B∩A≠φ」⇔「∃ω∈Bω∈A」 、「AB」「BA」の同値表現「			AB」「BA」⇔「∃ω∈Bω A」から。	交わるの同値表現(8)(8')：「A∩B ≠ φ」⇔「　ABc　」「　Ac B　」
			【表現５】　　「∃ω∈B　ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω A )」 　　　　　　　Aに属す「Bの元」も、Aに属さない「Bの元」も存在する。 　　【例】　　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「∃ω∈東大 ( ω 原子力村 )」 　　　　　　　　東大には、 　　　　　　　　《原子力村に属す者》も、　 　　　　　　　　《原子力村に属さない者》も、ともに存在します。
			【どうして？】　　　「補集合に属す」の 同値条件にしたがっ て、ωAとω∈Ac とを、互いに言い換えてよいから、
			【表現5'】　　「∃ω∈B　ω∈A」かつ「∃ω∈B (ω∈Ac)」 　　　　　　　Aに属す「Bの元」も、《Aの補集合》に属す「Bの元」も存在する。 　　【例】　　「∃ω∈東大 ω∈原子力村」かつ「∃ω∈東大 ( ω∈原子力村c  )」 　　　　　　　　東大には、 　　　　　　　　《原子力村に属す者》も、　 　　　　　　　　《原子力村の補集合に属す者》も、ともに存在します。

	どうして、 【表現1】のとき 【表現6】と言ってもいいの？ 【表現1】　「A∩B ≠ φ」かつ「AB」	⇒ 　【どうして？】	【表現6-3】　「A∩B ≠ φ かつ AB  かつ 『A⊂BまたはAB』」	⇔ 　　【どうして？】	【表現6-2】　(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊂B」　または　 　　　　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 　　【どうして？】	【表現6-1】　(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊂B かつ A≠φ」　または　 　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 　　【どうして？】	【表現6】　(a)「A≠φ かつ AB かつ A⊂B」　または　 　　　　　 (b)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」
		排中律[野矢p.175;前原p.56;新井p.76]より、 『A⊂BまたはAB』は常に成立するので、 『かつ』の導入則にしたがって、 【表現1】が成立するとき、【表現6-3】を導いてよい。		《かつ》《または》の分配律にしたがって。		・「A⊂B」⇔「A∩B＝A」だから、 　「A∩B ≠ φ かつ A⊂B」が成り立つとき、「A∩B＝A≠φ」が成り立つ。　 ・だから、「『かつ』の導入則」にしたがって、【表現6-2】(a)が成立するとき、【表現6-1】(a)を導いてよい。		「かつ」の除去則に従って、 【表現6-1】(a)「A∩B ≠ φ かつ AB かつ A⊂B かつ A≠φ」から 【表現6】　(a)「A≠φ かつ AB かつ A⊂B」　を導いてよいから。

	どうして、 【表現6】から【表現1】に 言い換えてもいいの？
	【表現6a】　「 A≠φ かつ AB かつ A⊂B 」	【どうして？】 ⇒	「A⊂B」⇔「A∩B＝A」だから、 　「 A≠φ かつ A⊂B 」ならば、「A∩B＝A≠φ」 【表現1】 　「A∩B ≠ φ」 　　かつ 　「AB」 　集合Aは、 　　集合Bと交わっているけれど、 　　集合Bを含むわけではない。 「かつ」の除去則
	【表現6b】「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒ 【どうして？】
	一般に、 「命題A⇒命題C」かつ「命題B⇒命題C」は、「『命題Aまたは命題B』⇒命題C」 に言い換えてよいから(→含意の言換3)、 上記は下記に言い換えてよい。
	【表現6】　「 A≠φ かつ AB かつ A⊃B」　 　　　　　 　　　　　または　 　　　　　「A∩B ≠ φ かつ AB かつ AB」	⇒	【表現1】 　「A∩B ≠ φ」 　　かつ 　「AB」 　集合Aは、 　　集合Bと交わっているけれど、 　　集合Bを含むわけではない。