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証明:
一次変換の行列表示・行列表現
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.4.1(pp.28-9);
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』3.4行列による一次変換の表現(pp.90-91);
神谷浦井『経済学のための数学入門』§5.2.1線形写像の行列表現(p.165)。;]
(舞台設定)
K:体 (例:有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C)
V :K上の有限次元ベクトル空間。ただし、 n次元。
{ v1, v2, …, vn }:Vの基底をなす、Vに属すベクトルの集合
(定理の確認)
Vの基底{ v1, v2, …, vn }と、一次変換f:V→Vにたいして、
f (v1)=a11v1+a21v2+…+an1vn
f (v2)=a12v1+a22v2+…+an2vn
: :
f (vn)=a1nv1+a2nv2+…+annvn
を満たす「体K上のn次正方行列」
が一意的に存在する。
※ f (v1), f (v2), …, f (vn) を縦に並べた(n,1)型行列、
Vの基底をなすベクトルv1, v2, …, vn を横に並べた(1,n)型行列を用いると、
上記は、行列の乗法を使って、次のように、簡潔に表せる。
を満たす「体K上のn次正方行列」Aが一意的に存在する
(証明)
v1, v2, …, vn ∈Vであるとされていた。
fは、VからVへの一次変換とされていた。
したがって、fによるv1, v2, …, vnの像は、Vに属す。
つまり、 f (v1), f (v2), …, f (vn)∈V。 …(1)
{ v1, v2, …, vn }はVの基底であるとされた。
よって、
Vに属す任意のベクトルを、{ v1, v2, …, vn }の一次結合として一意的に表せる。(∵)
だから、(1)により、
f (v1), f (v2), …, f (vn)も、それぞれ、{ v1, v2, …, vn }の一次結合として一意的に表せることになる。
これは、すなわち、
f (v1)=a11v1+a21v2+…+an1vn
f (v2)=a12v1+a22v2+…+an2vn
: :
f (vn)=a1nv1+a2nv2+…+annvn
を満たす「体K上のn次正方行列」
が一意的に存在するということにほかならない。