→
戻る
証明：一般のベクトル空間から一般のベクトル空間への一次写像の行列表示
[
永田『
理系のための線形代数の基礎
』定理
1.4.1(
p
.28);
志賀『
線形代数
30
講
』
17
講
(
p
.109);
ホフマン・クンツェ『
線形代数学
I
』
3.4
行列による一次変換の表現
(
p
.89);
藤原『
線形代数
』
4.3(
p
.102);
神谷浦井『
経済学のための数学入門
』§
5.2.1
線形写像の行列表現
(
p
.165)
。
;
酒井『
環と体の理論
』
1.6
ベクトル空間
(
p
.23);]
(
舞台設定
)
K
：
体
（例：有理数をすべてあつめた集合
Q
、
実数をすべて集めた集合
R
、複素数をすべてあつめた集合
C
）
V
：
K
上の有限次元ベクトル空間
。ただし、
n
次元
。
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
：
V
の
基底
をなす、
V
に属す
ベクトル
の集合
W
：
K
上の有限次元ベクトル空間
。ただし、
m
次元
。
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
m
}
：
W
の
基底
をなす、
W
に属す
ベクトル
の集合
(
定理の確認
)
「
体
K
上の
(
m,n
)
型行列
」
にたいして、
f
(
v
1
)
=
a
11
w
1
+
a
21
w
2
+
…
+
a
m
1
w
m
f
(
v
2
)
=
a
12
w
1
+
a
22
w
2
+
…
+
a
m
2
w
m
： ：
f
(
v
n
)
=
a
1
n
w
1
+
a
2
n
w
2
+
…
+
a
mn
w
m
を満たす
一次写像
f
:V
→
W
がきまる。
※
f
(
v
1
)
,
f
(
v
2
)
,
…
,
f
(
v
n
)
を縦に並べた
(
n,
1)
型行列
、
W
の
基底
をなす
ベクトル
w
1
,
w
2
,
…
,
w
m
を
横に並べた
(1
,m
)
型行列
(
ベクトルを並べた横ベクトル！
)
を用いると、
上記は、
行列の乗法
を使って、次のように、簡潔に表せる。
「
体
K
上の
(
m,n
)
型行列
」
A
にたいして、
を満たす
一次写像
f
:V
→
W
がきまる。
→
戻る
（証明）
まず、「
体
K
上の
(
m,n
)
型行列
」
A
から
写像
f
を定義し、
次に、
写像
f
が
一次写像
となることを示す。
Step
1:
「
体
K
上の
(
m,n
)
型行列
」
A
から
写像
f
を定義
・
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
V
であって、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていた。…
(1-1)
・まず、
(1)
の
V
の
基底
から
W
への
写像
f
0
：
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
→
W
を、
の成分を用いて、
f
0
(
v
1
)
=
a
11
w
1
+
a
21
w
2
+
…
+
a
m
1
w
m
∈
W
f
0
(
v
2
)
=
a
12
w
1
+
a
22
w
2
+
…
+
a
m
2
w
m
∈
W
： ：
f
0
(
v
n
)
=
a
1
n
w
1
+
a
2
n
w
2
+
…
+
a
mn
w
m
∈
W
と定義する。…
(1-2)
※
なお、上記右辺の演算記号は、
ベクトル空間
W
において定義されている
ベクトル和
と
スカラー積
・
(1-1)
より、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
Ｋが一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
…
(1-3)
・
V
から
W
への
写像
f
：
V
→
W
を、
x
∈
V
にたいして、
(1-3)
によって一意的に存在する
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
Ｋを用いて、
f
(
x
)
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
≡
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
∈
W
…
(1-4)
と定義する。
※
上記第２式
f
()
内の演算記号は、
ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトル和
と
スカラー積
上記最右辺の演算記号は、
ベクトル空間
W
において定義されている
ベクトル和
と
スカラー積
上記右辺を整理すると、以下のようになる。
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
=
x
1
(
a
11
w
1
+
a
21
w
2
+
…
+
a
m
1
w
m
)
+
x
2
(
a
12
w
1
+
a
22
w
2
+
…
+
a
m
2
w
m
)
+
…
+
x
n
(
a
1
n
w
1
+
a
2
n
w
2
+
…
+
a
mn
w
m
)
∵
(1-1)
=
x
1
a
11
w
1
+
x
1
a
21
w
2
+
…
+
x
1
a
m
1
w
m
+
x
2
a
12
w
1
+
x
2
a
22
w
2
+
…
+
x
2
a
m
2
w
m
+
…
+
x
n
a
1
n
w
1
+
x
n
a
2
n
w
2
+
…
+
x
n
a
mn
w
m
∵
W
は
ベクトル空間
だから
ベクトル空間におけるベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=(
x
1
a
11
+
x
2
a
12
+
…
+
x
n
a
1
n
)
w
1
+
(
x
1
a
21
+
x
2
a
22
+
…
+
x
n
a
2
n
)
w
2
+
…
+
(
x
1
a
m
1+
x
2
a
m
2+
…
+
x
n
a
mn
)
w
m
∵
W
は
ベクトル空間
だから
ベクトル空間におけるスカラーに関する分配則
が成り立つ。
※
(
)
内の
"+"
は、
体
K
に定義されている加法を表し、
x
*
a
**
は
体
K
に定義されている乗法を表す。
したがって、
ここで定義した
写像
f
：
V
→
W
は、要するに、
の各成分と、
x
∈
V
にたいして、
(1-3)
によって一意的に存在する
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
Ｋを用いて、
f
(
x
)
=(
x
1
a
11
+
x
2
a
12
+
…
+
x
n
a
1
n
)
w
1
+
(
x
1
a
21
+
x
2
a
22
+
…
+
x
n
a
2
n
)
w
2
+
…
+
(
x
1
a
m
1+
x
2
a
m
2+
…
+
x
n
a
mn
)
w
m
…
(1-5)
と表されるものである。
Step
2:
写像
f
は
一次写像
・
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていたので、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
Ｋ
,
x
'
1
,
x
'
2
,
…
,
x
'
n
∈
Ｋが一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
、
x
'=
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
…
(2-1)
したがって、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
W
は、以下を満たす。
f
(
x
+
x
'
)
※
f
( )
内の
+
は
ベクトル空間
V
において定義されている
ベクトル和
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
+
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
)
∵
(2-1)
=
f
(
(
x
1
+
x
'
1
)
v
1
+
(
x
2
+
x
'
2
)
v
2
+
…
+
(
x
n
+
x
'
n
)
v
n
)
∵
V
は
ベクトル空間
だから
ベクトル空間におけるスカラーに関する分配則
が成り立つ。
=(
x
1
+
x
'
1
)
f
0
(
v
1
)
+
(
x
2
+
x
'
2
)
f
0
(
v
2
)
+
…
+
(
x
n
+
x
'
n
)
f
0
(
v
n
)
∵
(1-4)
=
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
+
x
'
1
f
0
(
v
1
)
+
x
'
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
'
n
f
0
(
v
n
)
∵
W
は
ベクトル空間
だから
スカラーに関する分配則
・
ベクトル和に関する可換則
が成り立つ。
=
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
+
f
(
x
'
1
v
1
+
x
'
2
v
2
+
…
+
x
'
n
v
n
)
∵
(1-4)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
'
)
∵
(2-1)
以上から、
∀
x
,
x
'
∈
V
に対して、
f
(
x
+
x
'
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
'
)
…
(2-2)
が示された。
・
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
は
V
の
基底
とされていたので、
V
に属す
任意の
ベクトル
を、
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
の
一次結合
として一意的に表せる。（
∵
）
つまり、
∀
x
∈
V
に対して、ある
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
Ｋが一意的に存在して、
x
=
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
…
(2-3)
したがって、
∀
x
∈
V,
∀
α
∈
K
に対して、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
W
は、以下を満たす。
f
(
α
x
)
※
f
( )
内の演算は
ベクトル空間
V
において定義されている
スカラー乗法
=
f
(
α
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
)
∵
(2-3)
=
f
(
α
x
1
v
1
+
α
x
2
v
2
+
…
+
α
x
n
v
n
)
∵
V
は
ベクトル空間
だから
ベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=
α
x
1
f
0
(
v
1
)
+
α
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
α
x
n
f
0
(
v
n
)
∵
(1-4)
=
α
(
x
1
f
0
(
v
1
)
+
x
2
f
0
(
v
2
)
+
…
+
x
n
f
0
(
v
n
)
)
∵
W
は
ベクトル空間
だから
ベクトルに関する分配則
が成り立つ。
=
α
f
(
x
1
v
1
+
x
2
v
2
+
…
+
x
n
v
n
)
∵
(1-4)
=
α
f
(
x
)
∵
(2-3)
以上から、
∀
x
∈
V,
∀
α
∈
K
に対して、
f
(
α
x
)
=
α
f
(
x
)
…
(2-4)
が示された。
・
(2-2) (2-4)
より、
step
1
で定義した
写像
f
：
V
→
W
は、
一次写像であるための２要件
を満たしている。
→
戻る
の成分を用いて、 の各成分と、